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八年级上学期期末数学试题(1)

八年级上学期期末数学试题(1)一、选择题1.摩托车开始行驶时,油箱中有油4升,如果每小时耗油0.5升,那么油箱中余油量y (升)与它工作时间t (时)之间函数关系的图象是( ) A . B .C .D .2.低碳环保理念深入人心,共享单车已经成为出行新方式下列共享单车图标中,是轴对称图形的是( )A .B .C .D .3.在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中,是轴对称图形是( ) A . B . C . D . 4.如图,∠A =30°,∠C ′=60°,△ABC 与△A′B′C′关于直线l 对称,则∠B 度数为( )A .30B .60︒C .90︒D .120︒5.把分式22xy x y -中的x 、y 的值都扩大到原来的2倍,则分式的值… ( ) A .不变B .扩大到原来的2倍C .扩大到原来的4倍D .缩小到原来的126.如图,AD 是ABC 的角平分线,DE AB ⊥于E ,已知ABC 的面积为28.6AC =,4DE =,则AB 的长为( )A .4B .6C .8D .107.如图,已知AB AD =,下列条件中,不能作为判定ABC ≌ADC 条件的是A .BC DC =B .BAC DAC ∠=∠ C .90BD ︒∠=∠=D .ACB ACD ∠=∠ 8.如图,若BD 为等边△ABC 的一条中线,延长BC 至点E ,使CE =CD =1,连接DE ,则DE 的长为( )A 3B 3C 5D 59.2的整数部分用a 表示,小数部分用b 表示,42的整数部分用c 表示,小数部分用d 表示,则b d ac +值为( ) A .12 B .14 C .212 D .2+1210.下列各组数是勾股数的是( )A .6,7,8B .132C .5,4,3D .0.3,0.4,0.5二、填空题11.若函数4y kx =-的图象平行于直线2y x =-,则函数的表达式是________.12.在一个不透明的袋子中装有2个黄球和3个红球,每个除颜色外完全相同,将球摇匀从中任取一球:①恰好取出白球;②恰好取出红球;③恰好取出黄球,根据你的判断,将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列___________(只需填写序号).13.已知点(,)P a b 在一次函数21y x =+的图象上,则21a b --=_____.14.4的平方根是 .15.因式分解:24ax ay -=__________.16.3.145精确到百分位的近似数是____.17. 如图,在正三角形ABC 中,AD ⊥BC 于点D ,则∠BAD= °.18.根据如图所示的计算程序,小明输入的x 的值为36,则输出的y 的值为__________.19.如图,在ABC ∆中,AB AC =,4BC =,其面积为12,AC 的垂直平分线EF 分别交AB ,AC 边于点E ,F .若点D 为BC 边的中点,点P 为线段EF 上的一个动点,则PCD ∆周长的最小值为______.20.4的平方根是 .三、解答题21.(问题背景)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 的坐标是(0,1),点C 是x 轴上的一个动点.当点C 在x 轴上移动时,始终保持ACP ∆是等腰直角三角形,且90CAP ∠=︒(点A 、C 、P 按逆时针方向排列);当点C 移动到点O 时,得到等腰直角三角形AOB (此时点P 与点B 重合). (初步探究)(1)写出点B 的坐标______.(2)点C 在x 轴上移动过程中,当等腰直角三角形ACP 的顶点P 在第四象限时,连接BP . 求证:AOC ABP ∆∆≌;(深入探究)(3)当点C 在x 轴上移动时,点P 也随之运动.经过探究发现,点P 的横坐标总保持不变,请直接写出点P 的横坐标:______.(拓展延伸)(4)点C 在x 轴上移动过程中,当POB ∆为等腰三角形时,直接写出此时点C 的坐标.备用图22.若△ABC 的三边分别为a ,b ,c ,其中a ,b 6a -(b ﹣8)2=0.(1)求边长c 的取值范围,(2)若△ABC 是直角三角形,求△ABC 的面积.23.小明骑自行车从甲地到乙地,图中的折线表示小明行驶的路程()km s 与所用时间()h t 之间的函数关系.试根据函数图像解答下列问题:(1)小明在途中停留了____h ,小明在停留之前的速度为____km/h ;(2)求线段BC 的函数表达式;(3)小明出发1小时后,小华也从甲地沿相同路径匀速向乙地骑行,6t =h 时,两人同时到达乙地,求t 为何值时,两人在途中相遇.24.先化简,再求值:2221111x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭,其中2x =. 