第3章 扭 转
3.1 复习笔记
扭转是杆件的基本变形之一，它是由大小相等，方向相反，作用线都垂直于杆轴的两个力偶引起的，表现为杆件的任意两个截面发生绕轴线的相对转动。

一、外力偶矩的计算和扭矩及扭矩图 1．外力偶矩的计算公式
式中，P 为轴的输入功率；n 为转速。

2．扭矩T （1）扭矩计算
利用截面法，根据静平衡条件求得。

（2）符号规定
若按右手螺旋法把T 表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线方向一致时，T 为正；反之为负。

3．扭矩图
表示各截面上扭矩沿轴线变化情况的图线，即用平行于杆轴线的坐标x 表示横截面的位
{}{}{}kW
e N m r min 9549
P M n =
置；用垂直于杆轴线的坐标T表示横截面上的扭矩。

提示：正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。

二、纯剪切
1．薄壁圆筒（δ≤r/10）扭转时的切应力
图3-1-1
横截面应力特征：
横截面无正应力，只有切应力，且切应力均匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的方向一致，如图3-1-1所示。

切应力计算公式：
2．切应力互等定理
2
2
e
M
r
τ
πδ
=
单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。

3．剪切胡克定律 （1）纯剪切
若单元体的各个侧面上只有切应力并无正应力，这种情况称为纯剪切。

（2）切应变
对于长为l 的圆筒，两端相对扭转角为φ，则切应变γ＝r φ/l 。

（3）剪切胡克定律
当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变与切应力成正比，即τ＝G γ，其中，G 为材料的切变模量。

（4）弹性常量间关系
对于各向同向材料，弹性模量E 、泊松比μ、切变模量G 三者之间的关系为
4．剪切应变能
在应力小于剪切比例极限的情况下，单位体积内的剪切应变能密度为
上述公式主要用于线弹性范围内纯剪切应力状态下剪切应变能密度的计算。

()
21E
G μ=
+2
122νG
εττγ==
三、圆轴扭转时的应力和变形
1．圆轴扭转时的应力
（1）应力计算公式
推导圆轴扭转时的应力计算公式，需同时考虑变形几何、物理和静力三方面的关系。

①变形几何关系：圆轴扭转的平面假设；
②物理关系：剪切胡克定律；
③静力关系：横截面上的内力系对圆心的力矩合成为扭矩。

如图3-1-2所示，横截面上任一点的切应力为
τρ＝Tρ/I p
圆截面边缘的最大切应力
τmax＝TR/I p＝T/W t
式中，ρ为应力点到圆心的距离；I p为横截面的极惯性矩；W t为扭转截面系数。

图3-1-2
对于直径为D实心圆形截面
I p＝πD4/32，W t＝πD3/16
对于内径为d，外径为D的空心圆截面
式中，α＝d/D 。

上述公式只适用于等直杆和线弹性范围。

（2）强度条件 对于等直杆 τmax ＝T max /W t ≤[τ]
对于变截面杆件需综合考虑T 和W t ，以求得切应力的最大值。

强度条件的应用：
①强度校核：T max /W t ≤[τ]。

②截面选择：W t ≥T max /[τ]。

③计算许可荷载：T max ≤W t [τ]。

2．圆轴扭转时的变形 （1）变形量计算 ①相对扭转角
等直杆扭转时，相距为l 的两截面间的相对扭转角为
式中，GI p 称为扭转刚度。

()4
4
π132p D I α=-()()443
4ππ12
1616p t D d I D W D D
α-=
=
=-p
Tl
GI ϕ=
对于各段内T 或I p 不同的等直轴，相对扭转角为
②单位扭转角
单位扭转角的计算公式为
对于截面间T 相等的等直杆，单位扭转角计算公式可写为
上述扭转角和单位扭转角的计算公式适用于材料在线弹性范围内的圆杆。

（2）刚度条件
工程中，单位扭转角的常用单位为（°）/m ，刚度条件为
四、圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 1．弹簧横截面的应力计算 （1）近似计算
计算假定：簧丝曲率较小时，不考虑其影响，并认为剪切力引起的剪应力均匀分布，采用直杆计算公式，则截面最大切应力为
1n
i i
i pi
Tl
GI ϕ==∑d d p
T x GI ϕϕ'==
p T GI l
ϕϕ'==
[]()max max
180m π
p T GI ϕϕ''=⨯≤︒。