2007年山东高考数学理科 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．（1）若cos isin z θθ=+（i 为虚数单位），则使21z =-的θ值可能是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π （2）已知集合{}11M =-，，11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N =（ ）A ．{}11-，B ．{}1-C ．{}0D ．{}10-，（3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④（4）设11132a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，，，，则使函数ay x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ）A ．1，3B ．1-，1C ．1-，3D ．1-，1，3（5）函数sin 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期和最大值分别为（ ） A ．π，1B ．πC ．2π，1D ．2π（6）给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）A ．()3xf x =B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =（7）命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是（ ） A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤ C ．存在x ∈R ，3210x x -+> D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+>（8）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ）A ．0.9，35B ．0.9，45C ．0.1，35D ．0.1，45（9）下列各小题中，p 是q 的充要条件的是（ ） ①p ：2m <-或6m >；q ：23y x mx m =+++有两个不同的零点． ②():1()f x p f x -=；:()q y f x =是偶函数． ③:cos cos p αβ=；:tan tan q αβ=． ④:p AB A =；:UUq B A ⊆．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④（10）阅读右边的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是（ ） A ．2500，2500 B ．2550，2550 C ．2500，2550 D ．2550，2500`（11）在直角ABC △中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ ） A ．2AC AC AB = B ．2BC BA BC = C ．2AB AC CD =D ．22()()AC AB BA BC CD AB⨯=（12）位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位`于点(23)，的概率是（ ）秒A ．212⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3231C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2231C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．312231C C 2⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在题中横线上． （13）设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为 ．（14）设D 是不等式组21023041x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤，≥，≤≤，≥表示的平面区域，则D 中的点()P x y ，到直线10x y +=距离的最大值是 ．（15）与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +---=都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．（16）函数log (3)1a y x =+-(01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） 设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．（Ⅰ）求方程20x bx c ++=有实根的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x bx c ++=有实根的概率． （19）（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC ⊥，AB DC ∥．（Ⅰ）设E 是DC 的中点，求证：1D E ∥平面11A BD ； （Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值．（20）（本小题满分12分）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？（21）（本小题满分12分） 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． （22）（本小题满分14分） 设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （Ⅰ）当12b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．BCD A1A1D 1C1BE1A2A120 105 乙2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学参考答案第Ⅰ卷一、选择题 （1）D （2）B （3）D（4）A （5）A （6）B （7）C （8）A（9）D（10）D（11）C（12）B第Ⅱ卷二、填空题 （13p（14） （15）22(2)(2)2x y -+-=（16）8三、解答题 （17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）211233333n n na a a a -++++=…， ① ∴当2n ≥时，22123113333n n n a a a a ---++++=…． ②①-②得1133n n a -=，13n n a =．