25.如图,在△ABC 中,AC=BC ,∠ACB =90°,点D 在BC 上,BD =3,DC =1,点P 是AB 上的动点,当△PCD 的周长最小时,在图中画出点P 的位置,并求点P 的坐标.四、压轴题26.如图,在平面直角坐标系中,直线334y x =-+分别交,x y 轴于A B ,两点,C 为线段AB 的中点,(,0)D t 是线段OA 上一动点(不与A 点重合),射线//BF x 轴,延长DC 交BF 于点E .(1)求证:AD BE =;(2)连接BD ,记BDE 的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式;(3)是否存在t 的值,使得BDE 是以BD 为腰的等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的t 的值;若不存在,请说明理由.27.阅读下列材料,并按要求解答.(模型建立)如图①,等腰直角三角形ABC 中,∠ACB =90°,CB =CA ,直线ED 经过点C ,过A 作AD ⊥ED 于点D ,过B 作BE ⊥ED 于点E .求证:△BEC ≌△CDA .(模型应用)应用1:如图②,在四边形ABCD中,∠ADC=90°,AD=6,CD=8,BC=10,AB2=200.求线段BD的长.应用2:如图③,在平面直角坐标系中,纸片△OPQ为等腰直角三角形,QO=QP,P(4,m),点Q始终在直线OP的上方.(1)折叠纸片,使得点P与点O重合,折痕所在的直线l过点Q且与线段OP交于点M,当m=2时,求Q点的坐标和直线l与x轴的交点坐标;(2)若无论m取何值,点Q总在某条确定的直线上,请直接写出这条直线的解析式.28.如图1,在等边△ABC中,E、D两点分别在边AB、BC上,BE=CD,AD、CE相交于点F.(1)求∠AFE的度数;(2)过点A作AH⊥CE于H,求证:2FH+FD=CE;(3)如图2,延长CE至点P,连接BP,∠BPC=30°,且CF=29CP,求PFAF的值.(提示:可以过点A作∠KAF=60°,AK交PC于点K,连接KB)29.如图,在平面直角坐标系中,直线AB经过点A 332)和B3,0),且与y轴交于点D,直线OC与AB交于点C,且点C3.(1)求直线AB的解析式;(2)连接OA,试判断△AOD的形状;(3)动点P从点C出发沿线段CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动,运动时间为t 秒,同时动点Q从点O出发沿y轴的正半轴以相同的速度运动,当点Q到达点D时,P,Q同时停止运动.设PQ与OA交于点M,当t为何值时,△OPM为等腰三角形?求出所有满足条件的t值.30.在Rt ABC 中,ACB =∠90°,30A ∠=︒,点D 是AB 的中点,连结CD .(1)如图①,BC 与BD 之间的数量关系是_________,请写出理由;(2)如图②,若P 是线段CB 上一动点(点P 不与点B 、C 重合),连结DP ,将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°,得到线段DF ,连结BF ,请猜想BF ,BP ,BD 三者之间的数量关系,并证明你的结论;(3)若点P 是线段CB 延长线上一动点,按照(2)中的作法,请在图③中补全图形,并直接写出BF ,BP ,BD 三者之间的数量关系.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【解析】【分析】由题意根据剩余油量等于油箱中的原有的油量减去用去的油量,列出y 、x 的关系式,然后根据一次函数的图象选择答案即可.【详解】解:∵油箱中有油4升,每小时耗油0.5升,∴y=4-0.5x ,∵4-0.5x ≥0,∴x ≤8,∴x的取值范围是0≤x≤8,所以,函数图象为:故选:D.【点睛】本题考查一次函数的应用,一次函数的图象,比较简单,难点在于根据实际意义求出自变量x的取值范围.2.A解析:A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解.【详解】A、是轴对称图形.故选项正确;B、不是轴对称图形.故选项错误;C、不是轴对称图形.故选项错误;D、不是轴对称图形.故选项错误.故选:A.【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合.3.B解析:B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念,如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴因此.【详解】A、不是轴对称图形,不符合题意;B、是轴对称图形,符合题意;C、不是轴对称图形,不符合题意;D、不是轴对称图形,不符合题意.故选B.【点睛】考核知识点:轴对称图形识别.4.C解析:C【解析】 【分析】由已知条件,根据轴对称的性质可得∠C =∠C ′=30°,利用三角形的内角和等于180°可求答案.