湖北省黄冈市2020年中考数学试题一、选择题(本题共8小题，每小題3分，共24分．每小题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的)1.16的相反数是 ( ) A. 6 B. －6C.16D. 16-【答案】D【详解】根据相反数的定义有：16的相反数是16-． 故选D ．2.下列运算正确的是( ) A. 223m m m += B. 326236m m m ⋅=C. 33(2)8m m =D. 623m m m ÷=【答案】C【详解】解：A ．23m m m +=，该项不符合题意； B ．253322663m m m m +⋅==，该项不符合题意； C ．33(2)8m m =，该项符合题意； D ．62624m m m m -÷==，该项不符合题意； 故选：C ．3.如果一个多边形的每一个外角都是36°，那么这个多边形的边数是( ) A. 7 B. 8C. 9D. 10【答案】D【详解】∵一个多边形的每个外角都是36°，∴n =360°÷36°=10． 故选D ．4.甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如右表所示，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛，那么应选___________去．A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【详解】通过四位同学平均分的比较，乙、丙同学平均数均为90，高于甲、丁同学，故排除甲、丁；乙、丙同学平均数相同，但乙同学方差更小，说明其发挥更为稳定，故选择乙同学． 故选：B ．5.下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中，主视图、左视图、俯视图都相同的是( ) A.B.C.D.【答案】A【详解】各选项主视图、左视图、俯视图如下: A ．,满足题意;B ．,不满足题意;C ．,不满足题意;D ． ,不满足题意;故选A ．6.在平面直角坐标系中，若点(,)A a b -在第三象限，则点(,)B ab b -所在的象限是( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【详解】解：∵点(,)A a b -在第三象限， ∴0a <，0b -<， ∴0b >， ∴0ab ->， ∴点B 在第一象限， 故选：A ．7.若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为( ) A. 4: 1B. 5: 1C. 6: 1D. 7: 1【答案】B【详解】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，∵菱形的周长为16，∴AB＝4，在Rt△ABH中，sinB＝AHAB＝2142=，∴∠B＝30°，∵AB∥CD，∴∠C＝150°，∴∠C：∠B＝5：1．故选：B．8.2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平，自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液霱求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销．下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y(吨)与时间(天)之间函数关系的大致图象是( )A. B. C. D.【答案】D【详解】根据题意：一开始销售量与生产量持平，此时图象为平行于x轴的线段，当下列猛增是库存随着时间的增加而减小，时间t与库存量y之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为0．故选：D．二、填空题(本题共8小题，每小題3分，共24分)9.38-=▲ ．【答案】﹣2．【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根：∵(－2)3=－8，38=2--．10.已知12,x x 是一元二次方程2210x x --=的两根，则121x x =____________． 【答案】-1【详解】解：∵一元二次方程x 2−2x−1＝0的两根为x 1，x 2， ∴x 1x 2＝-1，∴121x x =-1． 故答案为：-1．11.若|2|0x x y -++=，则12xy -=__________． 【答案】2【详解】解：|2|0x x y -++=，20x ∴-=，0x y +=， 2x ∴=，2y =-，∴112(2)222xy -=-⨯⨯-=，故答案为：2．12.已知：如图，在ABC 中，点D 在边BC 上，,35AB AD DC C ︒==∠=，则BAD ∠=_______度．【答案】40【详解】解：∵,35AD DC C ︒=∠=， ∴35CAD C ∠=∠=︒，∴70BDA C CAD ∠=∠+∠=︒， ∵AB AD =，∴70B BDA ∠=∠=︒，∴18040BAD B BDA ∠=︒-∠-∠=︒， 故答案为：40．13.计算：221y x x y x y ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的结果是____________．【答案】1x y- 【详解】解：221yx x y x y ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭()()y x y x x y x y x y x y ⎛⎫+=÷- ⎪+-++⎝⎭()()yyx y x y x y=÷+-+ ()()yx yx y x y y+=⋅+- 1x y=-， 故答案为：1x y-．14.已知：如图，//,75,135AB EF ABC CDF ︒︒∠=∠=，则BCD ∠=_____________度．