考情展示 测试内容测试要求 2017年 2016年 2015年 2014年 2013年 向心力C 14 26 27考点一 向心力(1)定义：做圆周运动的物体所受到的沿着半径指向圆心的合力，叫做向心力．(2)特点：方向总是与线速度的方向垂直，沿半径指向圆心，方向时刻在改变，所以向心力是变力．(3)大小：①F n ＝m v2r(用线速度表示)． ②F n ＝m ω2r (用角速度表示)．③F n ＝m 4π2T2r (用周期表示)． (4)向心力的作用效果：向心力总是指向圆心，而线速度是沿圆周的切线方向，故向心力始终与线速度垂直，其作用效果只是改变物体速度的方向，而不改变速度的大小．特别提醒 (1)向心力来源：向心力是按力的效果来命名的，只要达到维持物体做圆周运动的效果，就是向心力．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是各力的合力或某力的分力．如：水平圆盘上跟圆盘一起匀速转动的物体和匀速转弯的汽车，其所受的摩擦力是向心力；以规定速率转弯的火车，向心力是重力和弹力的合力．(2)圆周运动向心力分析：①匀速圆周运动：物体做匀速圆周运动时受到的外力的合力就是向心力，即F 合＝F 向，这是物体做匀速圆周运动的条件．②变速圆周运动：合外力沿半径方向的分力提供向心力．例1(2017届前黄中学模拟)如图1所示，质量相等的A、B两物块放在匀速转动的水平圆盘上，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的是( )图1A．它们所受的摩擦力F f A>F f B B．它们的线速度v A<v BC．它们的运动周期T A<T B D．它们的角速度ωA>ωB答案 A解析A、B两个物体一起做圆周运动，提供它们做圆周运动的向心力是各自受到的指向圆心的摩擦力．A、B两物体周期相同，角速度也相同，r A>r B，由v＝ωr，可知v A>v B，F f＝mω2r，所以F fA>F fB.例2(2010·江苏学测)某同学为感受向心力的大小与哪些因素有关，做了一个小实验：绳的一端拴一小球，手牵着在空中甩动，使小球在水平面内做圆周运动(如图2所示)．则下列说法正确的是( )图2A．保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将不变B．保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将增大C．保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变D．保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将减小答案 B考点二 生活中的圆周运动 圆周运动的综合问题求解 (1)火车转弯时，向心力来源于铁轨对火车的支持力与火车重力的合力．(2)拱(凹)形桥设汽车质量为m ，桥面圆弧半径为r ，汽车过桥面最高点(或最低点)时的速度为v ，汽车所受支持力为F N .汽车过拱形桥最高点时，由向心力公式有mg －F N ＝mv2r，此时F N <(填“>”“＝”或“<”)mg .当v ≥gr 时，F N ＝0，汽车将脱离桥面，发生危险．汽车过凹形桥最低点时，由向心力公式有F N －mg ＝m v2r. 此时，F N >(填“>”“＝”或“<”)mg ，汽车容易爆胎．(3)航天器中的失重现象在任何关闭了发动机又不受阻力的飞行器中，都是一个完全失重的环境．(4)离心运动当合外力突然为零，物体就沿切线方向飞去．当合力不足以提供向心力时，物体也会逐渐远离圆心．特别提醒 (1)求解匀速圆周运动问题的一般步骤：①明确研究对象．②受力分析，画出受力示意图．③明确圆周运动的轨迹、半径及圆心位置．④对物体受力沿圆心方向合成或分解．⑤根据牛顿运动定律和圆周运动的运动学公式列方程，求解．(2)典型的非匀速圆周运动是竖直面内的圆周运动：①如图3甲和乙所示，在竖直面内做圆周运动的小球(可视为质点)通过最高点时： a ．当小球速度v ＝Rg 时，绳子或轨道对小球没有力的作用；b．当小球速度v>Rg时，绳中的拉力或轨道弹力指向圆心．图3②如图丙所示，小球过最高点时：a．当小球速度v＝0时，轻杆对小球的支持力大小为mg；b．当小球速度0<v<Rg时，轻杆对小球的弹力是支持力，背离圆心；c．当小球速度v＝Rg时，轻杆对小球的作用力为零；d．当小球速度v>Rg时，轻杆对小球的弹力是拉力，指向圆心．例3(2017届苏州学测模拟)在下列情况中，汽车对凹形路面的压力最大的是( ) A．以较小的速度驶过半径较大的凹形路B．以较小的速度驶过半径较小的凹形路C．以较大的速度驶过半径较大的凹形路D．以较大的速度驶过半径较小的凹形路答案 D解析对汽车受力分析有F N－mg＝m v2r，得出F N＝mg＋m v2r，速度越大，半径越小，对路面的压力越大，D项正确．