函数的对称性与周期性【知识梳理】1. 周期的概念：设函数(),y f x x D =∈，如果存在非零常数T ，使得对任意x D ∈都有 ，则函数()y f x =为周期函数，T 为()y f x =的一个周期；2. 周期函数的其它形式()()f x a f x b +=+⇒ ；()()f x a f x +=-⇒ ；()()1f x a f x +=⇒ ； ()()1f x a f x +=-⇒ ；)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔ ，)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔ 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔ ，3. 函数图像的对称性1）.若()()f x f x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 2）.若()()0f x f x +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 3）若()()f a x f a x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 4）若()()2f x f a x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 5）若()()2f a x f a x b ++-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 6）若()()22f x f a x b +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 4. 常见函数的对称性1）函数()()0ax bf x c cx d+=≠+的图像关于点 对称；2）函数()()0f x ax b a =-≠的图像关于直线 对称； 3）函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像关于直线 对称； 【例题选讲】题型一 根据解析式判断函数图像的对称性 1. 函数()2331x f x x +=-的图像关于 对称； 2. 函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x -=，则()f x 的图像关于 对称； 3. 函数()23f x x =-的图像关于 对称；4. 函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像关于直线 对称；关于点 对称；题型二 平移变换后，函数图像的对称性1.已知函数()y f x =是偶函数，()2f x -在[]0,2递减，则( )2.已知()2y f x =-是偶函数，则()y f x =的图像关于 对称；3.已知()y f x =是奇函数，则()12y f x =+-的图像关于 对称； 题型三 函数图像的对称性求函数解析式1.已知()f x 的图像关于直线2x =对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)3,4x ∈时，()f x 的解析式； 2.已知()f x 的图像关于点()2,0-对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)5,4x ∈--时，()f x 的解析式； 3.已知()f x 的图像关于点()1,2-对称，且(]0,1x ∈时，()212f x x x=+，求[)1,2x ∈时，()f x 的解析式； 题型四 函数周期性和图像对称的应用1.若函数()()2,22x x a bf x a b R ⋅+=∈+的图像关于点()1,0对称，求,a b 满足的关系；2.已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x R ∈，都有()()22f x f x +=-(1)若()0f x =有50个根，求所有这些根的和；(2)若()0f x =有51个根，求所有这些根的和；3.若()f x 有两条对称轴x a =和()x b a b =≠，求证：()f x 是以2T a b =-为周期的周期函数；4.设()f x 是定义在R 上的偶函数，它的图像关于直线2x =对称，当[]2,2x ∈-时，()21f x x =-+，求[]6,2x ∈--时，()f x 的解析式；5.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()121f x f x f x ++=-，求证函数()f x 是周期函数；题型五 综合应用1．设()f x 是定义在区间(),-∞+∞上以2为周期的函数，对于k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，已知当0x I ∈时，2()f x x =（1）求()f x 在k I 上的解析式；（2）对自然数k ，求集合{|k M a =使方程f x ax =（）在k I 上有两个不等实根}。

2．已知定义在2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的函数y f x =（）的图象关于直线4x π=对称，当时4x π≥，函数sin f x x =（）。

（1）求24f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，的值；（2）求y f x =（）的函数表达式；（3）如果关于x 的方程f x a =（）有解，那么将方程在a 取某一确定值时所求得所有解的和记为a M ，求a M 的所有可能取值及相对应的a 的取值范围。

3．已知函数xf x x R ∈（）（1）求证：函数f x （）的图像关于点1122P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称； （2）计算：991100i i f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值。