【详解】∵△ABC 与△A ′B ′C ′关于直线l 对称,∴∠A =∠A ′=30°,∠C =∠C ′=60°;∴∠B =180°−30°-60°=90°.故选:C .【点睛】主要考查了轴对称的性质与三角形的内角和是180度;求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°.5.A解析:A【解析】把分式22xy x y -中的x 、y 的值都扩大到原来的2倍,可得222222224(2)(2)44x y xy xy x y x y x y ⋅==---,由此可得分式的值不变,故选A. 6.C解析:C【解析】【分析】作DF ⊥AC 于F ,根据角平分线的性质求出DF ,根据三角形的面积公式计算即可.【详解】解:作DF ⊥AC 于F ,∵AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,∴DF=DE=4,∴112228AB DE AC DF 即112246428AB 解得,AB=8,故选:C .【点睛】本题考查的是角平分线的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.7.D解析:D【解析】【分析】利用全等三角形的判定定理:SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析即可.【详解】解:A、AB=AD,BC=DC,再加上公共边AC=AC可利用SSS判定△ABC≌△ADC,故此选项不符合题意;B、AB=AD,∠BAC=∠DAC再加上公共边AC=AC可利用SAS判定△ABC≌△ADC,故此选项不合题意;C、AB=AD,∠B=∠D=90°再加上公共边AC=AC可利用HL判定△ABC≌△ADC,故此选项不合题意;D、AB=AD,∠ACB=∠ACD再加上公共边AC=AC不能判定△ABC≌△ADC,故此选项合题意;故选:D.【点睛】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.8.B解析:B【解析】【分析】由等边三角形的性质及已知条件可证BD=DE,可知BC长及BD⊥AC,在Rt△BDC中,由勾股定理得BD长,易知DE长.【详解】解:∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC,∵BD为中线,∴∠DBC=12∠ABC=30°,∵CD=CE,∴∠E=∠CDE,∵∠E+∠CDE=∠ACB,∴∠E=30°=∠DBC,∴BD=DE,∵BD是AC中线,CD=1,∴AD =CD =1,∵△ABC 是等边三角形,∴BC =AC =1+1=2,且BD ⊥AC ,在Rt △BDC 中,由勾股定理得:BD ==即DE =BD故选:B .【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质,灵活利用等边三角形三线合一及三个角都是60度的性质是解题的关键. 9.A解析:A【解析】【分析】和4的值,确定其整数部分,再用原数减去其整数部分可得小数部分,将求得的值代入求解即可.【详解】解:∵1<2<4,∴1<2.∴a =1,b ﹣1,∵2<4<3∴c =2,d =4﹣2=2.∴b +d =1,ac =2. ∴b d ac +=12. 故选:A .【点睛】本题考查了实数的估算,灵活的利用估算确定无理数的整数部分与小数部分是解题的关键. 10.C解析:C【解析】【分析】欲求证是否为勾股数,这里给出三边的长,只要验证222+=a b c 即可.【详解】解:A 、222768+≠,故此选项错误;BC 、222345+=,故此选项正确;D 、0.3,0.4,0.5,勾股数为正整数,故此选项错误.故选:C.【点睛】本题考查了勾股数的概念,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数.验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,从而作出判断.二、填空题11.y=-2x-4【解析】【分析】两个一次函数的图象平行,则一次项系数一定相同,则解析式即可求得.【详解】解:∵函数y=kx-4的图象平行于直线y=-2x,∴k=-2,函数的表达式为y=-2解析:y=-2x-4【解析】【分析】两个一次函数的图象平行,则一次项系数一定相同,则解析式即可求得.【详解】解:∵函数y=kx-4的图象平行于直线y=-2x,∴k=-2,函数的表达式为y=-2x-4.故答案为:y=-2x-4.【点睛】本题考查了两条直线平行的问题,一次函数平行系数的特点是解题的关键.12.①③②【解析】【分析】根据可能性大小的求法,求出各个事件发生的可能性的大小,再按照大小顺序从小到大排列起来即可.