例4(2017届镇江学测模拟)如图4所示，一个内壁光滑的圆锥筒固定不动，有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是( )图4A．A球的线速度必定大于B球的线速度B．A球的角速度必定大于B球的角速度C．A球的运动周期必定小于B球的运动周期D．A球对筒壁的压力必定大于B球对筒壁的压力答案 A解析小球A或B的受力情况如图所示，由图可知，两球的向心力都来源于重力G和支持力F N的合力，建立如图所示的坐标系，则有F N1＝F N sin θ＝mg，F N2＝F N cos θ＝F n，所以F n＝mgtan θ.由此知A、B两球的向心力大小相等．由F n＝m v2r可知，r越大，v一定越大，故选项A正确；由F n＝mrω2可知，r越大，ω一定越小，故选项B错误；由F n＝mr(2πT)2可知，r越大，T一定越大，故选项C错误．由受力分析图可知,小球A和B受到的支持力F N都等于mgsin θ,根据牛顿第三定律知选项D错误.例5如图5所示，长0.5 m的轻质细杆，一端固定有一个质量为3 kg的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速率为2 m/s.取g＝10 m/s2，下列说法正确的是( )图5A．小球通过最高点时，对杆的拉力大小是6 NB．小球通过最高点时，对杆的压力大小是24 NC．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是24 ND．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54 N答案 D 解析 设在最高点杆表现为拉力，则有F ＋mg ＝m v2R，代入数据得F ＝－6 N ，则杆表现为支持力，大小为6 N ，所以小球对杆表现为压力，大小为6 N ，故选项A 、B 错误；在最低点，杆表现为拉力，有F ′－mg ＝m v2R，代入数据得，F ′＝54 N ，故选项C 错误，D 正确．例6一辆汽车匀速率通过一座圆弧拱桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥．设两圆弧半径相等，汽车通过拱桥桥顶时，对桥面的压力F 1为车重的一半．汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为F 2.求F 1与F 2之比．答案 1∶3解析 汽车过圆弧形桥的最高点(或最低点)时，由重力与桥面对汽车的支持力的合力提供向心力．汽车过圆弧形拱桥的最高点时，由牛顿第三定律可知，桥面对汽车的支持力与汽车对桥面的压力大小相等，所以由牛顿第二定律可得G －F 1＝mv2R同样，汽车过圆弧形凹形桥的最低点时，有F 2－G ＝mv2R 又因F 1＝G 2联立解得F 1∶F 2＝1∶3.1．(2017届盐城学测模拟)如图6所示，水平圆盘绕竖直轴匀速转动．离轴心距离不等的位置上有质量相等的A 、B 两物块随圆盘匀速转动，且始终相对于圆盘静止，两物块的向心力( )图6A ．大小相等，方向相同B ．大小相等，方向不同C ．大小不等，方向相同D ．大小不等，方向不同答案 D 解析 由F n ＝m ω2r 得出质量、角速度相同时，半径不同，向心力大小不同，方向都指向圆心，D 项正确．2.(2017·江苏学测)如图7所示，长为L 的细线一端固定，另一端系一质量为m 的小球．小球在竖直平面内摆动，通过最低点时的速度为v ，则此时细线对小球拉力的大小为( )图7A ．mgB ．m v2LC ．mg ＋m v2LD ．mg －m v2L 答案 C解析 对小球进行受力分析，有F T －mg ＝m v2L， 得出F T ＝mg ＋m v2L，C 项正确．3．(2017届苏州学测模拟)如图8所示，水平转台上有一个质量m ＝1 kg 的可看做质点的小物体，离转台中心的距离r ＝0.5 m.图8(1)若小物体随转台一起转动的线速度大小为1 m/s ，求物体的角速度大小；(2)在第(1)问条件下，求小物体所受的摩擦力大小和方向；(3)若小物体与转台之间的最大静摩擦力大小为4.5N ，小物体与转台间不发生相对滑动时，转台转动的最大角速度应为多大？答案 (1)2 rad /s (2)2 N 方向指向圆心 (3)3 rad/s解析 (1)由v ＝ωr 得ω＝v r＝2 rad/s (2)小物体随转台一起转动，向心力由转台对小物体的静摩擦力提供．F f ＝F n ＝m v2r＝2 N 方向指向圆心(3)当小物体所受静摩擦力最大时，角速度最大．有F m ＝m ω2m r ，得ωm ＝Fm mr ＝3 rad/s. 4．(2014·江苏学测)“魔盘”是一种神奇的游乐设施，它是一个能绕中心轴转动的带有竖直侧壁的大型转盘，随着“魔盘”转动角速度的增大，“魔盘”上的人可能滑向盘的边缘．如图9所示，质量为m 的人(视为质点)坐在转盘上，与转盘中心O 相距r .