内容要点 一， 概念与性质（一） 概念由数列 u 1,u 2, ,u n , 构成的式子称为无穷级数，简称为级数 . u n 称为级数的一般项， s n级数的部分和二）性质3, 级数增减或改变有限项，不改变其敛散性 . 4, 若级数收敛，则任意加括号后所成的级数仍收敛 5（收敛的必要条件 ）, 若 u n 收敛，则 lim u n 0.n 1n注意：若 l nim u n 0.则 u n 必发散. 而若 u n 发散, n nn 1 n n 1 nlim u n0.n（三） 两个常用级数 1, 等比级数1, 若 u n 收敛，则 kun 1n 1k u n.n12, 若 u n , v n 收敛，则n1 n 1u n vn1un1v n .n1nu i 称为i1如果 lim s n s , 则称级数u n 收敛， s 称为该级数的和 n1. 此时记u nn1s . 否则称级数发散则不一定2, p 级数 二，正项级数敛散性判别法 （ 一 ） 比较判别法设 u n , v n 均为正项级数，且 u n v n （n 1,2, ）, 则 n 1 n1v n 收敛u n 收敛；n1n 1u n 发散v n 发散n1n 1（ 二） 极限判别法如果对 p 1, l n im n p u n l(0 l), 则 n1u n 则收敛 .（ 三 ） 比值判别法设 u n 为正项级数，若 n1二， 交错级数收敛性判别法 莱布尼兹判别法：设1n 1u n （u n 0）为交错级数，如果满足：n11, u n u n 1（n 1,2, ）2, lim u nn则此交错级数收敛 .三， 任意项级数与绝对收敛（一） 绝对收敛如果 u n 收敛，则称 u n 绝对收敛 .n 1n 1二） 条件收敛如果 u n 收敛，但 u n 发散,则称 u n 条件收n 1 n 1 n 1敛.（三） 定理若级数绝对收敛，则该级数必收敛 . 函数项级数 一、主要内容1、基本概念 函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭如果 lim nu n l(0 l n）,则 u n 发散；n1一致收敛、绝对收敛、和函数幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域2、一致收敛性A、函数列{ f n（x）}一致收敛性的判断：（1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性（2）Cauchy 收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断（3）确界（最大值方法）：||fn（x） f （x）|| 0（4）估计方法：| f n（x） f（x）| a n 0（5）Dini- 定理：条件1）闭区间[ a, b]；2）连续性；3）关于n的单调性注、除Cauchy 收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。
注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。
注、Dini 定理中，要验证的关键条件是关于n 的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的x [a,b]，{ f n(x)}作为数列关于n 是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N，当n>N时”条件成立即可，但是，要注意N必须是与x 无关的，即当n>N时，对所有任意固定的x [a,b]，{ f n(x)}关于n 单调，因此，此时的单调性也称为对n 的单调性关于x 一致成立。
非一致收敛性的判断(1)定义(2)Cauchy 收敛准则(3)确界法：存在x n，使得|| f n(x n) f(x n)||不收敛于0 (4)和函数连续性定理(5)端点发散性判别法：{ f n(x)}在c 点左连续，{ f n(c)}发散，则{ f n(x)} 在(c ,c)内非一致收敛注、在判断非一致收敛性时，按照使用时的难易程度，可以按如下顺序使用相应的方法进行判断：端点发散性判别法、和函数连续性定理、确界方法、定义法、Cauchy 收敛准则。
B、函数项级数u n (x)致收敛性的判断 （1）定义（2）Cauchy 收敛准则 （3）转化为函数列（部分和） （4）余项方法： {r n（x ）}一致收敛于 0（5）几个判别法： W-法， Abel 法， Dirichlet 法， Dini- 法 经典例题例 1 判断级数 (1) 1； (2) n1 的敛散性 . n 1n nn 1n解： (1) 1=13 n 1n n n 1 2 n 2性.n级数n1n 32n 发散.别法可知(p 32 1)收敛 (2) 由于 lim nn 1nlim u n1 n1n nl n im n 1n 1 0,故1发散. 例 2 判别级数 .（1）n 2(n 1)(n 3)；(2)n1 n 32n；(3)n1 n 1 n(n2)的敛散解： （1） 由于(n 1)(n 3) (n 3)1 12( n 2,3 ),而n 2(n 3) 1212收敛n 5n故由比较判别法可知级数 1 收敛 .n 2(n 1)(n 3)n(2) 由于n 32nnn2n1（ n 1,2, ）,而 1发散，由比较判别法可知n1n（3） 由于n1n1 n(n 2) (n 1)(n 2) n 2 n 1 n 2, 而发散， 由比较判n 3 n级数n 1n(n n 12)发散.