【详解】解:根据题意,袋子中共5个球, 2个黄球和3个红球,故将球摇匀,从中解析:①③②【解析】【分析】根据可能性大小的求法,求出各个事件发生的可能性的大小,再按照大小顺序从小到大排列起来即可.【详解】解:根据题意,袋子中共5个球, 2个黄球和3个红球,故将球摇匀,从中任取1球,则①恰好取出白球的可能性为0,②恰好取出红球的可能性为35,③恰好取出黄球的可能性为25, 故这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是①③②.故答案为:①③②.【点睛】本题主要考查了可能性大小计算,即概率的计算方法,用到的知识点为:可能性等于所求情况数与总情况数之比,难度适中.13.【解析】【分析】根据点在函数图像上,即将点代入函数解析式,能够使解析式成立,将本题中P 点的坐标代入解析式,变形即可解决.【详解】解:将代入函数解析式得:b=2a+1,将此式变形即可得到:解析:2-【解析】【分析】根据点在函数图像上,即将点代入函数解析式,能够使解析式成立,将本题中P 点的坐标代入解析式,变形即可解决.【详解】解:将(,)P a b 代入函数解析式得:b=2a+1,将此式变形即可得到:210a b -+=,两边同时减去2,得:21a b --=-2,故答案为:2-.【点睛】本题考查了通过函数上点的坐标,求相关代数式的值,解决本题的关键要熟练掌握一次函数的性质,明白函数上的点都能使函数解析式成立.14.±2.【解析】试题分析:∵,∴4的平方根是±2.故答案为±2. 考点:平方根.解析:±2.【解析】试题分析:∵2(2)4±=,∴4的平方根是±2.故答案为±2.考点:平方根.15.【解析】【分析】运用提公因式法求解,公因式是2a.【详解】故答案为:【点睛】考核知识点:因式分解.掌握提公因式法是关键.解析:()22a x y -【解析】【分析】运用提公因式法求解,公因式是2a.【详解】()2422ax ay a x y -=-故答案为:()22a x y -【点睛】考核知识点:因式分解.掌握提公因式法是关键.16.15.【解析】【分析】根据近似数的精确度求解.3.145精确到百分位就是精确到数字4这一位,后一位数字5四舍五入即可.【详解】解:3.145≈3.15(精确到百分位).故答案为3.15.解析:15.【解析】【分析】根据近似数的精确度求解.3.145精确到百分位就是精确到数字4这一位,后一位数字5四舍五入即可.【详解】解:3.145≈3.15(精确到百分位).故答案为3.15.【点睛】本题考查了近似数和有效数字:近似数与精确数的接近程度,可以用精确度表示.一般有,精确到哪一位,保留几个有效数字等说法;从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止,所有的数字都是这个数的有效数字.17.30【解析】【分析】根据正三角形ABC得到∠BAC=60°,因为AD⊥BC,根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD的度数.【详解】∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∵AB=AC解析:30【解析】【分析】根据正三角形ABC得到∠BAC=60°,因为AD⊥BC,根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD 的度数.【详解】∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=12∠BAC=30°,故答案为30°.18.0【解析】【分析】根据题意,由时,代入,求出答案即可.【详解】解:∵小明输入的的值为36,∴;故答案为:0.【点睛】本题考查了代数式求值:把满足条件的字母的值代入代数式进行计算得到解析:0【解析】【分析】根据题意,由36x =时,代入32x y =-,求出答案即可. 【详解】解:∵小明输入的x 的值为36,∴363330y =-=-=; 故答案为:0.【点睛】本题考查了代数式求值:把满足条件的字母的值代入代数式进行计算得到对应的代数式的值.19.8【解析】【分析】连接AP ,AD ,根据等腰三角形三线合一可知AD 为△ABC 的高线,求出AD 的长度.根据垂直平分线的性质AP=PC,由两点之间线段最短可知AP+PD 最短AD,由此可求周长的最小值解析:8【解析】【分析】连接AP ,AD ,根据等腰三角形三线合一可知AD 为△ABC 的高线,求出AD 的长度.根据垂直平分线的性质AP=PC,由两点之间线段最短可知AP+PD 最短AD,由此可求PCD ∆周长的最小值【详解】解:如下图,连接AP ,AD.∵△ABC 是等腰三角形,点D 是BC 边的中点,∴AD ⊥BC ,DC=122BC =, 1141222ABC S BC AD AD ∴=⋅=⨯⨯=, 解得AD=6, ∵EF 是线段AC 的垂直平分线,∴AP=PC,∴DP+PC=DP+AP≥AD=6.∴PCD ∆周长=DP+PC+DC,当DP+PC=6时周长最短,最短为6+2=8.故答案为:8.