高中数学学习材料
金戈铁骑整理制作
第四章§1
一、选择题
1．函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是()
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
[答案] C
[解析]∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，
即f(0)f(1)<0，
∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．
2．二次函数y＝mx2＋x＋n中，m·n<0，则函数的零点有()
A．0个B．1个
C．2个D．不确定
[答案] C
[解析]由题知m≠0，m·n<0，∴Δ＝1－4mn>0.
∴有2个零点．
3．若f(x)是一个二次函数，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，该函数有两个零点x1，x2，则x1＋x2＝()
A．0 B．2
C．4 D．无法判断
[答案] C
[解析]由f(2＋x)＝f(2－x)知f(x)的图像关于x＝2对称．
∴x 1＋x 2＝4.
4．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) [答案] C
[解析] 本次考查一元二次方程根的个数问题．
“方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等实数根”⇔m 2－4>0，解得m >2或m <－2. 5．(2013·天津高考)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
[答案] B
[解析] 函数f (x )的零点个数，即方程f (x )＝0的实数根个数，
令f (x )＝0得，2x |log 0.5x |＝1， ∴|log 12
x |＝(12)x ，
令g (x )＝(1
2)x ，h (x )＝|log 12
x |，
在同一坐标系中画出两函数的图像易知有两个交点，故f (x )有两个零点． 6．下列函数在区间[1,2]上一定有零点的是( ) A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5 B ．f (x )＝x 3－5x －5 C ．f (x )＝ln x －3x ＋6 D ．f (x )＝e x ＋3x －6 [答案] D
[解析] 对于A ：f (1)＝4，f (2)＝9，f (1)·f (2)>0，无法判断f (x )在[1,2]上是否有零点； 对于B ：f (1)＝－9，f (2)＝－7，f (1)·f (2)>0，同选项A 一样，无法判断； 对于C ：f (1)＝3，f (2)＝ln2，f (1)·f (2)>0，同选项A 、B 一样，无法判断； 对于D ：f (1)＝e －3，f (2)＝e 2，f (1)·f (2)<0，所以f (x )在[1,2]上有零点． 二、填空题
7．函数f (x )＝x 2－4
x －2的零点是________ .
[答案] －2
[解析] f (x )＝(x －2)(x ＋2)
x －2
＝x ＋2(x ≠2)，
令f (x )＝0，得x ＝－2.
8．已知f (x )＝－x －x 3，x ∈[a ，b ]，且f (a )·f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]内的实根情况是________．
[答案] 有唯一实根
[解析] f (x )＝－x －x 3图像在[a ，b ]上是连续的，并且是单调递减的，又因为f (a )·f (b )<0，可得f (x )＝0在[a ，b ]内有唯一一个实根．
三、解答题
9．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1的图像与x 轴总有交点． (1)求m 的取值范围；
(2)若函数图像与x 轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－4，求m 的值． [解析] (1)当 m ＋6＝0即m ＝－6时， 函数y ＝－14x －5与x 轴有一个交点； 当m ＋6≠0即m ≠－6时，
有Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1)＝4(－9m －5)≥0，解得m ≤－59，
即当m ≤－5
9且m ≠－6时，抛物线与x 轴有一个或两个交点，
综上可知，当m ≤－5
9时，此函数的图像与x 轴总有交点．
(2)设x 1、x 2是方程(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1＝0的两个根， 则x 1＋x 2＝－2(m －1)m ＋6，x 1x 2＝m ＋1
m ＋6.
∵1x 1＋1
x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4， ∴－2(m －1)m ＋1＝－4，解得m ＝－3，
当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ>0，符合题意， ∴m 的值是－3.
一、选择题
1．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0，在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A ．(1.25,1.5)
B ．(1,1.25)
C ．(1.5,2)
D ．不能确定
[答案] A
[解析] ∵f (1.5)>0，f (1.25)<0，
∴根落在区间(1.25,1.5)间，故选A.
2．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(2，＋∞) D ．(0,1)∪(1,2)
[答案] A
[解析] 令y 1＝a x ，y 2＝x ＋a ，则f (x )＝a x －x －a 有两个零点，即函数y 1＝a x 与y 2＝x ＋a 有两个交点．
(1)当a >1时，y 1＝a x 过(0,1)点，而y 2＝x ＋a 过(0，a )点，而(0，a )点在(0,1)点上方，∴一定有两个交点．
(2)当0<a <1时，(0，a )点在(0,1)点下方，由图像知只有一个交点．
∴a 的取值范围为a >1. 二、填空题
3．关于x 的方程mx 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根，则m 的范围为________． [答案] m ≤1
[解析] ①m ＝0时，x ＝－1
2
适合题意．
②m ≠0时，应有m <0或⎩⎪⎨⎪⎧
m >0
－2
2m <0，
Δ≥0
解得m <0或0<m ≤1.综合①②可得，m ≤1.
4．方程lg x ＋x ＝0的实数解的存在区间为________． [答案] (1
10
，1)
[解析] 令f (x )＝lg x ＋x ，则f (110)＝lg 110＋110＝－9
10
<0，f (1)＝lg1＋1＝1>0.
∴f (1
10)f (1)<0.而f (x )＝lg x ＋x 在(0，＋∞)上单调递增．
∴f (x )仅有一个零点，且在(1
10，1)内．
三、解答题
5．设函数f (x )＝ax ＋2a ＋1(a ≠0)在[－1,1]上存在一个零点，求实数a 的取值范围． [解析] 因为函数f (x )在[－1,1]上存在零点，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≥0f (1)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧
f (－1)≤0f (1)≥0
. 即f (－1)·f (1)≤0.
所以(－a ＋2a ＋1)·(a ＋2a ＋1)≤0， 即(a ＋1)(3a ＋1)≤0.解得－1≤a ≤－13
.
6．方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两个根都大于2，求m 的取值范围． [解析] 令y ＝f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ， 由题意画图如下
要使f (x )＝0两根都大于2则
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝(m －2)2－4(5－m )≥0，
f (2)>0，2－m 2>2，
解得－5<m ≤－4.
7．(1)指出方程x 3－2x －1＝0的正根所在的大致区间；
(2)求证：方程x 3－3x ＋1＝0的根一个在区间(－2，－1)内，一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1,2)．
[分析] 解答本题的关键是寻找合适的a 、b 使得f (a )·f (b )<0.
[解析] (1)方程x 3－2x －1＝0，即x 3＝2x ＋1，令F (x )＝x 3－2x －1，f (x )＝x 3，g (x )＝2x ＋1在同一平面直角坐标系中，作出函数f (x )和g (x )的图像如图，显然它们 在第一象限只有1个交点，两函数图像交点的横坐标就是方程的解．
又∵F(1)＝－2<0，F(2)＝3>0，
∴方程的正根在区间(1,2)内．
(2)证明：令G(x)＝x3－3x＋1，它的图像一定是连续的，又G(－2)＝－8＋6＋1＝－1<0，
G(－1)＝－1＋3＋1＝3>0，
∴方程x3－3x＋1＝0的一根在区间(－2，－1)内．
同理可以验证G(0)·G(1)＝1×(－1)＝－1<0，
G(1)·G(2)＝(－1)×3＝－3<0，
∴方程的另两根分别在(0,1)和(1,2)内．。