dt
则L 常量，即L （0 J C）
当物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量保持不变。
M=0的原因，可能F＝0?；r=0; F∥r.在定轴转动中还有
M≠0，但它与轴平行，即Mz=0,对定轴转动没有作用，则刚体
对此轴的角动量依然守恒。
20
第三章 刚体的定轴转动
应用角动量守恒定律的两种情况：
1、当转动M惯量0保时持，不J变的 单个J刚0体,则。
R
dr
R
o
dr
2r
ds 2rdr
dm ds 2rdr
dJ r2dm 2r3dr
J r 2dm R r2 2r ldr 1 mR2
m
0
2
18
第三章 刚体的定轴转动 3-3 刚体对转轴的角动量
一、刚体的角动量
Z
ri
vi
质点对点的角动量为：
L r P r mv
mi
刚体上的一个质元,绕固定轴
这个结论称为平行轴定理。
14
第三章 刚体的定轴转动
右图所示刚体对经过棒端
且与棒垂直的轴的转动惯量
mL
如何计算？(棒长为L、圆半
径为R）
mO
J L1
1 3
mL L2
Jo
2 5
Hale Waihona Puke mo R2J L2 J0 m0d 2 J0 m0(L R)2
J
1 3
m
L
L2
2 5
mo R2
mo (L
R)2
15
第三章 刚体的定轴转动
i
✓质量连续分布 J miri2 r2dm i
刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量
与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。单
位：kgm2
10
第三章 刚体的定轴转动
➢ 质量连续分布刚体的转动惯量
I miri2 r2dm dm ：质量元 i
质量为线分布 dm dl 其中、、分
质量为面分布
刚体上各点都绕同一固定转轴作不同半径 的圆周运动，且在相同时间内转过相同的 角度。
z
A r1 o1
A
B
r2
o2
B
➢特点：
✓质点在垂直转轴平面内作圆周运动； ✓角位移，角速度和角加速度均相同； ✓ 质点的线速度，线加速度不一定相同.
5
第三章 刚体的定轴转动
四、刚体定轴转动的描述 ➢物理量
角坐标
(t)
0
当2、J转增动大惯时 量可，变的就物减 体。小； 当J减小时，就增大，从而J保持不变
21
第三章 刚体的定轴转动
22
第三章 刚体的定轴转动
(3) 多个物体组成的系统 Mi 0
i
Jii 恒量 相对与同一转轴
i
23
第三章 刚体的定轴转动
做圆周运动角动量为：
Li rimivi ri2mi
所以刚体绕此轴的角动量为：
L Li ( miri2 ) J
19
i
i
二.
第三章
刚体的角动量定理
M刚体r 的F定 d轴L 转动
刚体定轴转动
M外
dL dt
dt
M外dt dL
t2 t1
M外
d
t
L2 L1
角动量定理
三、在角M动 量 守dL恒中定，律若M 0，
Eki
1 2
mi vi2
1 2
mi (ri )2
Ek
Eki
1 2
mi
(ri
)2
1 2
(
miri2 ) 2
1 2
J 2
Ek
1 2
J 2
J 是定轴转动的转动惯量。
9
第三章 刚体的定轴转动
二、转动惯量
➢ 物理意义：转动惯性的量度
➢ 计算方法 ：
✓质量离散分布 J miri2 m1r12 m2r22
12
第三章 刚体的定轴转动
例：求质量为m,长为L的均匀细棒对转轴的转动惯量： 转轴通过棒的中心o并与棒垂直
A
O质 dm
X
x dx
解：以棒中心为原点建立坐标OX、将棒分割 成许 多质元dm.
dm dx m/ L
Jc
L
2 L
x2dm
2
L
2 L
2
x2
m L
dx
1 mL2 12
转轴通过棒的一端A并与棒垂直？ 13
五、了解陀螺的进动现象。
2
第三章 刚体的定轴转动
3
第三章 刚体的定轴转动
一、刚体
在无论多大的外力作用下形状和大小都保持不变的物体，
即 rij c 。
二、刚体运动基本类型
➢平动
➢转动
➢一般运动
+ ➢刚体的一般运动 质心的平动
绕质心的转动
4
第三章 刚体的定轴转动
三、刚体定轴转动的特点
➢定轴转动：
角位移 (t t) (t)
角速度
lim d
t0 t dt
角加速度 d
dt
6
第三章 刚体的定轴转动
➢ 匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 .
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
x
x0
v0t
1 2
at 2
v2
v
2 0
2a(x
x0 )
0 t
0
0t
1 2
t 2
2 02 2 ( 0 )
7
第三章 刚体的定轴转动
➢ 角量与线量的关系
s r
v re
a
an
r
a
e v
a r an r 2
a
re
r
2
en
8
第三章 刚体的定轴转动
3-2 转动动能 转动惯量 一、 刚体定轴转动的转动动能
dm ds
别为质量的线密 度、面密度和体
质量为体分布 dm dV 密度。
线分布
面分布
体分布
11
第三章 刚体的定轴转动
❖确定转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置
J m( l )2 m( l )2 m l 2 m
m
2
22
l
J ml2
m
m
l
J 2ml2
l 2m l
刚体的第定三轴章 转刚动体的定轴转动
刚体的定轴转动
1
第三章 刚体的定轴转动
一、掌握描述刚体定轴转动的三个物理量——角 位移、角速度、角加速度以及角量与线量的关系； 并能运用匀变速转动方程进行具体计算。
二、理解转动惯量物理意义，并能进行具体计算。
三、掌握刚体转动定律并能具体运用。
四、理解角动量的概念和角动量定理，掌握角动 量守恒定律并能具体运用。
几种刚体的转动惯量
16
第三章 刚体的定轴转动
例：试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环对垂直于 平面且过中心轴的转动惯量.
解：细圆环 dm dl
R
2R
0
R
2
m
2R
dl
R
dl
mR2
17
第三章 刚体的定轴转动
例：试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘对垂直于 平面且过中心轴的转动惯量.
解：薄圆盘
第三章 刚体的定轴转动
平行轴定理
前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量，JA表示相对 通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。可见：
J A＝JC＋m
L 2
2
1 12
mL2
1 4
mL2
1 3
mL2
推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行， 相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有：
J＝JC＋md2。