【点睛】本题考查等腰三角形的性质,垂直平分线的性质,两点之间线段最短.能根据垂直平分线的性质和两点之间线段最短求得DP+PC 的最小值是解决此题的关键.20.±2.【解析】试题分析:∵,∴4的平方根是±2.故答案为±2.考点:平方根.解析:±2.【解析】试题分析:∵2(2)4±=,∴4的平方根是±2.故答案为±2.考点:平方根.三、解答题21.(1)(1,1);(2)证明见解析;(3)1;(4)(2,0)(--.【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质,OA=AB ,题干中已知A 点坐标,即可求得OB 的长度,表示出B 点坐标即可.根据等腰直角三角形的性质得到90CAP OAB ︒∠=∠=,再根据等角的余角相等,得出角12∠=∠,最后利用三角形全等的判定方法进行判定即可.根据(2)的结论△ABP 也为直角三角形,且AB 垂直BP ,且AB=OB=1,即可得出P 点的横坐标.先根据题意,确定B 点、A 点坐标,设出P 点和C 点坐标,分情况进行讨论,当OP=OB 时,当OB=BP 时,当OP=BP 时,分别利用两点间距离公式求出点P 点的坐标,然后分别算出AP 的长,最后利用AP=AC 计算出A 点坐标即可.【详解】解:(1)∵点A 的坐标为(0,1)△OAB 是等腰直角三角形,且OA=AB ,OA⊥BA∴B 点坐标为(1,1).(2)证明:在等腰直角三角形ACP 中,AC AP =,90CAP ∠=︒在等腰直角三角形AOB 中,AO AB =,90OAB ∠=︒90CAP OAB ︒∠=∠=CAP OAP OAB OAP ∴∠-∠=∠-∠12∠∠∴=在AOC∆和ABP∆中2AC APAO AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOC ABP SAS∴∆∆≌(3)AOC ABP∆∆≌(已证)∴∠ABP=90°∴PB垂直AB,P点在过B点且垂直与AB的垂线上,∵点B的坐标为(1,1)∴P点的横坐标为1.(4)由题意和(1)可知()01(11)A B,,,,设P(1,y),C(x,0),当OB=OP()()221-1+12y-=解得:21y=或21y=+,则()2212113AP=++-=()2212113AP=+-+-=解得:2x=±所以C点坐标为(2,02,0)同理当OB=OP时,可得C点坐标为(-2,0)当BP=OP时,可得C点坐标为(-1,0)故答案为:(2,0)(2,0)(1,0)(2,0)---【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,三角形全的的判定方法,计算两点间距离,动点问题,解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质,能够得到相等的线段和角,动点问题要注意分类进行讨论,根据情况确定答案.22.(1)2<c<14;(2)△ABC的面积为24或7.【解析】【分析】(1)先根据非负数的性质求出a 、b 的值,再由三角形的三边关系即可得出结论;(2)分b 是直角边和斜边两种情况,利用勾股定理求出另一直角边,然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解.【详解】解:(1)∵a ,b (b ﹣8)2=0,∴a ﹣6=0,b ﹣8=0,∴a =6,b =8,∴8﹣6<c <8+6,即2<c <14.故边长c 的取值范围为:2<c <14;(2)b =8是直角边时,6是直角边,△ABC 的面积=12×6×8=24;b =8,△ABC 的面积=12×6×.综上所述,△ABC 的面积为24或.【点睛】本题考查的是三角形的三边关系,熟知三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边是解答此题的关键.同时考查了勾股定理,难点在于要分情况讨论.23.(1)2,10;(2)s=15t-40(45)t ≤≤;(3)t=3h 或t=6h.【解析】【分析】(1)由图象中的信息可知:小明从第2小时到第4小时行驶的路程没有发生变化,所以途中停留了2h ;小明2小时内行驶的路程是20 km ,据此可以求出他的速度;(2)由图象可知:B(4,20),C(5,35),设线段BC 的函数表达式为s=kt+b,代入后得到方程组,解方程组即可;(3)先求出从甲地到乙地的总路程,现求小华的速度,然后分三种情况讨论两人在途中相遇问题.当02t <≤时, 10t=10(t-1);当24t <<时, 20=10(t-1);当46t ≤≤时, 15t-40=10(t-1);逐一求解即可.【详解】解:(1)由图象可知:小明从第2小时到第4小时行驶的路程没有发生变化,所以途中停留了2h ;由图象可知:小明2小时内行驶的路程是20 km ,所以他的速度是20210÷=(km/ h );故答案是:2;10.