第4章习题答案4-1 判断下列系统是线性的还是非线性的，是时变的还是非时变的。

（1）1()4(3)2(2)()()(3)()()(4)()()tt t y t x t y t x t y t e x t y t x d ττ--=+===⎰121212*********[()()]4[(3)(3)]2()()=4(3)2+4(3)]2=4[(3)(3)]4[()()]()()T x t x t x t x t y t y t x t x t x t x t T x t x t y t y t +=+++++++∴+≠+∴（）但：系统解：是非线性的000000T[()]4(3)2,()4[3()]2T[()](),x t t x t t y t t x t t x t t y t t -=-+-=-+∴-≠-所以系统是时变的。

1212121212122[()()]()()()()=()()[()()]()()T x t x t x t x t y t y t x t x t T x t x t y t y t +=+++∴+≠+∴（）但：系统是非线性的000000T[()](),()()T[()]=(),x t t x t t y t t x t t x t t y t t -=--=-∴--所以系统是时不变的。

1212121212123[()()][()()]()()=()()[()()]()()t t t T x t x t e x t x t y t y t e x t e x t T x t x t y t y t ---+=+++∴+=+∴（）系统是线性的0()000000T[()](),()()T[()](),t t t x t t e x t t y t t e x t t x t t y t t ----=--=-∴-≠-所以系统是时变的。

1212121211112124[()()][()()]()()=()()[()()]()()t t tt t t T x t x t x x y t y t x x T x t x t y t y t τττττττ---+=+++∴+=+∴⎰⎰⎰（）d d d 系统是线性的000000011100T[()]()(),()()T[()](),tt t t t t t t t t x t t x t d x u du y t t x d x t t y t t ττττ--------=-=-=∴-=-⎰⎰⎰所以系统是时不变的。

4-4 对图题4-4(a)、(b)所示的电路列写出电流 12()()i t i t 、和电压()o v t 的微分方程 + ()o t1221212()()22()()()()2[()()]2[()()]o t o di t di t dt dti t v t x t v t i t i t i i d τττ-∞⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+++⎪⎩⎰ 解方程组得：2221122122222200022()()()()()()464(),232()()()()()232()32()d i t di t d i t di t d x t dx t i t i t dt dt dt dt dt dtd v t dv t d x t dx t v t x t dt dt dt dt++=++=++=++ 4-5 给定系统微分方程、起始状态及激励信号分别如下，试判断系统在起始点是否发生跳变，并据此写出()(0)k +y 的值。

（1）d ()d ()2()3d d y t x t y t t t+= (0)0y -=，()()x t u t =（2）22d ()d ()d ()234()d d d y t y t x t y t t t t ++= (0)1y -=，(0)1y -'=，()()x t u t = **（3）22d ()d ()d ()234()()d d d y t y t x t y t x t t t t ++=+ (0)1y -=，(0)1y -'=，()()x t t δ=解：(1) )(3)(2)(t t y t y dtdδ=+ 因为方程在t =0时，存在冲激作用，则起始点会发生跳变设：代入方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=)()()()()(t au t y t bu t a t y dtdδ得：a =3, 3)0(3)0(＝＋－＋y y =(2))()(4)(3)(222t t y t y dtdt y dt d δ=++ 因为方程在t =0时，存在冲激作用，则起始点会发生跳变3112()()()(),()()2),2(y t t y t u t y u t t u t t δ-'''→→→所以：⎩⎨⎧==5.1)0(5.0)0(1)0()0(,,＝＋＝－＋－＋y y y y (3) )()(')(4)(3)(222t t t y t y dtdt y dt d δδ+=++ 因为方程在t =0时，存在冲激和冲激偶作用，则起始点会发生跳变11(),(),2112()()()()()()224y t t y t t t u t u y t t δδδ''''→→→--,,1(0)(0)2(0)(0)1/4y y y y ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩＋－＋－ ,,13(0)(0)223(0)(0)1/44y y y y ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩＋－＋－ 4-7 给定系统微分方程为 22d ()d ()d ()32()3()d d d y t y t x t y t x t t t t ++=+ 若激励信号与起始状态为以下二种情况时，分别求它们的全响应。

