全国高考理科数学试题及答案全国Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=A ．2i -B ．i -C ．iD ．2i2．函数0)y x =≥的反函数为A ．2()4x y x R =∈B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈ D ．24(0)y x x =≥3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是A ．1a b +＞B ．1a b -＞C ．22a b ＞D ．33a b ＞4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =A ．8B ．7C ．6D ．55．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．96．已知直二面角α? ι?β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于A ．3B ．3C ．3D ．17．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种8．曲线y=2x e -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为A ．13B ．12C ．23D ．19．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．1 4-C ．14D ．1210．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=A ．45B ．35C ．35-D ．45-11．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π12．设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于A ．2BCD ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 （注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）13．（20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: ．214．已知a ∈（2π，π），sin αtan2α=15．已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| = ．16．己知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB,CF=2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知A —C =90°，b ，求C ．18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；（Ⅱ）X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。

求X 的期望。

19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图，四棱锥S ABCD -中， AB CD ⊥,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====． （Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的大小．20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设数列{}n a 满足10a =且1111.11n na a +-=--（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设111, 1.nn n n k n k a b b S n+=-==<∑记S 证明：21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++= （Ⅰ）证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） （Ⅰ）设函数2()ln(1)2xf x x x =+-+，证明：当0x ＞时，()0f x ＞；（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p ．证明：19291()10p e<<参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数，选择题不给中间分。

一、选择题1—6 BBADCC 7—12 BAADDA 二、填空题13．0 14．43- 15．6 16三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．解：由a c +=及正弦定理可得sin sin .A C B +=…………3分又由于90,180(),A C B A C -=︒=︒-+故cos sin )C C A C +=+2)C =︒+2.C = …………7分cos 2,22C C C +=cos(45)cos2.︒-=C C因为090︒<<︒，C所以245,=︒-C CC=︒1518．解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；（I）()0.5,()0.3,,P A P B C A B===+…………3分=+=+=…………6分()()()()0.8.P C P A B P A P B（II）,()1()10.80.2,==-=-=D C P D P CX B，即X服从二项分布，…………10分~(100,0.2)所以期望1000.220.EX=⨯=…………12分19．解法一：（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，连结SE，则, 3.⊥=SE AB SE又SD=1，故222=+，ED SE SD所以DSE∠为直角。

…………3分由,,⊥⊥=，AB DE AB SE DE SE E得AB⊥平面SDE，所以AB SD⊥。

SD与两条相交直线AB、SE都垂直。

所以SD⊥平面SAB。

…………6分（II）由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SED。

作,SF DE ⊥垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ， 3.SD SE SF DE ⨯== 作FG BC ⊥，垂足为G ，则FG=DC=1。

连结SG ，则SG BC ⊥， 又,BC FG SGFG G ⊥=，故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG 。

…………9分作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC 。

37SF FG FH SG ⨯==，即F 到平面SBC 的距离为21.7 由于ED//BC ，所以ED//平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 也有21.7设AB 与平面SBC 所成的角为α， 则2121sin ,arcsin .77d EB αα=== …………12分解法二：以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C —xyz 。

设D （1，0，0），则A （2，2，0）、B （0，2，0）。

又设(,,),0,0,0.S x y z x y z >>>则（I ）(2,2,),(,2,)AS x y z BS x y z =--=-，(1,,)DS x y z =-，由||||AS BS =得222222(2)(2)(2),x y z x y z -+-+=+-+ 故x=1。

由22||11,DS y z =+=得又由222||2(2)4,BS x y z =+-+=得即221410,,2y z y y z +-+===故 …………3分于是1333(1,(1,,),(1,222S AS BS =--=-，13(0,,),0,0.22DS DS AS DS BS =⋅=⋅=故,,,DS AD DS BS AS BS S ⊥⊥=又所以SD ⊥平面SAB 。

…………6分（II ）设平面SBC 的法向量(,,)a m n p =，则,,0,0.a BS a CB a BS a CB ⊥⊥⋅=⋅=又33(1,,),(0,2,0),2BS CB =-=故30,2220.m n p n ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩…………9分取p=2得(2),(2,0,0)a AB ==-又。

cos ,7||||AB a AB a AB a ⋅==⋅ 故AB 与平面SBC 所成的角为arcsin 720．解： （I ）由题设1111,11n na a +-=--即1{}1na -是公差为1的等差数列。

又1111,.11nn a a ==--故所以11.n a n =-（II ）由（I ）得n b ===，…………8分111 1.n nn k k k S b =====-<∑∑…………12分 21．解：（I ）F （0，1），l的方程为1y =+， 代入2212y x +=并化简得2410.x --=…………2分 设112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y则12x x ==121212)21,2x x y y x x +=+=++=由题意得312312()() 1.2x x x y y y =-+=-=-+=-所以点P的坐标为(1).2--经验证，点P的坐标为(1)-满足方程221,2y x +=故点P 在椭圆C 上。