【答案】30【详解】令BC 与EF 相交于G 点，如下图所示： ∵//,75,135AB EF ABC CDF ︒︒∠=∠=，∴∠EGC=∠ABC=75°，∠EDC=180°-∠CDF=180°-135°=45°， 又∵∠EGC=∠BCD+∠EDC ， ∴∠BCD=75°-45°=30°， 故答案：30．15.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭(jiā)生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”(注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺)这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是_______________尺．【答案】12【详解】设这个水池深x 尺， 由题意得，x 2+52=(x+1)2， 解得：x=12答：这个水池深12尺． 故答案为：12．16.如图所示，将一个半径10cm OA =，圆心角90AOB ∠=︒的扇形纸板放置在水平面的一条射线OM 上．在没有滑动的情况下，将扇形AOB 沿射线OM 翻滚至OB 再次回到OM 上时，则半径OA 的中点P 运动的路线长为_____________cm ．【答案】5510π 【详解】连接BP ，如图，∵P 为AO 的中点，AO=10cm ， ∴PO=5cm ，由勾股定理得，BP=55cm ，中点P 经过的路线可以分为四段，当弧AB 切射线OM 于点B 时，有OB ⊥射线OM ，此时P 点绕不动点B 转过了90°，此时点P 905555=π⨯cm ；第二段：OB ⊥射线OM 到OA ⊥射线OM ，P 点绕动点转动，而这一过程中弧AB 始终是切于射线OM 的，所以P 与转动点的连线始终⊥射线OM ，所以P 点过的路线长=AB 的弧长，即9010=5180ππ⨯；第三段：OB ⊥射线OM 到P 点落在射线OM 上，P 点绕不动点A 转过了90°，此时点P 经过的路径长为：9055=1802ππ⨯； 第四段：OA ⊥射线OM 到OB 与射线OM 重合，P 点绕不动点O 转过了90°，此时点P 经过的路径长为：9055=1802ππ⨯； 所以，P 点经过的路线总长S=5555555++=1022ππππ． 故答案为：5510π+三、解答题(本题共9題，满分72分)17.解不等式211322x x +≥，并在数轴上表示其解集． 【答案】3x ≥-，数轴见解析 【详解】解：211322x x +≥ 去分母得，433x x +≥， 移项得，433x x -≥-， 合并同类项得，3x ≥-． ∴原不等式的解集为：3x ≥-．解集在数轴上表示为：18.已知：如图，在ABCD中，点O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E，求证：AD CE=．【答案】见解析【详解】证明：∵点O是CD的中点，DO CO∴=．在ABCD中，//AD BC，,D DCE DAO E∴∠=∠∠=∠．在ADO△和ECO中，DAO ED DCEDO CO∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADO ECO AAS∴△≌△AD CE∴=．19.为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”．一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元．如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉共需300元．请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？【答案】每盒羊角春牌绿茶120元，每盒九孔牌藕粉60元【详解】解：设每盒羊角春牌绿茶x元，每盒九孔牌藕粉y元，依题意可列方程组：649603300x yx y+=⎧⎨+=⎩解得：12060 xy=⎧⎨=⎩答：每盒羊角春牌绿茶120元，每盒九孔牌藕粉60元．20.为了解疫情期网学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”、“良好”、“一般”、“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：(1)这次活动共抽查了_________________人．(2)将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数．(3)张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．【答案】(1)200；(2)图见解析，108︒；(3)1 6【详解】解：(1)结合扇形统计图和条形统计图可知：本次活动共调查了：80÷40%=200(人)，故答案为：200．(2)“不合格”的人数为：200-40-80-60=20人，故条形统计图补全如下所示：学习效果“一般”的学生人数所占的百分比为：60÷200=30%，故学习效果“一般”所在扇形的圆心角度数为30%×360°=108°，故答案为：108°． (3)依题意可画树状图：共有12种可能的情况，其中同时选中“良好”的情况由2种，P ∴(同时选中“良好”)21126==． 故答案为：16． 21.已知：如图，AB 是O 的直径，点E 为O 上一点，点D 是AE 上一点，连接AE 并延长至点C ，使,CBE BDE BD ∠=∠与AE 交于点F ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若BD 平分ABE ∠，求证：2AD DF DB =⋅． 【答案】(1)见解析；(2)见解析． 