在①中，令1n =，得113a =．13n n a ∴=．（Ⅱ）n nnb a =， 3n n b n ∴=．23323333n n S n ∴=+⨯+⨯++…， ③ 23413323333n n S n +∴=+⨯+⨯++…． ④④-③得12323(3333)n n n S n +∴=-++++…．即13(13)2313n n n S n +-=--，1(21)3344n n n S +-∴=+．（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知：设基本事件空间为Ω，记“方程20x bx c ++=没有实根”为事件A ，“方程20x bx c ++=有且仅有一个实根”为事件B ，“方程20x bx c ++=有两个相异实数”为事件C ，则{}()126b c b c Ω==，，，，…，，{}2()40126A b c b c b c =-<=，，，，，…，，{}2()40126B b c b c b c =-==，，，，，…，， {}2()40126C b c bc b c =->=，，，，，…，，所以Ω是的基本事件总数为36个，A 中的基本事件总数为17个，B 中的基本事件总数为2个，C 中的基本事件总数为17个． 又因为B C ，是互斥事件， 故所求概率21719()()363636P P B B C =+=+=． （Ⅱ）由题意，ξ的可能取值为012，，，则{}17036P ξ==， {}1118P ξ==，{}17236P ξ==， 故ξ的分布列为：所以ξ的数学期望0121361836E ξ=⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）记“先后两次出现的点数有中5”为事件D ，“方程20x bx c ++=有实数”为事件E ，由上面分析得11()36P D =，7()36P D E =， ()7()()11P D E P E D P D ∴==．（19）（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）连结BE ，则四边形DABE 为正方形，11BE AD A D ∴==，且11BE AD A D ∥∥， ∴四边形11A D EB 为平行四边形．11D E A B ∴∥．又1D E ⊄平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，1D E ∴∥平面1A BD ．（Ⅱ）以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1DA =，则(000)D ，，，(100)A ，，，(110)B ，，，(022)C ，，，1(102)A ，，， 1(102)DA ∴=，，，(110)DB =，，， 设()x y z =，，n 为平面1A BD 的一个法向量．由1DA ⊥n ，DB ⊥n ， 得200.x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1z =，则(231)=-，，n ．又2(023)DC =，，，(110)DB =，，， 设111()x y z =，，m 为平面1C BD 的一个法向量， 由DC ⊥m ，DB ⊥m ，得11112200.y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11z =，则(111)=-，，m ， 设m 与n 的夹角为a ，二面角11A BD C --为θ，显然θ为锐角，3cos 93θ-∴===m n m n ． cos θ∴=， BCDA1A1D 1C1BEG即所求二面角11A BD C --的余弦为3． 解法二：（Ⅰ）以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DA a =，由题意知：(000)D ，，，(00)A a ，，，(0)B a a ，，，(020)C a ，，，1(022)C a a ，，，1(02)A a a ，，，1(002)D a ，，，(00)E a ，，．1(02)D E a a ∴=-，，，1(02)DA a a =，，，(0)DB a a =，，，又(02)(0)(02)a a a a a a -=-，，，，，，，1D E DB DA ∴=-．1DA DB ⊂，平面1A BD ，1D E ⊄平面1A BD ， 1D E ∴∥平面1A BD ．（Ⅱ）取DB 的中点F ，1DC 的中点M ，连结1A F ，FM ， 由（Ⅰ）及题意得知：022a a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，(0)M a a ，，，1222a a FA a ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，，22a a FM a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，12(0)022a a FA DB a a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，，，，，(0)022a a FM DB a a a ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，，，，．1FA DB ∴⊥，FM DB ⊥， 1A FM ∴∠为所求二面角的平面角．111cos FA FM A FM FA FM∴=∠22262a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪=，，，，2222a a a --+==． 所以二面角11A BD C --的余弦值为3． 解法三：（Ⅰ）证明：如解法一图，连结1AD ，AE ， 设11AD A D G =，AEBD F =，连结GF ，由题意知G 是1A D 的中点，又E 是CD 的中点，∴四边形ABED 是平行四边形，故F 是AE 的中点， ∴在1AED △中，1GF D E ∥，又GF ⊂平面1A BD ，1D E ⊄平面1A BD ，1D E ∴∥平面1A BD ．（Ⅱ）如图，在四边形ABCD 中，设AD a =， AB AD =，AD DC ⊥，AB DC ∥， AD AB ∴⊥． 故BD =，由（Ⅰ）得2222222BC BE EC a a a =+=+=，2DC a =， 90DBC ∴=∠，即BD BC ⊥．又1BD BB ⊥，BD ∴⊥平面11BCC B ，又1BC ⊂平面11BCC B ，1BD BC ∴⊥，取1DC 的中点M ，连结1A F ，FM ，BCDA1A1D1C1BEF M H由题意知：1FM BC ∴∥，FM BD ∴⊥．