4.5若将N 个相同的BSC 级联如题图4.5所示，各信道的转移概率矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--p p p p 11。

令Q t =P{X t =0}，t=0,1,…,N,且Q 0为已知。

题图 4.5
(a)求Q t 的表达式。

(b)证明N →∞时有Q N →1/2，且与Q 0取值无关，从而证明N →∞级联信道的信道容量C N →0，P>0。

解：
(a)对于满足X N 为马氏链的串联信道，他们总的信道转移概率矩阵为各个串联信道矩阵的乘积，即P(X N |X 0)= P(X 1|X 0) P(X 2|X 1)……P(X N |X N-1)
由已知得，但各信道的转移概率矩阵为⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡--p p p p 11 则两个信道级联的转移概率矩阵为： P 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--p p p p 11⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--p p p p 11=()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---+2222112p 12p 1p p p p p p 三个信道级联的转移概率矩阵为： P 3=()()()()⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+----+33331221211221211221211-2p 2121p p p 四个信道级联的转移概率矩阵为： P 4=()()()()⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+----+44441221211221211221211-2p 2121p p p 以此类推：可得N 个信道级联的转移概率矩阵为：
P N =()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+----+N N N N p p p 122121122
1211221211-2p 2121 则
Q t =P{X t =0}=()()()()()000121221211122121122121Q p p Q p Q p t t t t -+--=-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+
即Q t 的表达式为：Q t =
()()012122121Q p p t t -+-- t=0,1,……,N (b) 由(a)可得到：
Q N =()()012122
121Q p p t t -+-- 由0<p<1，则0<2p<2，-1<2p-1<1，即|2p-1|<1 则2
1lim =∞→N N Q ，与Q 0取值无关。

由于N 个信道级联的转移概率矩阵可知，其为对称信道，
则信道容量：
C N =()(
)∑-=+10j |J log k |j p log J k j p
=log2+[1/2+1/2(2p-1)N ]log[1/2+1/2(2p-1)N ]+ [1/2-1/2(2p-1)N ]log[1/2-1/2(2p-1)N ] 当N →∞时，(2p-1)
N →0，则C N =log2-1/2log2-1/2log2=0。