【详解】证明：(1)AB 为直径，90BEA ∴∠=︒，在Rt BEA 中，90EBA BAE ∠+∠=︒， 又,BDE BAE CBE BDE ∠=∠∠=∠，BAE CBE ∴∠=∠，90EBA CBE ∴∠+∠=︒，即90ABC ∠=︒,BC AB ∴⊥，又AB 为O 的直径，BC ∴是O 的切线；(2)BD 平分ABE ∠，EBD DBA ∴∠=∠，又EBD EAD ∠=∠，DBA EAD ∴∠=∠，又FDA ADB ∠=∠，FDA ADB ∴∽， AD FD BD AD ∴=， 2AD DF DB ∴=⋅．22.因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览．当船在A 处时，船上游客发现岸上1P 处的临皋亭和2P 处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m 到达B 处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m 到达C 处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．(1)求A 处到临皋亭P 处的距离．(2)求临皋亭1P 处与遗爱亭2P 处之间的距离(计算结果保留根号)【答案】(1)(50065002) m -；(2)(80024006)-米详解】解：(1)依题意有22145,75,30P AB P BA PCA ∠=︒∠=︒∠=︒．过点1P 作1PM AC ⊥于点M ．设1 m PM x =，则在1Rt APM 中，11m m ,2 AM PM x AP x ===． 在1Rt PMC 中，1122 m,3 m PC PM x MC x ===． 又AC AB BC AM MC =+=+，3600400.500(31)x x x ∴+=+∴=-12500(31)(50065002) mAP ∴=⨯-=- ∴点A 处与点1P 处临皋亭之间的距离为(50065002) m -．(2)过点B 作2BN AP ⊥于点N ．在Rt ABN △中，45ABN ∠=︒．3002m 22AN BN ∴====． 在2Rt NP B △中，2230NBP P BA ABN ∠=∠-∠=︒．230021006m 33NP ∴===． 22(30021006)m AP AN NP ∴=+=+．12213002100650065002(80024006)mPP AP AP ∴=-=+-+=-． ∴点1P 处临亭与点2P 处遗爱亭之间的距离为(80024006)m -．23.已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，与x 轴负半轴交于点D ，15,tan 2OB DOB =∠=．(1)求反比例函数的解析式；(2)当12ACO OCD S S =时，求点C 的坐标．【答案】(1)2y x =；(2)点C 的坐标为(0,2) 【详解】解：(1)过点B 作BM x ⊥轴于点M ，则在Rt MOB 中1tan 2BM DOB MO ∠==． 设(0)BM x x =>，则2MO x =．又2225,OB OM BM OB =+=．222(2)(5)x x ∴+=．又0,x >1x ∴=，∴点B 的坐标是(2,1)--∴反比例的解析式为2y x=． (2)设点C 的坐标为(0, )m ，则0m >．设直线AB 的解析式为：y kx m =+．又∵点(2,1)B --在直线AB 上将点B 的坐标代入直线解析式中，21k m ∴-+=-．12m k +∴=． ∴直线AB 的解析式为：12m y x m +=+． 令0y =，则21m x m =-+． 21m OD m ∴=+． 令212m x m x +=+，解得1222,1x x m =-=+． 经检验12,x x 都是原方程的解．又12ACO OCD s s ∆∆=． 111222A CO x CO OD ∴⋅=⨯⋅． 2A OD x ∴=．2411m m m ∴=++． 2m ∴=．经检验，2m =是原方程的解．∴点C 的坐标为(0,2)．24.网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg ，每日销售量(kg)y 与销售单价x (元/kg )满足关系式：1005000y x =-+．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg ．当每日销售量不低于4000kg 时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W (元)．(1)请求出日获利W 与销售单价x 之间的函数关系式(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？(3)当40000W ≥元时，网络平台将向板栗公可收取a 元/kg(4)a <的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a 的值．【答案】(1)22100550027000(610)100560032000(1030)x x x w x x x ⎧-+-≤≤=⎨-+-<≤⎩；(2)当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元；(3)2a =【详解】解：(1)当4000y ≥，即10050004000x -+≥，10x ∴≤．∴当610x ≤≤时，(61)(1005000)2000w x x =-+-+-2100550027000x x =-+-当1030x <≤时，(6)(1005000)2000w x x =--+-2100560032000x x =-+-．22100550027000(610)100560032000(1030)x x x w x x x ⎧-+-≤≤∴=⎨-+-<≤⎩(2)当610x ≤≤时，2100550027000w x x =-+-．∵对称轴为5500551022(100)2b x a =-=-=>⨯-， ∴当10x =时，max 54000200018000w =⨯-=元．当1030x <≤时，2100560032000w x x =-+-．∵对称轴为56002822(100)b x a =-=-=⨯-， ∴当28x =时，max 222200200046400w =⨯-=元．