人大附中2020-2021学年度高三1月期末模拟统一练习数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）B （2）B （3）D （4）C（5） C （6）C（7）A（8）C（9）A（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）36 （12）189 （13）97（14）31 0e ⎛⎫− ⎪⎝⎭，（15）95%三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）因为cos 0b A c −>，由正弦定理可得sin cos sin 0B A C −>， 在△ABC 中，πC A B =−−，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以不等式整理为sin cos cos sin sin cos A B A B B A +<， 即sin cos 0A B <，……………………………………………… 3分 因为(0π)A ∈，，sin 0A >， 所以cos 0B <，所以B 为钝角．……………………………………………… 5分（Ⅱ）()i 若满足①③④，则正弦定理可得sin sin a c A C=，sin 2C =，所以1sin 2C =，……………………………………………… 7分又a c >，所以A C >，在三角形中，sin 2A =， 所以4A π=或34A π=，而由（Ⅰ）可得4A π=， 所以可得6C π=，74612B A C πππππ=−−=−−=，所以1b ===．……………………………………………… 9分()ii 若满足①②，由（Ⅰ）B 为钝角，A ，C 为锐角，及sin 2A =，sin 2C =可得4A π=，3C π=，所以512B π=不符合B 为钝角，故①②不同时成立．………………11分()iii 若满足②③④，由B 为钝角，sin 2C =，所以3C π=，而a c >，所以A C >，这时3B π<， 不符合B 为钝角的情况，所以这种情况不成立．………………13分综上所述：只有满足①③④时1b =+．（17）（共13分）解：（Ⅰ）因为在BCD Rt △中，E ，M 分别是线段AD ，AC 的中点， 所以EM CD ∥．又因为EM BCD ⊂/面，CD BCD ⊂面， 所以EM BCD ∥面．……………………………………………… 3分（Ⅱ）在BCD Rt △中，F 是斜边BD 的中点，所以112FC BD ==. 因为,E F 是,AD BD 的中点，所以112EF AB EF AB ==∥，，且EC = 所以222EF FC EC +=， 所以EF FC ⊥.……………………………………………… 5分又因为,AB BD EF AB ⊥∥， 所以EF BD ⊥， 又BDFC F =，所以EF ⊥平面BCD ，……………………………………………… 7分（Ⅲ）因为12CE AD AE DE ====， 所以CD AC ⊥. 又因为CD BC ⊥，AC BC C =，所以CD ⊥平面ABC ， 所以ME ⊥平面ABC ．因此ECM ∠是直线EC 与平面ABC 所成的角． 故22cos306AC MC EC ==⋅=所以CD BC ==. …………… 9分由（Ⅱ），AB ⊥平面BCD ，如图，在平面BCD 内，过B 作x 轴⊥BD ，则BA ，BD ，x 轴两两垂直，建立空间直角坐标系B xyz −． 则()1,1,0C ，()0,0,2A ,()0,1,1E ．所以()=1,0,1CE −,()0,1,1BE =,()0,1,1AE =−， 设平面ACE 的法向量()111,,m x y z =，则0C 0AE m E m ⎧=⎨=⎩⋅⋅，即111100y z x z −=⎧⎨−+=⎩，取11x =,得()1,1,1m =．设平面BCE 的法向量()222,,n x y z =则·0·0BE n CE n ⎧=⎨=⎩，即222200y z x z +=⎧⎨−+=⎩，取21x =,得()1,1,1n =−．所以·11cos ,33m n m n m n ==⨯， 由图形得二面角A CE B −−为锐角， 因此二面角A CE B −−的余弦值为13． …………………………………………13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）设“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A ，则由频率分布直方图可得，1件产品为废品的概率为()0.040.0250.3+⨯=， 则()()210.310.090.91P A =−=−=.………………………………………… 3分（Ⅱ）由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，[)85,90m ∈的频率为0.0850.4⨯=；[)90,95m ∈的频率为004502..⨯=； [)95,100m ∈的频率为0.0250.1⨯=.故利用分层抽样抽取的7件产品中，[)85,90m ∈的有4件，[)90,95m ∈的有2件，[]95,100m ∈的有1件.从这7件产品中任取3件产品，质量指标值[)90,95m ∈的件数X 可为0，1，2，………………………………………… 5分()3537207C P X C ===，()122537417C C P X C ===，()212537127C C P X C ===， 所以X 的分布列为所以()0127777E X =⨯+⨯+⨯=． ………………………………………… 9分（Ⅲ）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m 与利润y （元）的关系如下表所示（14t <<）：故每件产品的利润0.20.90.60.80.5 2.50.514y t t t t e t e t =+++−=−<<.…………………………………………11分则 2.50.5t y e '=−，令 2.50.50t y e '=−=得ln 5t =， 故当()1,ln 5t ∈时，0y '>，函数 2.50.5t y e =−单调递增； 当()ln 5,4t ∈时，0y '<，函数 2.50.5t y t e =−单调递减. 所以当ln 5t =时，y 取得最大值，为ln 52.5ln 50.5 1.5e ⨯−=.