转盘的半径为R ，人与盘面及侧壁间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g .图9(1)当转盘的角速度大小为ω0时，人未滑动，求此时人的线速度大小v .(2)求人与转盘发生相对滑动时转盘的角速度大小ω应满足的条件．(3)当人滑至“魔盘”侧壁处时，只要转盘的角速度不小于某一数值ωm ，人就可以离开盘面，贴着侧壁一起转动．有同学认为，ωm 的大小与人的质量有关，你同意这个观点吗？请通过计算说明理由．答案 (1)r ω0 (2)ω> μg r(3)见解析解析 (1)线速度v ＝r ω＝r ω0(2)由μmg <m ω2r 得ω>μg r. (3)不同意．由F N ＝m ω2m R 和μF N ＝mg 得ωm ＝ g μR ，则ωm 与人的质量无关．1．(2016届徐州学测模拟)如图10所示，在光滑水平面上，一质量为m 的小球在绳子拉力F 的作用下做半径为r 的匀速圆周运动，小球运动的线速度为v ，角速度为ω，向心加速度为a n ，则下列表达式正确的是( )图10A ．F ＝m v rB ．v ＝ω2rC ．ω＝v rD ．a n ＝ω2r答案 D2．(2016届南京学测模拟)关于圆周运动，下列说法中正确的是( )A ．做变速圆周运动时，物体的速度方向不沿切线方向B ．做匀速圆周运动时，物体所受合力为零C ．物体在恒力作用下不可能做匀速圆周运动D ．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做复杂的曲线运动 答案 C解析 物体做曲线运动时，速度方向沿切线方向，A 项错误；物体做匀速圆周运动时，所受合力指向圆心，合力提供向心力，力的方向始终在变，这个力不是恒力，B 项错误，C 项正确；当一切力都突然消失时，根据牛顿第一定律知物体将沿切线方向做匀速直线运动，D 项错误．3．(2015届无锡学测二模)如图11所示，水平转台上放着一枚硬币，当转台匀速转动时，硬币没有滑动．关于这种情况下硬币的受力情况，下列说法中正确的是( )图11A．仅受重力和台面的支持力B．受重力、台面的支持力、静摩擦力和向心力C．受重力、台面的支持力、沿切线与速度方向相反的静摩擦力D．受重力、台面的支持力、指向圆心的静摩擦力答案 D4．(2016届扬州学测模拟)如图12所示，汽车以速度v通过一个半圆形拱桥的顶点时，关于汽车受力，下列说法中正确的是( )图12A．汽车的向心力就是重力B．汽车受重力、支持力、向心力作用C．汽车受到的重力和支持力的合力提供所需的向心力D．汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力、向心力作用答案 C5．(2017届无锡学测模拟)一辆小汽车在如图13所示的路面上快速行驶，途经图示的A、B位置时，对路面的压力和它的重力的关系是( )图13A ．在A 处时对路面的压力小于它的重力B ．在A 处时对路面的压力大于它的重力C ．在B 处时对路面的压力小于它的重力D ．在B 处时对路面的压力等于它的重力 答案 A 6．质量为30kg 的小孩坐在秋千板上，秋千板离系绳子的横梁的距离是2.5m ，小孩的父亲将秋千板从最低点拉起1.25m 高度后由静止释放，不计一切阻力，小孩沿圆弧运动至最低点时，她对秋千板的压力约为(g 取10 m/s 2)( ) A ．0 B ．200 N C ．600 N D ．1 000 N答案 C解析 小孩由静止释放到最低点过程中，由动能定理得mgh ＝12m v 2，在最低点对小孩有F N －mg ＝mv2l， 解得F N ＝600 N ，由牛顿第三定律知她对秋千板的压力也为600 N. 7．(2016届盐城一中)把A 、B 、C 三个相同材料制成的物体放在水平转台上，它们的质量之比为3∶2∶1，它们与转轴之间的距离之比为1∶2∶3.当转台以一定的角速度旋转时，它们均无滑动，它们受到的静摩擦力大小分别为F f A 、F f B 、F f C ，比较这些力可得( ) A ．F f A <F f B <F f C B ．F f A >F f B >F f C C ．F f A ＝F f B ＝F f C D ．F f A ＝F f C <F f B答案 D解析 因为它们均无滑动，说明它们做匀速圆周运动的向心力均由静摩擦力提供．所以它们所受静摩擦力之比就是向心力之比．因为它们角速度相同，根据公式F n ＝m ω2r 知向心力之比为3∶4∶3，D 项正确．8．手握绳的一端，绳的另一端系着盛有水的小水桶，使该水桶在竖直平面内做圆周运动，如图14所示．在水桶经过最高点时( )图14A．速度一定为零B．水和桶均不受重力C．因桶口朝下，必有水流出D．虽桶口朝下，但水不会流出答案 D解析在绳子拉力作用下,小水桶在竖直平面内做圆周运动,当过最高点时必有v≥gR,此时虽桶口朝下但水不会流出,故A、C错误,D正确;由于重力与物体运动状态无关,故B错误. 9．