解：用比值判别法1(1)limun 1lim n!lim 10 1, 故 1收敛；nu n n 1 n n n 1 (n 1)!(n 1)!n!例 4 判别级数 (1)n1 ；( 2) ln 1 12 的敛散性 . n 1 n nn n 1 n解： (1) 由于 lim nu nlim n 1lim 11 0,n nnn nn n nn 故由极限判别法可知级数n1 发散 .n 1n nn故由极限判别法可知级数 ln 1 12收敛 .n 1n例 5 问级数 ( 1)n c2n 是收敛还是发散？若收敛，是绝对收敛还 n 1 n是条件收敛？nn解：由茉布尼兹判别法可知 1 c 2 与1 1 均收敛，从而原n 1n n 1 n级数收敛 .例 3 判别下列级数的敛散性：(1) n 1(n 1)!；(2)n1nn n!(n 1)(2) limu n 1 nu nlim (n 1)! nnlim 1 1n nne 1,故 n 发散 .n 1n!(2) 由于 lim n 2u nnlim n 2 ln 1n2 lim ln 1 n 2nn 12 n 2lne 1c2n n2 1，而 1发散，故由比较判别n n n n 1n练习题1, 用比较判别法判别下列级数的敛散性 (1)n(n 1 1)(2) ln 2n n 2(3) sin2(n 22n 1)(4)1 n2n 1 n(n 1) n 1 2 n 1 n n 1 2 n 2, 用比值判别法判别下列级数的敛散性 (1)n15n n! (2) n112 35((23nn 11))(3) n13n n 23, 用极限判别法判别下列级数的敛散性 (1) 1 n(2)ln n 2nn 1(2n 3)n nn 1n4 判断下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？n1(1) 11213 14(2) n11 3n n1(3) 1 1 1 121 131 1 (4) 1 n3 2 3 22 3 23 3 2 n 1 ln(n 1)[答案：1,(1) 收敛(2) 收敛(3) 收敛(4) 发散 2,(1) 收敛(2) 收敛(3) 收敛 3,(1) 发散 (2) 收敛4, (1) 条件收敛 (2) 绝对收敛 (3) 绝对收敛 (4) 条件收敛 ] 5 求幂级数 的收敛半径与收敛域 .另一方面， 1n cn 2nn法可知1nn1发散，从而原级数是条件收敛1当 x 1 时, 原级数为 1 ( 1)收敛；当 x 1时, 原级数为 11发散. 故收敛域为 [ 1,1).n1nn6.求幂级数 x 的和函数 .n解：不难求得收敛域为 I [ 1,1)设和函数为 S(x)即 S(x) x, x I nS(x) 1dx ln(1 x), x I 1x7.求幂级数 (2n 1)x n的收敛域及和函数 .n1当 x 1时，原级数 = (2n 1) 1 发散，故收敛域为 ( 1,1).n1解：由于a n 1lim n alim n 1 lim n 1= n 1所以, 收敛半径R 1 1 收敛区间为 ( 1,1). n1逐项求导， S /(x)x n 11.再积分，便得解： limnan 1 an2n 1 lim 1 n2n1 1R 11(2n 1)x n= (2n 2)xn1n1n xn13 x n=2 n 1n 1 0x dx 31x2[ x n1n 1] /3x 2x 2/ 1 x [1 x ]21 x (1 x)2 1 x (1 x) 2 (1 x)23x 4x(1 x) 2x 2 3x 4x 2x 3x(1 x)1、判断函数列 { f n (x)} 在[0,1] 的一致收敛性，其中1)、 f n (x)nx，(2)、 f n (x) nx(1 x)n 。
xx 4x 2 . (1 x)2 .8. 将函数 f(x)1 1x 2展开成的幂级数 .解：由于 11x( 1)n x n ,( 1 x 1), 故 n0f(x) 1n2= 1 x 2n 1 x 2 x 4 x 6( 1)n x 2n, ( 1 x 1)1 x n 0练习题1, 求下列幂级数的收敛半径与收敛域n(1)nx n (2)x n(3) 1nn 1n13n 1n12n x 1(4)nx n n n n 1 n42, 求下列幂级数的收敛域及和函数 x n(1)nx n (2) (n 2)x n (3) xn1 n1 n 2n 13, 将下列函数展为 x 的幂级数x(1) f(x) ln(1 x 2)(2) f(x) e 2(3) f (x)a x (4) f(x) sin x[ 答案： 1,(1) R 1,( 1,1) (2) R 3,( 3,3) (3) R 1,[ 1,1) (4) R 4,[ 4,4) 2,(1) ( 1,1), (1 x)2 (2) ( 1,1), ( x 1)2 (3) [ 1,1),xln(1 x)2n3,(1) x (2) n 1 n1 n xn n 0 n 1! x 2n(3)1 lna n x n 1n!1n x 2n 1 ]2n 1(4)n 0(2n 1)!2 1n解：(1)计算得，nx x [0,1] ，f(x) lim f n(x) limx ，n n 1 n x 因而，nx 2|f n(x) f(x)||1n n x x x| n2，x [0,1]，故，{ f n(x)} 在[0,1] 一致收敛。