瞬时波动率
假设给定It (t时已获得的信息)，资产的收益具有有限条件期望 和有限条件方差，资产价格动态的一个表达式：
dSt s (It )Stdt s (It )StdWt 我们定义瞬时波动率过程为 s (It )，也可以写为：
h s (It )=[min 1Vt (Sth /St )]1/2 h0
▪
dz dt
（3）
Black-Scholes模型
▪ 假设： ▪ ①股票价格遵循Ito（伊藤）过程； ▪ ②没有交易成本、税收和卖空限制，不存在无风险套利
机会； ▪ ③标的资产在期权到期时间之前不支付股息和红利； ▪ ④市场交易是连续的，价格波动也是连续的； ▪ ⑤无风险利率 r 为常数，且对所有的到期日都相等。
Ct =St F ( st , xt , ) 是参数的真实未知值，如果对任意给定的(xt , )，F函数是
一一对应的，就可求反函数，得到一个隐含瞬时波动率：
imp
(
)
G[
St
,
Ct
,
xt
,
]
▪ 期权隐含波动模型首先由Latane和Rendlema在1976年 提出。其基本原理是根据B-S期权定价公式从期权价格 倒推出市场波动性。
含波动率，它是定义如下的imp (t,t h)过程：
d1t
( xt
Ct St [ (d1t ) ext (d2t )] / imp (t, t h) h imp (t, t h)
h / 2)
d2t d1t imp (t, t h) h
其中Ct是观测到的期权价格。
(5.23)
隐含平均波动率
第5章 随机波动率
引言 BS模型和隐含波动率 波动率的一些特征事实 离散时间模型 连续时间模型
第6章 股票价格的波动率
引言 统计问题——非模型估计法
基于模型估计法
引言
▪ 随机波动率（SV）模型产生于数理金融学和金融 计量学。SV模型的几种变形来源于对不同问题的 研究：Clark认为资产收益率是信息到达这一随机 过程的函数，这种所谓的时间形变方法产生了资 产收益率的时变波动率模型；Tauchen和Pitts提 出了资产收益率与信息到达短暂相关的混合分布 模型；Hull和White提出资产价格服从扩散过程， 其波动率为正扩散过程等。
根据这个基准，把连续复利收益率log(Sth /St )的期望值和方差 看成与投资的到期期限h成比例是合理的。
▪ Wt 是一个标准布朗运动。标准布朗运动（维纳过程）定 义如下：
▪ 设 t代表一个小的时间间隔长度，z 代表变量z在时间 t内的变化，遵循标准布朗运动的具有两种特征：
▪ 特征1：t和 z的关系满足（1）：
dSt / St rtdt stdWt
( st )t[0,T ], (Wt )t[0,T ] 独立马尔科夫过程
▪ Hull和White期权定价公式
Ct =St Et [ (d1t ) ext (d2t )]
d1t (xt / (t,t h) h) (t,t h) h / 2
d2t d1 (t,t h) h
函数，得到一个隐含瞬时波动率：
imp
(ห้องสมุดไป่ตู้
)
G[St
,
Ct
,
xt
,
]
(5.22)
显然，只有知道真实未知值
，或至少能算出它他足够
0
精确的估计值时，隐含瞬时波动率（5.22）才能在实践
中用于定价或作为套期保值的衍生工具。
Lat an e和Re ndleman(1976)提出了Black Sholes隐
▪
z t
（1）
▪ 其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1
的正态分布）中取的一个随机值。
▪ 特征2：对于任何两个不同时间间隔 t , z 的值相互独立
▪ 考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得：
▪
N
z(T ) z(0) i t
（2）
i 1
▪ 当 t 0 时，我们就可以得到极限的标准布朗运动：
▪ 由于期权价格反映的是市场未来的波动性， 因此应用该 模型可以预测波动。
为了使其更精确，假设风险中性概率分布属于一个参
数族，Hull和White给出期权价格的一个函数表达式：
Ct St F[ St , xt ,0 ] (5.21) 其中0是参数的真实未知值。事实上，对任意给定的 (xt , )，F ( , xt , )是一一对应的，那么将等式(5.21)求反
其中 (t,t h)
h 0,并且 2 (t,t h)= 1
h
t t
h
2 s
d
在给定
s
时，
根据 (t,t h)的条件概率分布可计算出其中的期望值。
▪ 如果假定期权价格服从Hull-White公式，就会产生两类 隐含波动：瞬时隐含波动和平均隐含波动。
▪ 假设风险中心概率分布属于一个参数族，产生一个函数 表达式：
dSt / St rtdt sdWt
Ct C(St , K , h, t) B(t, t h)EtQ (Sth K ) Q是风险中性的概率测度，EtQ是在Q下的期望值，当给定St时，根据 Sth的对数正态性可计算其出来，从而得到t时的看涨期权公式：
Ct St(dt ) KB(t, t h)(dt s h ) 其中是累计标准正态分布函数，上式即是BS期权定价公式。
因此，期权价格Ct依赖于股票价格St、执行价K和贴现因子B(t,t h)， 定义：
xt LogSt / KB(t,t h), dt =(xt / s h /2)，
那么，有：
Ct / St =(dt ) ext(dt s h )
随机波动期权定价模型
▪ 由于B-S模型的一些假设在实际中并不成立，特别是假 设波动为常数，因此Hull和White提出了随机波动下的期 权定价公式，该模型假设：
可以把Black-Scholes隐含波动率imp (t,t h)解释为隐含平均波动率，
因为imp (t,t h)可视为 (t,t h)的条件期望值。
期权价格：
Black Scholes的期权定价模型是建立在资产价格可用对数 正态分布或几何布朗运动建模的基础上：
dSt sStdt sStdWt 其中s和 s是固定参数，具有执行价K和到期日t h的欧式
看涨期权可得收益：
[St h
K
]=
St
h
0,
K,
Sth K 其他情况
由于其假定连续的无成本交易时可行的，在风险中性世界中，有：