4640018000>∴综合得，当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元．(3)4000018000>，1030x ∴<≤，则2100560032000w x x =-+-．令40000w =，则210056003200040000x x -+-=．解得：1220,36x x ==．在平面直角坐标系中画出w 与x 的数示意图．观察示意图可知：40000,2036w x ≥≤≤．又1030x <≤，2030x ∴≤≤．1(6)(1005000)2000w x a x ∴=---+-2100(5600100)320005000x a x a =-++--．对称轴为560010012822(100)2b a x a a +=-=-=+⨯- 4a <，∴对称轴128302x a =+<． ∴当1282x a =+时，max 42100w =元． 1128610028500020004210022a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+---++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2881720a a ∴-+=，122,86a a ∴==．又4a <，2a ∴=．25.已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，顶点为点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且:3:5ACE CEB S S =，求直线CE 的解析式(3)若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标；(4)已知点450,,(2,0)8H G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在抛物线对称轴上找一点F ，使HF AF +的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K ，使KF KG +的值最小，若存在，求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2y x 2x 3=-++；(2)63y x =-+；(3)点P 的坐标为(15,1),(13,1)±-±；(4)存在，点K 的坐标为(2,3)【详解】解：(1)方法1：设抛物线的解析式为(3)(1)y a x x将点(0,3)C 代入解析式中，则有1(03)31a a ⨯-=∴=-．∴抛物线的解析式为()222323y x x x x =---=-++．方法二：∵经过,,A B C 三点抛物线的解析式为2y ax bx c =++，将(1,0),(3,0),(0,3)A B C -代入解析式中，则有 30930c a b c a b c =⎧⎪∴-+=⎨⎪++=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++．(2):3:5ACE CEB S S ∆∆=，132152AE CO EB CO ⋅∴=⋅． :3:5AE EB ∴=．3334882AE AB ∴==⨯=． 31122E x ∴=-+=． E ∴的坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭． 又C 点坐标为(0,3)．∴直线CE 的解析式为63y x =-+．(3)2223(1)4y x x x =-++=--+．∴顶点D 的坐标为(1,4)．①当四边形DCPQ 为平行四边形时，由DQ ∥CP ，DQ=CP 得：D Q C P y y y y -=-，即403P y -=-．1p y ∴=-．令1y =-，则2231x x -++=-．1x ∴=±∴点P 的坐标为(11)±-．②当四边形DCQP 为平行四边形时，由CQ ∥DP ，CQ=DP 得：c Q D p y y y y -=-，即304P y -=-1p y ∴=．令1y =，则2231x x -++=．1x ∴=±∴点P 的坐标为(1．∴综合得：点P 的坐标为(11),(1±-±(4)∵点A 或点B 关于对称轴1x =对称∴连接BH 与直线1x =交点即为F 点．∵点H 的坐标为450,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，点B 的坐标为(3,0)， ∴直线BH 的解析式为：154588y x =-+． 令1x =，则154y =． 当点F 的坐标为151,4⎛⎫ ⎪⎝⎭时，HF AF +的值最小．11分 设抛物线上存在一点()00,K x y ，使得FK FG +的值最小．则由勾股定理可得：()222001514KF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭． 又∵点K 在抛物线上，()20014y x ∴=--+()20014x y ∴-=-代入上式中， ()2220001517444KF y y y ⎛⎫⎛⎫∴=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0174KF y ∴=-． 如图，过点K 作直线SK ，使//SK y 轴，且点S 的纵坐标为174．∴点S 的坐标为017,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 则0174SK y =-． 000171717,444y y y ⎛⎫<∴-=- ⎪⎝⎭(两处绝对值化简或者不化简者正确．)KF SK ∴=．KF KG SK KG ∴+=+当且仅当,,S K G 三点在一条直线上，且该直线干行于y 轴，FK FG +的值最小． 又∵点G 的坐标为(2,0)，02x ∴=，将其代入抛物线解析式中可得：03y =．∴当点K 的坐标为(2,3)时，KF KG +最小．。