(2016届扬州学测模拟)汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长．某国产轿车的车轮半径为30cm，当该型号轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120km/h”上，可估算出该车车轮的转速约为( )A．1 000 r/min B．1 000 r/sC．1 000 r/h D．2 000 r/h答案 A解析“120 km/h”指的是车轮边缘的线速度大小，由n＝v2πr可知，n＝120 km/h2×3.14×30 cm＝120 0002×3.14×0.3 r/h≈63 694 r/h≈18 r/s≈1 062 r/min，A项正确．10．(2017·常州中学高二第二学期期中考试)公路急转弯处通常是交通事故多发地带，如图15所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v c时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处( )图15A．路面外侧低内侧高B．当路面结冰时，与未结冰时相比，v c的数值变小C．车速只要低于v c，车辆便会向内侧滑动D．车速虽然高于v c，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动答案 D11．(2011·江苏学测)如图16所示，行车通过长L＝5 m的吊索吊着质量m＝1.0×103 kg的钢材，以v＝2 m/s的速度沿水平方向匀速行驶时，行车突然停车．(取g＝10 m/s2)求：图16(1)行车在行驶过程中，吊钩受到的拉力F.(2)行车突然停车的瞬间，吊钩受到的拉力F′.答案(1)1.0×104 N (2)1.08×104 N解析(1)由二力平衡条件知F＝mg＝1.0×104 N.(2)由题意知，行车突然停车的瞬间，钢材开始做圆周运动，其所受合力提供向心力，，即F′－mg＝m v2L解得F′＝m(g＋v24 N.L)＝1.08×1012．如图17所示，一细杆与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细杆一起在竖直平面内做圆周运动，水的质量m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝40 cm，取g＝10 m/s2.图17(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率v0.(2)若在最高点水桶的速率v ＝4 m/s ，求水对桶底的压力． 答案 (1)2 m/s (2)15 N ，方向竖直向上解析 (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小，有mg ＝m v20l故所求的最小速率为 v 0＝gl ＝2 m/s.(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为F N ，则由牛顿第二定律有F N ＋mg ＝m v2l ，所以F N ＝m v2l －mg ，代入数据可得F N ＝15 N.根据牛顿第三定律可知，水对桶底的压力F N ′＝F N ＝15 N ，方向竖直向上． 13．(2016届扬州学测模拟)如图18所示，有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘，上面放置劲度系数为k ＝46 N /m 的弹簧，弹簧的一端固定于轴O 上，另一端连接质量为m ＝1 kg 的小物块A ，物块与盘间的动摩擦因数为μ＝0.2.开始时弹簧未发生形变，长度为l 0＝0.5 m ．若最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度取g ＝10 m/s 2，物块A 始终与圆盘一起转动．则：图18(1)圆盘的角速度多大时，物块A 将开始滑动？ (2)当角速度缓慢地增加到4rad/s 时，弹簧的伸长量是多少？(弹簧伸长量在弹性限度内且物块未脱离圆盘) (3)在角速度从零缓慢地增加到4rad/s 过程中，物块与盘间摩擦力大小为F f ，试通过计算在坐标系中作出F f －ω2图象． 答案 (1)2 rad/s (2)0.2 m (3)见解析解析 (1)设圆盘的角速度为ω0时，物块A 开始滑动，则μmg＝mω02l0，解得ω0＝μg＝2 rad/s.l0(2)设此时弹簧的伸长量为Δx，则μmg＋kΔx＝mω2(l0＋Δx)，解得Δx＝0.2 m.(3)在角速度从零缓慢地增加到2 rad/s过程中，物块与盘间摩擦力为静摩擦力F f＝ml0ω2，F f随着角速度的增加而增大．当ω>2 rad/s时，物块与盘间摩擦力为滑动摩擦力为定值F f＝μmg＝2 N．图象如图所示．。