二次函数的最值及其应用
若自变量是全体实数，则当x=-a b
2时，y 最值=
2
44ac b a
- (2008年南京市中考题)已知二次函数y=x2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 3 4 … y
…
10
5
2
1
2
5
…
（1）求该二次函数的关系式；
当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？
分析：（1）任选表中两组对应值待入y=x2+bx+c 可求b 、c 。
（2）得出y=x2+bx+c 后代x=-a
b
2时，y 最值=
2
44ac b
a
-
解：（1）根据题意，当x=0时，y=5；当x=1时，y=2。
所以⎩⎨⎧++==c b c 125 解得⎩⎨⎧=-=54
c b
所以，该二次函数关系式为y=x2-4x+5
（2）因为y=x2-4x+5，所以当x=124
∙- =2时，y 有最小值，最小值为
1
44
5142
∙-∙∙=1
一、 求实际问题中的二次函数的最值
例2 (2008年黄冈市中考题) 四川汶川大地震发生后，我市某工厂A 车间接到生产一批帐篷的紧急任务，要求必须在12天（含12天）内完成。
已知每项帐篷的成本价为800元，该车间平时每天能生产帐篷20顶。
为了加快进度，车间采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高。
这样，第一天生产了22顶，以后每天生产的帐篷都比前一天多2顶，由于机器损耗等原因，当每天生产的帐篷数达到30顶后，每增加1顶帐篷，当天生产的所有帐篷，平均每顶的成本就增加20元。
设生产这批帐篷的时间为x 天，每天生产的帐篷为y 顶。
（1） 直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2） 若这批帐篷的订购价格为每顶1200元，该车间决定把获得最高利润的那
一天的全部利润捐献给灾区，设该车间每天的利润为W 元，试求出W 与x 之间的函数关系式，并求出该车间捐献给灾区多少钱？ 分析：（1）由题意直接列出。
（2）当1≤x ≤5时，由一次函数的增减性得W 的最大值；当5＜x ≤12时，由二次函数的增减性得W 的最大值。
解：（1）y=2x+20（1≤x ≤12） （2）当1≤x ≤5时，
W=（1200-800）×（2x+20）=800x+8000
此时W 随x 的增大而增大
∴当x=5时，W 最大值=12000 当5＜x ≤12时，
W=[1200-800-20×（2x+20-30）]×（2x+20）=-80（x 2
-5x-150） =-80（x-2
5）2+12500
此时函数图象开口向下，在对称轴右侧，W 随x 的增大而减小 ∴当x=6时，W 最大值=11520
∵12000＞11520，∴当x=5时，W 最大，且最大值为12000
综上所述：W=⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+--≤≤+)
125(12500)25(80)51(80008002
x x x x ∴该车间捐献给灾区12000元。
二、 利用图象信息求最值
例3 (2008年南宁市中考题)随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的
需求量逐年提高。
某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与
预测，种植树木的利润y 1与投资量x 成正比例关系，如图甲所示；种植花卉的利润y 2与投资量x 成二次函数关系，如图乙所示（注：利润与投资量的单
位：万元）
（1） 分别求出利润y 1与y 2关于投资量x 的函数关系式；
（2） 如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利
润？他能获取的最大利润是多少？ 分析：（1）设y 1=kx ，y 2=ax 2。
分别将图甲，图乙上一点的坐标代人可得k,a 。
问题可解决。
（2）由二次函数的增减性得最大利润。
解：设y 1=kx ，y 2=ax 2
由图甲、乙分别有2=k ·1，2=a ·22 解得k=2，a=21 ∴y 1=2x ，y 2=
2
1x 2
（2）设种植花卉的资金投入为x 万元，那么种植树木的资金投入为（8-x ）万元，两项投入所获得的总利润为y 万元。
依题意，得y=y 1+y 2=2（8-x ）+
2
1x 2
=
2
1x 2
-2x+16=
2
1（x-2）2
+14
∴当x=2时，y 最小=14
所以，这位专业户至少获利14万元。
又∵0≤x ≤8，抛物线的对称轴为x=2
①当0≤x ＜2时，y 值随x 的增大而减小，所以x=0时，y 最大=16。
②当2≤x ≤8时，y 值随x 的增大而增大，所以x=8时，y 最大=32 综合①、②可知，这位专业户能获取的最大利润是32万元。
三、 含有字母系数的二次函数的最值
例4 (2008年太原市质检题) 已知二次函数y=-x 2
+4kx-3k 2
+1在-1≤x ≤1内有最大值1，求k 的值。
分析：由x 的取值范围确定k 的值。
解：y=-x 2+4kx-3k 2
+1 =-（x 2-4kx+4k 2-4k 2）-3k 2+1 =-（x-2k ）2
+k 2
+1 当-1≤2k ≤1，即-21≤k ≤
2
1时，最大值是k 2
+1
∴k 2+1=1，此时k=0 当2k ＞1，即k ＞
2
1时，
当x=1时，y 有最大值-（1-2k ）2
+k 2
+1=1 即3k 2-4k+1=0 解得k=1或k=
3
1（舍去）
当2k ＜-1，即k ＜-2
1时，
当x=-1时，y 有最大值-（1+2k ）2+k 2+1=1 即3k 2+4k+1=0 解得k=-1，或k=-3
1（舍去）
综上可得，k=0，k=1或k=-1。