又11A D A B =，1A F BD ∴⊥．1A FM ∴∠为二面角11A BD C --的平面角．连结1A M ，在1A FM △中， 由题意知：12A F a =，1122FM BC a ===， 取11D C 的中点H ，连结1A H ，HM ， 在1Rt A HM △中，1A H =，HM a =， 1A M ∴．2221111cos 2A F FM A M A FM A F FM +-∴=∠ 22293336222a a a a a +-=3=． ∴二面角11A BD C --的余弦值为3． （20）（本小题满分12分）解法一：如图，连结11A B，由已知22A B =122060A A ==1221A A A B ∴=，又12218012060A A B =-=∠，122A A B ∴△是等边三角形，1A2A120 1051212A B A A ∴==由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠，在121A B B △中，由余弦定理，22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-22202202=+-⨯⨯ 200=．12B B ∴=因此，乙船的速度的大小为6020⨯=（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．解法二：如图，连结21A B ，由已知1220A B =，122060A A ==112105B A A =∠， cos105cos(4560)=+cos 45cos60sin 45sin 60=-=sin105sin(4560)=+sin 45cos60cos 45sin 60=+=在211A A B △中，由余弦定理，22221221211122cos105A B A B A A A B A A =+-22202204=+-⨯⨯1A2A120 105100(4=+．1110(1A B ∴=．由正弦定理1112111222202(13)2sin sin 4210(13)A B A A B B A A A B +===+∠∠， 12145A A B ∴=∠，即121604515B A B =-=∠，2(1cos15sin1054+==．在112B A B △中，由已知12A B =，由余弦定理，22212112221222cos15B BA B A B AB A B =++22210(1210(1=+-⨯+⨯200=．12B B ∴=乙船的速度的大小为6020=/小时． 答：乙船每小时航行海里． （21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得：3a c +=，1a c -=，2a ∴=，1c =，2223b a c ∴=-=．∴椭圆的标准方程为22143x y +=． （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即，则， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，，1AD BD k k ∴=-，即1212122y y x x =---，1212122()40y y x x x x ∴+-++=，2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k--∴+++=+++， 2291640m mk k ∴++=．解得：12m k =-，227k m =-，且均满足22340k m +->， 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （22）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知，()f x 的定义域为(1)-+∞，，322()211b x x bf x x x x ++'=+=++ 设2()22g x x x b =-+，其图象的对称轴为1(1)2x =-∈-+∞，， max 11()22g x g b ⎛⎫∴=-=-+ ⎪⎝⎭．当12b >时，max 1()02g x b =-+>， 即2()230g x x x b =+->在(1)-+∞，上恒成立，∴当(1)x ∈-+∞，时，()0f x '>， ∴当12b >时，函数()f x 在定义域(1)-+∞，上单调递增． （Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当12b >时，函数()f x 无极值点．②12b =时，3122()01x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'==+有两个相同的解12x =-， 112x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，12x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，12b ∴=时，函数()f x 在(1)-+∞，上无极值点． ③当12b <时，()0f x '=有两个不同解，1x =2x =，0b <时，1112x -=<-，2102x --=>，即1(1)x ∈-+∞，，[)21x ∈-+∞，．0b ∴<时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：由此表可知：0b <时，()f x 有惟一极小值点112x -=，当102b <<时，1112x -=>-，12(1)x x ∴∈-+∞，，此时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：由此表可知：102b <<时，()f x 有一个极大值112x -=和一个极小值点212x -+=；综上所述：0b <时，()f x 有惟一最小值点x =；102b <<时，()f x 有一个极大值点12x -=和一个极小值点1x x -+=；12b ≥时，()f x 无极值点．（Ⅲ）当1b =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+， 令函数222()()ln(1)h x x f x x x x =-=-++，则22213(1)()3211x x h x x x x x +-'=-+=++． ∴当[)0x ∈+∞，时，()0f x '>，所以函数()h x 在[)0+∞，上单调递增，又(0)0h =．(0)x ∴∈+∞，时，恒有()(0)0h x h >=，即23ln(1)x x x >-+恒成立． 故当(0)x ∈+∞，时，有23ln(1)x x x +>-． 对任意正整数n 取1(0)x n =∈+∞，，则有23111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭． 所以结论成立．。