第二章 谓词逻辑习题与解答1. 将下列命题符号化：(1) 所有的火车都比某些汽车快。

(2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。

(3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。

(4) 每个人都有自己喜欢的职业。

(5) 有些职业是所有的人都喜欢的。

解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。

令x x T :)(是火车， x x C :)(是汽车， x y x F :),(比y 跑得快。

“所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧∃→∀。

(2) 取论域为所有物质的集合。

令x x M :)(是金属， x x L :)(是液体， x y x D :),(可以溶解在y 中。

“任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧∃→∀。

(3) 论域和谓词与(2)同。

“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →∀∧∃。

(4) 取论域为所有事物的集合。

令x x M :)(是人， x x J :)(是职业， x y x L :),(喜欢y 。

“每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧∃→∀(5)论域和谓词与(4)同。

“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →∀∧∃。

2. 取论域为正整数集，用函数+（加法），•（乘法）和谓词<，=将下列命题符号化：(1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。

(2) 任何两个正整数都有最小公倍数。

(3) 没有最大的素数。

(4) 并非所有的素数都不是偶数。

解 先引进一些谓词如下：x y x D :),(能被y 整除，),(y x D 可表示为)(x y v v =•∃。

x x J :)(是奇数，)(x J 可表示为)2(x v v =•⌝∃。

x x E :)(是偶数，)(x E 可表示为)2(x v v =•∃。

x x P :)(是素数，)(x P 可表示为)1)(()1(x u u x u v v u x =∨=↔=•∃∀∧=⌝。

(1) “没有既是奇数，又是偶数的正整数”可表示为))()((x E x J x ∧⌝∃，并可进一步符号化为))2()2((x v v x v v x =•∃∧=•⌝∃⌝∃。

(2) “任何两个正整数都有最小公倍数”可表示为))),(),((),(),((u z u z y u D x u D u y z D x z D z y x =∨<→∧∀∧∧∃∀∀，并可进一步符号化为)))()(()()((u z u z u y v v u x v v u z y v v z x v v z y x =∨<→=•∃∧=•∃∀∧=•∃∧=•∃∃∀∀(3) “没有最大的素数”可表示为)))(()((x y x y y P y x P x =∨<→∀∧⌝∃，并可进一步符号化为)))1)(()1(()1)(()1((x y x y y u u y u v v u y y x u u x u v v u x x =∨<→=∨=↔=•∃∀∧=⌝∀∧=∨=↔=•∃∀∧=⌝⌝∃ (4) “并非所有的素数都不是偶数”可表示为))()((x E x P x ⌝→⌝∀，并可进一步符号化为))2()1)(()1((x v v x u u x u v v u x x =•⌝∃→=∨=↔=•∃∀∧=⌝⌝∀3. 取论域为实数集合，用函数+，－（减法）和谓词<，=将下列命题符号化：(1) 没有最大的实数。

(2) 任何两个不同的实数之间必有另一实数。

(3) 函数)(x f 在点a 处连续。

(4) 函数)(x f 恰有一个根。

(5) 函数)(x f 是严格单调递增函数。

解 (1) “没有最大的实数”符号化为)(x y x y y x =∨<∀⌝∃。

(2) “任何两个不同的实数之间必有另一实数”符号化为))((y z z x z y x y x <∧<∃→<∀∀。

(3) “函数)(x f 在点a 处连续”的定义是：任给0>ε，总可以找到0>δ，使得只要δ<-||a x 就有ε<-|)()(|a f x f 。

“函数)(x f 在点a 处连续”符号化为))))()()()((0(0(εεδδδδεε+<∧<-→+<∧<-∀∧<∃→<∀a f x f x f a f a x x a x(4) “函数)(x f 恰有一个根”符号化为))0)((0)((x y y f y x f x =→=∀∧=∃。

(5) “函数)(x f 是严格单调递增函数”符号化为))()((y f x f y x y x <→<∀∀。

4. 指出下列公式中变元的约束出现和自由出现，并对量词的每次出现指出其辖域。

(1) )),(),((a x P x y P x →∀(2) ),()(y x zQ x xP ∀→∀(3) )()())()((x Q x xP x R x P x ∧∀→∧∀(4) ))),(,()),,(((y x g z xP x y x f P y ∀→∀(5) )())()()((x R x xR x Q x P x ∧∃∧→∀解 (1) 变元 x 在)),(),((a x P x y P x →∀中三次出现都是约束出现，∀x 的唯一出现的辖域是 P (y , x ) → P (x , a )。

