2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。

1、设z=，则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。

B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。

C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。

D 、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。

【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0 ; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f（x）=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。

∴最短路径的长度为AB=【考点定位】立体几何:圆柱体的展开图形，最短路径8.设抛物线C ：y ²=4x 的焦点为F ，过点（-2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则·=A.5B.6C.7D.8 【答案】D 【解析】抛物线C ：y ²=4x 的焦点为F(1,0)A AB直线MN 的方程: ）2（32y +=x消去x 整理得：y 2-6y+8=0 ∴y=2 或y=4 M 、N 的坐标（1，2），（4，4）则·=(0,2)·(3,4)=0*3+2*4=8【考点定位】抛物线焦点 向量的数量积 如果消去Ｘ，计算量会比较大一些，您不妨试试。

9.已知函数f （x ）=g （x ）=f （x ）+x+a ，若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】根据题意：f(x)+x+a=0 有两个解。

令M(x)=-a, N(x)=f(x)+x =分段求导：N‘(x)=f(x)+x =说明分段是增函数。

考虑极限位置，图形如下：M(x)=-a 在区间(-∞，+1]上有2个交点。

∴a 的取值范围是C. [-1，+∞）【考点定位】分段函数、函数的导数、分离参数法10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。

此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为。

直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC. △ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。

在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则A. p 1=p 2B. p 1=p 3C. p 2=p 3D. p 1=p 2+p 3【答案】A 【解析】整个区域的面积： S 1+S 半圆BC = S 半圆AB + S 半圆AC +S △ABC 根据勾股定理，容易推出S 半圆BC = S 半圆AB + S 半圆AC ∴S 1= S △ABC 故选A【考点定位】古典概率、 不规则图形面积11.已知双曲线C ：-y ²=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N . 若△OMN 为直角三角形，则∣MN ∣= A.B.3C.D.4【答案】B 【解析】右焦点,OF= ==2，渐近线方程y=x ∴∠NOF=∠MOF =3 °在Rt △OMF 中，OM=OF*cos∠MOF= *cos= ° 在Rt △OMN 中，MN=OM ∠ = * ° ° =3 【考点定位】双曲线渐近线、焦点概念清晰了，秒杀！有时简单的“解三角”也行，甚至双曲线都不用画出来。

如果用解方程，计算量很大。

12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A.B.C.D.【答案】A【解析】如图平面α截正方体所得截面为正六边形，此时，截面面积最大，其中边长GH=截面面积S=6××（）2=【考点定位】立体几何截面【盘外招】交并集理论：ABD交集为，AC交集为，选A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若x，y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 .【答案】6【解析】当直线z=3x+2y经过点（2，0）时，Z max=3*2+0=6【考点定位】线性规划（顶点代入法）14.记S n 为数列｛a n ｝的前n 项和.若S n =2a n +1，则S 6= . 【答案】-63 【解析】S 1=2a 1+1=a 1 ∴a 1=-1n>1时，S n =2a n +1，S n-1=2a n-1+1 两式相减：S n -S n-1= a n =2a n -2a n-1 ∴a n =2a n-1 a n =a1×2n-1= （-1）×2n-1 ∴S 6=（-1）×（26-1）=-63 【考点定位】等比数列的求和15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种.（用数字填写答案） 【答案】16 【解析】=2 6+1 =16【考点定位】排列组合16.已知函数f （x ）=2sinx+sin2x ，则f （x ）的最小值是 . 【答案】【解析】f （x ）=2sinx+sin2x=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx)考虑到f （x ）为奇函数，可以求f （x ）最大值.将f （x ）平方：f 2（x ）=4sin 2x(1+cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3=4/3(3-3cosx)(1+cosx)3≧(4/3) （（3-3cosx ）3(1+cosx))/4）4=34 （46）4=427当3-3cosx=1+cosx 即cosx时，f 2（x ）取最大值f （x ）min =【考点定位】三角函数的极值，基本不等式的应用 【其他解法】：１．求导数解答２．f （x ）=2sinx(1+cosx)看成单位圆中一个三角形面积求解。

三.解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）在平面四边形ABCD 中，∠ADC =9 °，∠A = 5°，AB =2，BD =5. （1）求cos∠ADB ； （2）若DC =，求BC .【答案】【解析】（1）在△ABD 中，由正弦定理得 s ∠s ∠ ∴s ∠ =ABsin ∠ADB/BD=5由题设可知，∠ADB<9 °∴ cos∠ = 5=5(2)由题设及（1）可知cos ∠ = s ∠ =5 在△BCD 中，由余弦定理得 BC 2=BD 2+DC 2-2BD DC cos ∠BDC=25+8-2 55=25 ∴BC=5【考点定位】正弦定理 余弦定理18.（12分）如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把∆DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.【答案】【解析】（1）由已知可得PF⊥BF，BF⊥EF∴BF⊥平面P EF又BF在平面ABFD上∴平面PEF⊥平面ABFD(2)PH⊥EF，垂足为H，由（1）可得，PH⊥平面ABFD ∴DP与平面ABFD所成角就是∠PDH. CD2=PD2=DH2+PH2=DE2+EH2+PH2= DE2+（EF-HF）2+PH2CF2=PF2=HF2+PH2设正方形ABCD的边长为2.上面两个等式即是：22=12+（2-HF）2+PH212=HF2+PH2∴解方程得HF= PH=在Rt△PHD中, s ∠PDH=PH/PD=/2=.【考点定位】立体几何点、直线、面的关系19.（12分）设椭圆C： +y²=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠OM =∠OM .【答案】【解析】（1）由已知可得F（1，0），直线l的方程为x=1由已知可得, 点A的坐标为（1，）或（1，—）∴直线AM的方程为y=—x+或 y= x—(2)当l与x轴重合，.∠OM =∠OM = 0当l与x轴垂直，OM为AB的垂直平分线，所以∠OM =∠OM当l与x轴不重合且不垂直，设直线l的方程为y=k(x-1) (k≠0)点A(x1,y1), B(x2,y2) ，x1<2,X2<2, 则直线MA、MB的斜率之和K MA+K MB=+=+=将y=k(x-1)代入椭圆C的方程得：（2k2+1）x2-4k2x+(2k2-2)=0x1∴+x2=,x1x2==从而 K MA+K MB=0 MA、MB的倾斜角互补，∴∠OM =∠OM综上所述，∠OM =∠OM【考点定位】圆锥曲线20、（12分）某工厂的某、种、产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的ｋ概率都为P （0<P<1），且各件产品是否为不合格品相互独立。