并指出其零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应各分量（应注意在起始点是否发生跳变）。

（1）()()x t u t =，(0)1y -=，(0)2y -'=（2）3()e ()t x t u t -=，(0)1y -=，(0)2y -'=解：（1）)(3)()(2)(3)(22t u t t y t y dt dt y dtd +=++δ 0232=++αα2121-=-=αα齐次解：tt h e A e A t y 221)(--+= 特解：2/3)(=t y p完全解：2/3)(221++=--t t e A e A t y因为方程在t =0时，存在冲激作用，则起始点会发生跳变()(),()(),()()y t t y t u t y t tu t δ'''→→→得： ⎩⎨⎧==3)0(1)0(1)0()0(,,＝＋＝－＋－＋y y y y 则：2/523212/3212121-⎩⎨⎧--++＝＝＝＝A A A A A A完全解：023252)(2≥+-=--t e e t y t t设零输入响应为：tzi t zi zi e A e A t y 221)(--+= 342)0(21)0(21,2121-⎩⎨⎧--=+--＝＝＝＝＝zi zi zi zi zi zi A A y A A y A A则：034)(2≥-=--t e e t y tt zi05.15.02)()()(2≥++-=-=--t e e t y t y t y t t zi zs自由响应：t te e25.22---；强迫响应：1.5。

（2）微分方程右边为：)()(3)()(3333t t u e t e t u e t t t δδ=++----原方程为：)()(2)(3)(22t t y t y dtdt y dt d δ=++ 由上述微分方程可知，t>0后方程右边没有输入，因此，系统没有强迫响应，完全响应和自由响应相同，零输入和零状态响应的形式均为齐次解形式，且零输入响应同（1），为：034)(2≥-=--t e e t y tt zi零状态响应的形式为：tzs t zs zs e A e A t y 221)(--+= 3()()()((),)()3(,())y t t y t u t tu t u t y t tu t δ'''→→→--所以：,,(0)(0)0(0)(0)1y y y y ⎧-⎨-=⎩＋－＋－=11120212121-⎩⎨⎧--+＝＝＝＝A A Azs Azs A A zs zs则：0)(2≥-=--t e e t y tt zs045)()()(2≥-=+=--t e e t y t y t y tt zs zi4-9 一线性时不变系统在相同的起始状态下，当输入为()x t 时，全响应为(2e cos2)()t t u t -+；当输入为2()x t 时，全响应为(e 2cos2)()t t u t -+，求输入为4()x t 时的全响应。

解：系统的零状态响应为：)()2cos ()2cos 2()2cos 2()()()(12t u t e t e t e t y t y t y t t t zs +-=+-+=-=---当输入为4x (t )时，系统的全响应为：)()2cos 4()()(3)(1t u e t t y t y t y t zs --=+=)(3)()()(1t u e t y t y t y t zs zi -=-=4-10系统的微分方程由下列各式描述，分别求系统的冲激响应与阶跃响应。

（1）d ()2()()d y t y t x t t+=解：（1）首先求阶跃响应，原方程变为：)()(2)(t u t g t g dtd=+ 方程右边没有冲激作用，则起始点不会发生跳变，0)0()0(==-+g g 特征方程：02=+α 2-=α齐次解：th e A t g 21)(-= 特解：B ＝0.5则：5.0)(21+=-t e A t g ，代入初始值，05.01=+A 系统的阶跃响应为：)()5.05.0()(21t u e t g t +-=-系统的冲激响应为：)()()(2t u e t g dtdt h t -==**4-13 一线性时不变系统，当输入为()x t e ()tu t -=时，零状态响应为zs ()y t =2311e e e ()22t tt u t ---⎛⎫-+⎪⎝⎭，求系统的冲激响应()h t 。

解：从zs ()y t 可以看出1()e ()2t p y t u t -=，231()e e ()2t t hy t u t --⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 所以特征根为122,3αα=-=-，特征方程为：2560αα++=，设微分方程为：22()()56()()d y t dy t y t Ax t dt dt ++= （1） 当()()t x t e u t -=时，1()e ()2tpy t u t -=，将()p y t 代入（1）式，并比较方程两边系数可得1A =，这样微分方程为：22()()56()()d y t dy t y t x t dt dt ++= 设()()x t t δ=，()()y t h t =，则22()()56()()d h t dh t h t t dt dt δ++= 设2312()()()tt h t A eA e u t --=+ （2）因为'(0)0,(0)0h h --==，由奇异函数平衡法可求出：'(0)0,(0)1h h ++==，代入（2）式得：12120231A A A A +=⎧⎨--=⎩，解得：121,1A A ==-，所以23()()()t t h t e e u t --=-变换域求解法：**4-15 一线性时不变系统，当激励信号为1()()x t t δ=时，全响应为1()()e ()t y t t u t δ-=+；当激励信号为2()()x t u t =时，全响应为2()3e ()t y t u t -=。