所以生产该产品能够盈利，当ln 5 1.6t =≈时，每件产品的利润取得最大值1.5元.…………………………………………14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）2a =时，()2112ln 22f x x x =−−，()10f =， ()2f x x x'=−，()11f '=−.∴()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =−+．………………………………………… 4分（Ⅱ）()()20a x af x x x x x−'=−=>．①当0a <时，()20x af x x−'=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,+∞．………………………………………… 6分②当0a >时，令()0f x '=，解得x =或x =所以函数f x 的递增区间为+∞，递减区间为(．………………………………………… 9分（Ⅲ）①当0a <时，()f x 在[)1,+∞上是增函数， 所以只需()10f ≥， 而()111ln1022f a =−−=， 所以0a <满足题意；②当01a <≤时，01<≤，()f x 在[)1,+∞上是增函数，所以只需()10f ≥．而()111ln1022f a =−−=， 所以01a <≤满足题意；③当1a >1>，()f x 在⎡⎣上是减函数，)+∞上是增函数，所以只需0f ≥即可，而()10ff <=，从而1a >不满足题意；综合①②③实数a 的取值范围为()(],00,1−∞.…………………………………………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）∵C 过1 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，∴221314a b+=，又c e a ==222a b c =+(00)a b c >>>，，解得2a =， ∴C 的方程为：2214x y +=.………………………………………… 5分 （Ⅱ）依题意，直线AB 存在斜率，设直线方程为y kx m =+；联立y kx m =+与2244x y +=，得()2244x kx m ++=， ∴()222418440k x kmx m +++−=，∴()()()22222Δ(8)4414416410km k m k m =−+−=+−>，∴2241k m +>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122841km x x k −+=+，21224441m x x k −=+，122||41AB x xk=−===+…………………………………………8分∵0OA AB⋅=，∴OA AB⊥，则0k≠，直线OA为：1=−y xk．联立y kx m=+，得()y k ky m=−+，∴121myk=+，1121kmx kyk−=−=+，代入221144x y+=，22224411km mk k−⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，∴()2222414kmk+=+．…………………………………………10分∴()2222224141414kk m kk++−=+−+()()()222222241441944k k k kk k++−+==++．∴()()()()()()22222222222161411441||41414k k m k kABk k k++−+==+++．…………………………………………11分又∵()22211||OA ky y=−+()()2222222411114km mkk k k+⎛⎫=+==⎪+++⎝⎭．∴()22222||369||441AB kOA k==+，得()2221641k k=+，∴()22410k−=，∴214k=．此时()222224125412417km kk+==<+=+．…………………………………………13分∴0∆>成立．由()22214141204||141744kOAk⎛⎫+⎪+⎝⎭===++，∴OAB△的面积2113315||||||||222417S OA AB OA OA OA==⨯==．…………………………………………15分（21）（共15分） 解：（Ⅰ）因为()1147101741b +++−==−，()2147104641b+++−==−()3147107541b +++−==−，()41471010441b+++−==−，均为整数．所以数列1,4,7,10存在“关联数列”，为7,6,5,4．………………………………………… 5分（Ⅱ）因为数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ，所以()1011n n a a n m +−>≤≤−，且1n n b b +∈Z ，． ∴()()1111111· (1)11m n m n n n n n a a a a a a a a a a b b m m m ++++++−+++−−−=−=∈−−−Z ，∴10n n b b +−>，即1n n b b +>，12m b b b >>>．∴{}n b 单调递减．………………………………………… 9分（Ⅲ）① 由（Ⅱ）知，()1 1 1,2,,1n n a a m n n +−≥−=−．于是()()()112211m m m m m a a a a a a a −−−−=−+−++−≥()()()()21111m m m m −+−++−=−．所以()()2*12020144m m m −≤⇒−≤∈N ．另一方面，由数列{}n a 存在关联数列{}n b ，知()()1111111 (20201)111m m m m ma a a a a a a a a ab b m m m m +++−+++−−−=−==∈−−−−Z ．所以120m −≤，21m ≤．…………………………………………12分② 令()20191,2,,20n a n n =−=，212021a =，每一项除以20均余1，所以()()121221· (1)211m n n n a a a a a a a a b m +++−+++−==∈−−Z ，符合条件．…………………………………………14分 综上，m 的最大值为21．…………………………………………15分。