函数的对称性与周期性课后练习1.定义在R 上的函数()()(4),2,()f x f x f x x f x -=-+>满足当时单调递增，如果1212124,(2)(2)0,()()x x x x f x f x +<--<+且则的值A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负2.已知函数()y f x =满足：①(1)y f x =+是偶函数；②在[1,)+∞上为增函数． 若12120,0,2,x x x x <>+<-且则1()f x -与2()f x -的大小关系是A ．1()f x ->2()f x -B ．1()f x -<2()f x -C ．1()f x -=2()f x -D ．1()f x -与2()f x -的大小关系不能确定 3.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(1)(3)f x f x -=--，当02x ≤≤时，()2x f x =，那使1()2f x =成立的x 的集合为A ．{|2,}x x n n =∈ZB ．{|21,}x x n n =-∈ZC ．{|41,}x x n n =-∈ZD ．{|41,}x x n n =+∈Z4.已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R)，则f (2 010)＝________.5..若1x 满足2x+2x =5, 2x 满足2x+22log (x －1)=5, 1x +2x ＝（ ） A.52B.3C.72D.4 6.设指数函数x y a =与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象分别为C 1、C 2，点M 在曲线C 1上，线段OM （O 为坐标原点）交曲线C 1于另一点N ．若曲线C 2上存在一点P ，使点P 的横坐标与点M 的纵坐标相等，点P 的纵坐标是点N 的横坐标的2倍，则点P 的坐标是A.（4，4a ）B.(2,log 2)aC.4(,4)aD.(4,log 4)a7.（1）(2)(4)f x f x -=+，则函数()y f x =图像关于 对称； （2）(2)(4)f x f x -=-+，则函数()y f x =图像关于 对称；（3）若(1)(4)3f x f x -++=，则函数()y f x =图像关于 对称． 8.（1）函数(4)y f x =+是奇函数，则函数()y f x =图像关于 对称； （2）函数(4)2y f x =++是奇函数，则函数()y f x =图像关于 对称．9.定义在[0,1]上的函数()f x 满足(0)0f =，()(1)2f x f x +-=，1()()52x f f x =，且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则1()2010f =______． 10.若(2)(4)f x f x +=-+，则()f x 的周期性是： ．11.（1）定义域是R 的奇函数()f x 又是周期为(0)T T ≠周期函数，则(0)f = ，()2T f = ． （2）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(1)()f x f x +=-，则(2009)f =______； （3）若(1)f x +和(1)f x -都是定义域是R 的奇函数，则(5)(7)f f += ．12.定义域是R 的奇函数()f x 图像关于直线12x =对称，当(2.5)0f =时，则当(6,6)x ∈-时，函数()f x 零点个数是 ．13.已知()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，且()(1)g x f x =-，若(2)2f =-，则(2008)(2006)f g += ．14.（1）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，且(2)()3f x f x +⋅=，当[2,3]x ∈时，()f x x =，则(9.5)f = ．（2）设定义在R 上的函数()f x 满足(2)()12f x f x +⋅=，若(1)2f =，则(99)f =15.已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，()1f x x =-，那么在区间[1,4]x ∈- 内，关于x 的方程1()kx k f x ++=有5个不同的根，则实数k 的取值范围是 ．16.设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有)4()(+=x f x f ，且当∈x [－2，0]时，1)21()(-=xx f ，若在区间（－2，6]内关于x 的方程)1(0)2(log )(>=+=-a x x f a 恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围为A.（1，2）B.（2，∞+）C.（1，34）D.（34，2）17.函数()23x f x x =+-和2()log 3g x x x =+-的零点分别是,αβ，求证3αβ+=．答案4.已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R)，则f (2 010)＝________.解析：∵f (1)＝14，令y ＝1得f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)，即f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，① f (x ＋2)＝f (x ＋1)－f (x )，②由①②得f (x ＋2)＝－f (x －1)，即f (x ＋3)＝－f (x )，则f (x ＋6)＝f (x )．∴该函数周期为6.∴f (2 010)＝f (6×335＋0)＝f (0)． 令x ＝1，y ＝0得4f (1)f (0)＝f (1)＋f (1)，∴f (0)＝12.∴f (2 010)＝12.答案：125..若1x 满足2x+2x =5, 2x 满足2x+22log (x －1)=5, 1x +2x ＝ A.52 B.3 C.72D.4 解析：由题意11225x x += ① 22222log (1)5x x +-= ② 所以11252x x =-,121log (52)x x =- 即21212log (52)x x =-令2x 1＝7－2t,代入上式得7－2t ＝2log 2(2t －2)＝2＋2log 2(t －1) ∴5－2t ＝2log 2(t －1)与②式比较得t ＝x 2 于是2x 1＝7－2x 2【答案】C 16.D.。