复习试卷2
2020.04
一、单选题（共8题，共40分）
1.复数i 1i 2+-=（ ） A. i 2321+ B. i 2321- C. i 2323+ D. i 2
323- 2.复数i 21+-=z （i 为虚数单位）的共轭复数在复平面上的对应点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 3.一个物体的运动方程为s =1－t +t 2其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）
A. 7米/秒
B. 6米/秒
C. 5米/秒
D. 8米/秒
4.函数x
e y x = 在（0，2）上的最小值是（ ） A. 2
e B. e e 2 C. 32e D. e 5.复数z 满足i 31)i 3(-=+z ，则|z |=（ ）
A. 1
B. 3
C. 2
D.32
6.如图，函数y =f （x ）的图象在点P 处的切线方程是y =－x +8，则f （5）+f ’（5）=（ ）
A. 2
B. 1
C.2
1 D. 0 7.欧拉公式x x e x sin i cos i +=（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，它建立了三角函数和指数函数
的联系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将 i 2π
e 表示的复数记为z ，则)i 21(+⋅z 的值为（ ）
A. －2＋i
B. －2－i
C. 2＋i
D.2－i
8.已知函数k x x x f +-=ln )(，在区间],1[e e
上任取三个数 a ，b ，c 均存在 f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形，则k 的取值范围是（ ）
A. ），（∞+- 1
B. ），（1 -∞-
C. ），（3-∞-e
D. ），（∞+- 3e
二、多选题（共4题，共20分）
9.如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（ ）
A.函数y ＝f (x )在区间）（2
1,3--内单调递增 B.函数y ＝f (x )在区间 ）（3,2
1- 内单调递减 C.函数y ＝f (x )在区间（4，5）内单调递增
D.当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极大值
10.已知函数]2,2[,)(23-∈+++=x c bx ax x x f 表示的曲线过原点，且在x =±1处的切线斜率均为－1，以下命题正确的是（ ）
A. f (x )的解析式为]2,2[,4)(3-∈-=x x x x f ;
B. f (x )的极值点有且仅有一个
C. f (x )的极大值为9316 ;
D. f (x )的最大值与最小值之和等于零 11.已知复数z 对应复平面内点A ，则下列关于复数z ，z 1，z 2结论正确的是（ ）
A. |z +2i|表示点A 到点（0，2）的距离;
B. 若|z －1|+|z +2i|=3，则点A 的轨迹是椭圆
C. ||||||||||||212121z z z z z z +≤+≤-;
D. ||||||2121z z z z =
12.以下命题正确的是（ ）
A. a =0是z =a +b i 为纯虚数的必要不充分条件;
B. 满足x 2+1=0的x 有且仅有i
C . “在区间（a ,b ）内f ’(x )>0”是“f (x )在区间（a ,b ）内单调递增”的充分不必要条件
D. 已知x x x x f =)(，则81
'87)(x x f = 三、填空题（共4题；共20分）
13.复数i （1+i ）（i 是虚数单位）的虚部是________.
14.在复平面上的平行四边形ABCD 中， AC uuu r 对应的复数是6+8i ， BD u u u r 对应的复数是－4+6i ，则DA uuu r 对应
的复数是_________.
15.如图，酒杯的形状为倒立的圆锥.杯深8cm ，上口宽6cm ，水以20cm 3/s 的流量倒入杯中，
则当水深为4cm 时，时刻t =________s ，水升高的瞬时变化率v =_________cm/s.
16.若12sin a x x a x 剟对任意的]2,0[π
∈x 都成立，则a 2－a 1的最小值为________ . 四、解答题（共6题；共70分）
17. 计算：
（1）)33()45(i i --++
（2）10
)1(i +
18.已知函数f （x ）=xlnx.
（1）求函数的图象在点x =e 处的切线方程；
（2）求函数的极值.
19.已知O 为坐标原点，向量12,OZ OZ u u u u r u u u u r 分别对应复数z 1，z 2，且i )10(5
321a a z -++=， i )52(122-+-=a a
z (a ∈R )．若21z z +是实数． (1) 求实数a 的值；
(2) 求以OZ 1，OZ 2为邻边的平行四边形的面积．
20.已知函数32()3f x x ax x =--
（1）若a =4时，求f （x ）在x ∈[1，4]上的最大值和最小值；
（2）若f （x ）在x ∈[)2,+∞上是增函数，求实数a 的取值范围．
21.如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C ，为方便游客观光，拟定曲线C 上某点P 分别修建与公路OA 、OB 垂直的两条道路PM 、PN ，且PM 、PN 的造价为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，则曲线C 符合函数242(19)y x x x =+
≤≤模型，设PM x =，修建两条道路PM 、PN 的总造价为()f x 万元，题中所涉及长度单位均为百米. （1）()f x 的解析式；
（2）当x 为多少时，总造价()f x 最低？并求出最低造价.
22.已知函数1()ln f x x a x x
=-+． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：
()()12122f x f x a x x -<--．
（第21题）。