(2) 变元 x 在),()(y x zQ x xP ∀→∀中的头两次出现是约束出现，第三次出现是自由出现。

变元 y 在),()(y x zQ x xP ∀→∀中的唯一出现是自由出现。

变元 z 在),()(y x zQ x xP ∀→∀中的唯一出现是约束出现。

∀x 的唯一出现的辖域是 P (x )，∀z 的唯一出现的辖域是Q (x , y )。

(3) 变元 x 在)()())()((x Q x xP x R x P x ∧∀→∧∀中的头五次出现是约束出现，第六次出现是自由出现。

∀x 的第一次出现的辖域是P (x ) ∧ R (x )，第二次出现的辖域是P (x )。

(4) 变元 x 在))),(,()),,(((y x g z xP x y x f P y ∀→∀中的头两次出现是自由出现，后两次出现是约束出现。

∀x 的唯一出现的辖域是 P (z , g (x , y ))， ∀y 的唯一出现的辖域是 P (f (x , y ), x ) → ∀xP (z , g (x , y ))。

(5) 变元 x 在)())()()((x R x xR x Q x P x ∧∃∧→∀中的头五次出现是约束出现，第六次出现是自由出现。

∀x 的唯一出现的辖域是P (x ) → Q (x ) ∧ ∃xR (x )，∃x 的唯一出现的辖域是R (x )。

5. 归纳证明：若t ，t '是项，则x t t '也是项。

证明 ① 若t 是x ，则x t t '是t '，x t t '是项。

② 若t 是不同于x 的变元y ，则x t t '仍是y ，x t t '是项。

③ 若t 是常元a ，则x t t '仍是a ，x t t '是项。

④若t 是),,(1n t t f ，则x t t '是))(,,)((1x t n x t t t f '' ，由归纳假设知x t n x t t t '')(,,)(1 都是项，所以x t t '是项。

6. 归纳证明：若t 是项，A 是公式，则x t A 也是公式。

证明 ① 若A 是),,(1n t t P ，则x t A 是))(,,)((1x t n x t t t P ，由上题知x t n x t t t )(,,)(1 都是项，所以x t A 是公式。

② 若A 是B ⌝，则x t A 是x t B ⌝，由归纳假设知x t B 是公式，所以x t A 是公式。

③ 若A 是C B →，则x t A 是x t x t C B →，由归纳假设知x t B 和x t C 都是公式，所以x t A 是公式。

④ 若A 是xB ∀，则x t A 仍是A ，x t A 是公式。

⑤ 若A 是yB ∀，其中y 是不同于x 的变元，则x t A 是x t yB ∀，由归纳假设知x t B 是公式，所以x t A 是公式。

7. 给定解释I 和I 中赋值v 如下：}2,1{=I D ，1=I a ，2=I b ，2)1(=I f ，1)2(=I f1)2,1()1,1(==I I P P ，0)2,2()1,2(==I I P P ，1)(=x v ，1)(=y v计算下列公式在解释I 和赋值I 中v 下的真值。

(1) )),(())(,())(,(x y f P b f x P x f a P ∧∧(2) ),(x y yP x ∃∀(3) )))(),((),((y f x f P y x P y x →∀∀解 (1))))(),(())(,())(,((v x y f P b f x P x f a P I ∧∧))()),((())(),(()))((,(x v y v f P b f x v P x v f a P I I I I I I I I ∧∧=)1),1(())2(,1())1(,1(I I I I I I f P f P f P ∧∧=0011)1,2()1,1()2,1(=∧∧=∧∧=I I I P P P (2))))(,((v x y yP x I ∃∀])2/[))(,((])1/[))(,((x v x y yP I x v x y yP I ∃∧∃= ]))2/][1/[))(,((])1/][1/[))(,(((y x v x y P I y x v x y P I ∨=]))2/][2/[))(,((])1/][2/[))(,(((y x v x y P I y x v x y P I ∨∧))2,2()2,1(())1,2()1,1((I I I I P P P P ∨∧∨= 1)01()01(=∨∧∨=(3) )))))((),((),(((v y f x f P y x P y x I →∀∀)))2(,)1(()2,1(()))1(,)1(()1,1((I I I I I I I I f f P P f f P P →∧→=)))2(,)2(()2,2(()))1(,)2(()1,2((I I I I I I I I f f P P f f P P →∧→∧))1,1()2,2(())2,1()1,2(())1,2()2,1(())2,2()1,1((I I I I I I I I P P P P P P P P →∧→∧→∧→=01100)10()10()01()01(=∧∧∧=→∧→∧→∧→=7. 给定解释I 如下：},{b a D I =， 1),(),(==b b P a a P I I ， 0),(),(==a b P b a P I I判断I 是不是以下语句的模型。