(2)设线段BC 的函数表达式为s=kt+b,由图象可知:B(4,20),C(5,35),∴420535k b k b +=⎧⎨+=⎩, ∴1540k b =⎧⎨=-⎩, ∴线段BC 的函数表达式为s=15t-40(45)t ≤≤;(3)在s=15t-40中,当t=6时,s=15×6-40=50,∴从甲地到乙地全程为50 km ,∴小华的速度=50(61)10÷-=(km/ h ),下面分三种情况讨论两人在途中相遇问题:当02t <≤时,两人在途中相遇,则10t=10(t-1),方程无解,不合题意,舍去;当24t <<时,两人在途中相遇,则20=10(t-1),解得t=3;当46t ≤≤时,两人在途中相遇,则15t-40=10(t-1),解得t=6;∴综上所述,当t=3h 或t=6h 时,两人在途中相遇.【点睛】本题考查了一次函数的应用,能够正确理解函数图象横纵坐标表示的意义,解题关键是理解一些关键点的含义,并结合实际问题数量关系进行求解.24.11x +,13. 【解析】【分析】括号内先通分进行分式的加减法运算,然后再进行分式的乘除法运算,最后把数值代入化简后的结果进行计算即可. 【详解】2221111x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭, ()()()211111x x x x x x +--+=⋅-+, 11x =+, 当2x =时,原式13=. 【点睛】本题考查了分式的化简求值,熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键. 25.图见详解;P (197,127) 【解析】【分析】过C 作CF AB ⊥于F ,延长CF 到E ,使CF FE =,连接DE ,交AB 于P ,连接CP,DP CP DP EP ED+=+=的值最小,即可得到P点;通过A和B点的坐标,运用待定系数法求出直线AB的函数表达式,再通过D和E点的坐标,运用待定系数法求出直线DE的函数表达式,联合两个表达式解方程组求出交点坐标即可.【详解】解:如图所示,过C作CF AB⊥于F,延长CF到E,使CF FE=,连接DE,交AB于P,连接CP;∵△PCD的周长=CD DP CP++∴DP CP DP EP ED+=+=时,可取最小值,图中P点即为所求;又∵BD=3,DC=1∴平面直角坐标系中每一个小方格的边长为1,即:A(5,4),B(1,0),D(4,0),E(1,4)设直线AB的解析式为AB AB ABy k x b=+,代入点A和B得:54ABABk bk b+=⎧⎨+=⎩解得:11ABABkb=⎧⎨=-⎩∴1ABy x=-设直线DE的解析式为DE DE DEy k x b=+,代入点D和E得:404DE DEDE DEk bk b+=⎧⎨+=⎩解得:43163DEDEkb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴416+33DEy x=-∴联合两个一次函数可得:∴1416+33y xy x=-⎧⎪⎨=-⎪⎩解得197127xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴P(197,127)【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径的画法,待定系数法求一次函数解析式,两直线的交点与二元一次方程组的解,求出一次函数的解析式组建二元一次方程组是解题的关键.四、压轴题26.(1)详见解析;(2)36(04)2BDE t t S-+≤<=;(3)存在,当78t =或43时,使得BDE 是以BD 为腰的等腰三角形.【解析】【分析】 (1)先判断出EBC DAC ∠=∠,CEB CDA ∠=∠,再判断出BC AC =,进而判断出△BCE ≌△ACD ,即可得出结论;(2)先确定出点A ,B 坐标,再表示出AD ,即可得出结论;(3)分两种情况:当BD BE =时,利用勾股定理建立方程2223(4)t t +=-,即可得出结论;当BD DE =时,先判断出Rt △OBD ≌Rt △MED ,得出DM OD t ==,再用OM BE =建立方程求解即可得出结论.【详解】解:(1)证明:射线//BF x 轴,EBC DAC ∴∠=∠,CEB CDA ∠=∠,又C 为线段AB 的中点,BC AC ∴=,在△BCE 和△ACD 中, CEB CDA EBC DAC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCE ≌△ACD (AAS ),BE AD ∴=;(2)解:在直线334y x =-+中, 令0x =,则3y =,令0y =,则4x =,A ∴点坐标为(4,0),B 点坐标为(0,3), D 点坐标为(,0)t ,4AD t BE ∴=-=, 113(4)36(04)222BDE ABD B S S AD y t t t ∴==⋅=-⨯=-+<;(3)当BD BE =时,在Rt OBD ∆中,90BOD ∠=︒,由勾股定理得:222OB OD DB +=,即2223(4)t t +=-解得:78t =; 当BD DE =时,过点E 作EM x ⊥轴于M ,90BOD EMD ∴∠=∠=︒,//BF OA ,OB ME ∴=在Rt △OBD 和Rt △MED 中,==BD DE OB ME⎧⎨⎩, ∴Rt △OBD ≌Rt △MED (HL ),OD DM t ∴==,由OM BE =得:24t t =- 解得:43t =, 综上所述,当78t =或43时,使得△BDE 是以BD 为腰的等腰三角形.