App 运营与推广的数理分析模型
（作者：沙水）
2014年移动互联网发展火热得不行，关于移动互联网是否存在泡沫的讨论日渐增多，各垂直领域App 的投融资也十分疯狂，拿到千万级美金风投的移动互联网产品数以十计，投资项目的数量与投资金额较之前都成倍增长。
与此同时，App 推广成本也水涨船高，各大主流应用市场一位难求。
如何更好的推广App ，提高用户数，提高用户留存，提升用户活跃度成为了各移动互联网产品首要关心的问题。
按常规推广方式来说，好渠道不多、资源有限、成本高企。
另外口碑营销也是吸引用户的重要方式，每年总有少数几款应用依靠口碑突然爆红，但实属特例，可遇不可求。
最后，做好产品的精细化运营尤其是用户运营的最高境界粉丝运营，也能帮助提升用户体验，提高用户活跃度。
站在运营推广角度来说，我们都知道移动App 的新增用户数、次日留存率、活跃用户数、口碑营销、精细化运营的重要性，但是它们对移动互联网产品的定量化影响到底有多大呢？相信很多人都对此无法准确说明，只能从定性分析的角度去解释。
鉴于此，沙水斗胆卖弄下读本硕时候的技能，通过数学建模的方式来定量分析移动互联网产品运营推广中各核心要素的影响权重，并建立一个可衡量的数理分析模型指导大家日常的产品运营推广工作。
而且该模型可以解释用户数从0到100万甚至上千万过亿的发展路径，希望对各位移动互联网同仁有所帮助。
一、 模型假设
1、0x ：初始活跃用户数，即种子用户数
2、n x ：每日新增用户数，n 为正整数
3、n μ：推广第一天新增用户n 天之后的用户留存率，1μ即为次日留存率
4、δ：新增用户留存率的抗衰减系数，即随着天数的增加用户的第2日、3
日、4日留存会发生衰减，该值则为发生衰减后的留存用户比例，处于（0，
1）之间。
于是有：1n n μδμ-=。
5、θ：每日新增用户中转化为核心用户的比率，位于（0，1）之间
6、λ：口碑传染率，即每日新增用户通过口碑传播吸引过来的新用户占当日新增用户数的比例，该值大于0，无上限。
7、n P ：推广n 天后带来的活跃用户数
8、n C ：推广n 天后增加的核心用户数
9、n G ：推广n 天后口碑传播带来的活跃用户数
10、n S ：推广n 天后总的活跃用户数，于是有：n n n n S P C G =++
二、 模式构建
1、 推广n 天后的活跃用户数
因为：101P x x =+，20112P x x x μ=++，3021123+P x x x x μμ=++，…… 所以：0112211+...+n n n n n P x x x x x μμμ---=+++
假设每日新增用户数为定值，即121...n n x x x x -==== 则：01121230111111011(...1)
(...1)
1-11-n n n n n n P x x x x x x μμμδμδμδμμδμδ-----=+++++=++++++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
2、 推广n 天后的核心用户数
因为：121...n n n C x x x x θθθθ-=++++
假设每日新增用户数为定值，即121...n n x x x x -====
所以，1n C n x θ=
3、 推广n 天后口碑传播带来的活跃用户数
因为：11G x λ= ，2112+G x x μλλ=，… 所以：11221121111+...(...1)
111n n n n
n n n G x x x x x μλμλλλμμμδλμδ-----=++=++++⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭
4、 推广n 天后的总活跃用户数
()n 1101111111011110111-1-=1+11-1-1-1-11-1-1-111-n n n
n n n n n S P C G x x n x x x x n x x n δδμθλμδδδδθμλλμδδδθλμδ-----=++⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭
⎡⎤⎛⎫=++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣
⎦
三、 模型分析
通过以上模型我们可以发现，当一款App 产品以每日新增激活用户数为1x 的力度进行推广时，核心用户的转化率θ越高，口碑传染率λ越大，次日留存率1μ越高，次日留存用户的抗衰减系数δ越大，则App 的每日活跃用户数越
高。
接下来让我们用具体数据进行检验。
假如初始的活跃用户数为0=0x ，每日新增的用户数1=10000x ，每日新增用户数中转化为核心用户的比例=0.01θ，每日新增用户数的口碑传染率=0.001λ，新增用户的次日留存率1=0.3μ，次日留存用户的抗衰减系数=0.8δ，连续推广100天后，我们可以得到100天后的用户活跃数为：
99100
10.8010000100*0.01(10.001)10.3*3502510.8S ⎡⎤⎛⎫-=++++=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦ 也就是说，按照以上条件对一款新App 进行运营推广，100天后的激活用户数为100万，日活跃用户数为35025人，其中日活跃的老用户数为25025人，日活跃率为3.5%。
如果按照单个激活用户成本为1元钱计算，则单个日活跃用户获取成本为28元左右。
继续前面的分析。
如果我们在推广力度与推广渠道不变的前提下，通过快速迭代与优化产品，做好精细化运营，提升了产品的用户体验，更好地满足了用户需求，使得每日新增用户数中转化为核心用户的比例由原来的0.01提高到0.05，每日新增用户的口碑传染率由原来的0.001提高到0.01，那么按照每日新增用户10000人的标准连续推广100天后，日活跃用户数将有原来的35025人提高到75250人，增长了约115%，单个日活跃用户获取成本则从原来的28元左右降到了13元左右。
四、 模型总结
通过以上模型分析我们可以很直观的看到在移动互联网产品的运营推广过程中，哪些核心要素对日活跃用户数起到了关键的作用。
只要我们专注这些核心要素，在产品上遵循“小步快跑，快速迭代”的原则不断贴近用户需求，满足用户体验；在App 推广上保证推广力度，不断优化渠道质量；在产品运营上加强精细化运营与用户运营，提升用户体验，那么就能有效地提升用户
的日活跃率，完成既定的KPI。
总的来说，上面的这个数理模型简单、实用、易用，能够帮助我们在App产品的设计、推广与运营中更好地抓住关键环节，让我们集中精力去关注核心数据指标的提升，从而少走弯路，起到事半功倍的作用。
大家不妨将自家的数据情况做简单的处理后代入进该模型，用来评估下推广效果如何。
以上就是沙水的全部推导与分析过程，希望对大家在App运营与推广方面有所帮助。
作者：沙水，互联网里打酱油的旁观者。
专注移动互联网产品设计、运营与社会化营销，关注O2O、移动社交、智能硬件与电商。
微信公众号：ITshayan。