【点睛】本题是一次函数综合题,主要考查了平行线的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,用方程的思想解决问题是解本题的关键.27.模型建立:见解析;应用1:652:(1)Q (1,3),交点坐标为(52,0);(2)y =﹣x+4【解析】【分析】根据AAS证明△BEC≌△CDA,即可;应用1:连接AC,过点B作BH⊥DC,交DC的延长线于点H,易证△ADC≌△CHB,结合勾股定理,即可求解;应用2:(1)过点P作PN⊥x轴于点N,过点Q作QK⊥y轴于点K,直线KQ和直线NP 相交于点H,易得:△OKQ≌△QHP,设H(4,y),列出方程,求出y的值,进而求出Q(1,3),再根据中点坐标公式,得P(4,2),即可得到直线l的函数解析式,进而求出直线l与x轴的交点坐标;(2)设Q(x,y),由△OKQ≌△QHP,KQ=x,OK=HQ=y,可得:y=﹣x+4,进而即可得到结论.【详解】如图①,∵AD⊥ED,BE⊥ED,∠ACB=90°,∴∠ADC=∠BEC=90°,∴∠ACD+∠DAC=∠ACD+∠BCE=90°,∴∠DAC=∠BCE,∵AC=BC,∴△BEC≌△CDA(AAS);应用1:如图②,连接AC,过点B作BH⊥DC,交DC的延长线于点H,∵∠ADC=90°,AD=6,CD=8,∴AC=10,∵BC=10,AB2=200,∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,∵∠ADC=∠BHC=∠ACB=90°,∴∠ACD=∠CBH,∵AC=BC=10,∴△ADC≌△CHB(AAS),∴CH=AD=6,BH=CD=8,∴DH=6+8=14,∵BH⊥DC,∴BD=应用2:(1)如图③,过点P作PN⊥x轴于点N,过点Q作QK⊥y轴于点K,直线KQ和直线NP相交于点H,由题意易:△OKQ≌△QHP(AAS),设H(4,y),那么KQ=PH=y﹣m=y﹣2,OK=QH=4﹣KQ=6﹣y,又∵OK=y,∴6﹣y=y,y=3,∴Q(1,3),∵折叠纸片,使得点P与点O重合,折痕所在的直线l过点Q且与线段OP交于点M,∴点M 是OP 的中点,∵P(4,2),∴M(2,1),设直线Q M 的函数表达式为:y =kx+b ,把Q (1,3),M(2,1),代入上式得:213k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得:25k b =-⎧⎨=⎩∴直线l 的函数表达式为:y =﹣2x +5,∴该直线l 与x 轴的交点坐标为(52,0); (2)∵△OKQ ≌△QHP ,∴QK =PH ,OK =HQ ,设Q (x ,y ),∴KQ =x ,OK =HQ =y ,∴x +y =KQ +HQ =4,∴y =﹣x +4,∴无论m 取何值,点Q 总在某条确定的直线上,这条直线的解析式为:y =﹣x +4, 故答案为:y =﹣x +4.【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理,勾股定理,一次函数的图象和性质,掌握“一线三垂直”模型,待定系数法是解题的关键.28.(1)∠AFE =60°;(2)见解析;(3)75【解析】【分析】(1)通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等,等量代换推导出60AFE ∠=︒;(2)由(1)得到60AFE ∠=︒,CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半,等量代换可得;(3)通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ,作辅助线证明ABK 和ACF 全等,利用对应边相等,等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】(1)解:如图1中.∵ABC 为等边三角形,∴AC =BC ,∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°, 在BCE 和CAD 中,60BE CD CBE ACD BC CA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,∴ BCE CAD ≌(SAS ),∴∠BCE =∠DAC ,∵∠BCE +∠ACE =60°,∴∠DAC +∠ACE =60°,∴∠AFE =60°.(2)证明:如图1中,∵AH ⊥EC ,∴∠AHF =90°,在Rt △AFH 中,∵∠AFH =60°,∴∠FAH =30°,∴AF =2FH ,∵ EBC DCA ≌,∴EC =AD ,∵AD =AF +DF =2FH +DF ,∴2FH +DF =EC .(3)解:在PF 上取一点K 使得KF =AF ,连接AK 、BK ,∵∠AFK =60°,AF =KF ,∴△AFK 为等边三角形,∴∠KAF =60°,∴∠KAB =∠FAC ,在ABK 和ACF 中,AB AC KAB ACF AK AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴ ABK ACF ≌(SAS ),BK CF =∴∠AKB =∠AFC =120°,∴∠BKE =120°﹣60°=60°,∵∠BPC =30°,∴∠PBK =30°, ∴29BK CF PK CP ===, ∴79PF CP CF CP =-=, ∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP ==-+=-= ∴779559CP PF AF CP == . 【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质,及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.29.(1)y+2;(2)△AOD 为直角三角形,理由见解析;(3)t =23. 【解析】【分析】(1)将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式:y =kx +b ,即可求解;(2)由点A 、O 、D 的坐标得:AD 2=1,AO 2=3,DO 2=4,故DO 2=OA 2+AD 2,即可求解; (3)点C,1),∠DBO =30°,则∠ODA =60°,则∠DOA =30°,故点C1),则∠AOC =30°,∠DOC =60°,OQ =CP =t ,则OP =2﹣t .①当OP =OM 时,OQ =QH +OH,即2(2﹣t )+12(2﹣t )=t ,即可求解;②当MO =MP 时,∠OQP =90°,故OQ =12O P ,即可求解;③当PO =PM 时,故这种情况不存在. 【详解】 解:(1)将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式:y =kx +b 得:3=220k b b ⎧+⎪⎨⎪=+⎩,解得:3=2kb⎧⎪⎨⎪=⎩-故直线AB的表达式为:y=﹣33x+2;(2)直线AB的表达式为:y=﹣3x+2,则点D(0,2),由点A、O、D的坐标得:AD2=1,AO2=3,DO2=4,故DO2=OA2+AD2,故△AOD为直角三角形;(3)直线AB的表达式为:y=﹣3x+2,故点C(3,1),则OC=2,则直线AB的倾斜角为30°,即∠DBO=30°,则∠ODA=60°,则∠DOA=30°故点C(3,1),则OC=2,则点C是AB的中点,故∠COB=∠DBO=30°,则∠AOC=30°,∠DOC=60°,OQ=CP=t,则OP=OC﹣PC=2﹣t,①当OP=OM时,如图1,则∠OMP=∠MPO=12(180°﹣∠AOC)=75°,故∠OQP=45°,过点P作PH⊥y轴于点H,则OH=12OP=12(2﹣t),由勾股定理得:PH32﹣t)=QH,OQ=QH+OH32﹣t)+12(2﹣t)=t,解得:t=33;②当MO =MP 时,如图2,则∠MPO =∠MOP =30°,而∠QOP =60°,∴∠OQP =90°,故OQ =12OP ,即t =12(2﹣t ), 解得:t =23; ③当PO =PM 时,则∠OMP =∠MOP =30°,而∠MOQ =30°,故这种情况不存在;综上,t =2323. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一次函数解析式、勾股定理、含30°的角的直角三角形的性质等知识点,还利用了方程和分类讨论的思想,综合性较强,难度较大,解题的关键是学会综合运用性质进行推理和计算.30.(1)BC BD =,理由见解析;(2)BF BP BD +=,证明见解析;(3)BF BP BD +=.【解析】【分析】(1)利用含30的直角三角形的性质得出12BC AB =,即可得出结论; (2)同(1)的方法得出BC BD =进而得出BCD ∆是等边三角形,进而利用旋转全等模型易证DCP DBF ∆≅∆,得出CP BF =即可解答;(3)同(2)的方法得出结论.【详解】解:(1)90ACB ∠=︒,30A ∠=︒,60CBA ∴∠=︒,12BC AB =, 点D 是AB 的中点,。

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