第6章 磁力的计算由理论力学可知，体系在某一方向的力和力矩等于在该方向的能量梯度，可表达为：ii i WT q W F θ∂∂=∂∂=, (6-1) 式中，W —为体系的能量，i q —在i 方向的坐标，i F —i 方向的力，T —作用在θ方向的力矩，θ—旋转角。

1．吸引力的计算1) 气隙能量有解的表达式:22μgg g L A B W =或π82gg g L A B W =(6-2)由上式得吸引力:22μgg A B F =（6-3）式中，F —吸引力()N ，g B —气隙磁密()2mWb，gA —板面积()2m ，0μ—真空磁导率()mH7104-⨯π2) 如果气隙较大, g B 不均匀，能量表达式由(3)得引力应为:π82gg A B F =(6-4)式中，F —吸引力()yn d ，g B —G ，g A —2cm 。

为了计算方便，将上式化为：g g A B F 24965⎪⎪⎭⎫⎝⎛= （6-5）式中，F —kgf ，g B —G ，g A —2cm 。

dV B W g ⎰⎰⎰=0221μ （6-6）dV 为气隙体积元，积分在全部气隙中进行，如果1≠r μ时，0μ应改为0μ0r μ，此式由计算机求出W ，再由iq W∂∂求出i F 。

3） 也可不先求W ，直接按下式求出磁吸引力F：⎰⎰∇=s d p F（6-7）F——作用于磁体上的磁吸引力；s——包围该物体的任意表面； p——作用于该表面上的应力； p的表达式为：()n B B B n p 200211μμ-⋅= （6-8） n——沿积分表面s 法线方向的单位矢量； B——磁感应强度矢量4） 下面介绍05RC 与铁氧体之间的磁吸引力。

试验证明，在永磁体直径D 等于高度m L 时，吸引力最大。

故假定1=≠D L m ，此时，气隙磁密g B 可用下列公式（注：此法由磁核积分法导出）。

⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=211D L D L B B g g r g 在磁力试验中发现永磁体的C B H 也起作用，故将上式改为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=211D L D L H B B g g C B r g (6-9) 例，求两个铁氧圆环之间的吸引力。

两环的磁特性和几何尺寸为：G B r 3500= ， e C B O H 2250= ， cm d 0.5Φ＝外 ， cm d 2.3Φ＝内高度cm L m 5.1= 可把圆环看成是直径()内外－d d D 21=和高度m L 的圆柱绕z 轴旋转而成的，故可用（6）和（10）式联立求解。

试验结果和计算结果表面，当相对气隙5.0<DL g以前计算值和试验值相近。

2. 排斥力的计算由库伦定律可知，排斥力在数值上与吸引力相等，22104r Q Q F m m πμ= （6-10）当1m Q 与2m Q 符号相同，为排斥力； 当1m Q 与2m Q 符号相反，为吸引力。

这个条件()斥引＝F F 对于线性退磁曲线的铁氧体和稀土 铬永磁体，基本满足，而对于o i C N A 1等的永磁体不满足。

这个条件即使对5O RC ,吸引力也稍大于排斥力。

这是由于在排斥条件下，有一磁矩偏离原来的方向，从而使磁板厚度有所减小。

如果两个永磁体的退磁曲线与纵坐标的交角接近450，则M 在退磁场中变化越微小。

例，利用磁荷积分法，求出吸引力与排斥力，将排斥力的计算值与试验值比较，可知：1）当5.0≈DL g时，计算值和试验值接近；2）当g L 较小时，计算值大于试验值； 3）当g L 大时，计算值小于试验值。

故在利用排斥力的系统中，为了稳定，常使用中等气隙。

因为气隙太小时，排斥力与气隙的曲线太陡。

气隙稍有变化，排斥力变化太大，不利于稳定。

而气隙g L 太大，则排斥力太小，需要使用更多的永磁材料。

所以选择中等气隙较合适。

3. 力矩的计算1) 永磁力矩电机的力矩。

Φ=NI C T e （6-11）T ——力矩（m N ⋅，除以9.8九化为m kgf ⋅）； e C ——常数，决定于电机的具体结构； NI ——每板的总电流（A ）； Φ——每板的磁通量（Wb ）. 2) 磁力传动器的力矩计算。

平面轴向磁力传动器。

静止时，永磁体的工作点在A ，这是低状态，转动时，主动体与被动体有一个角度差（或较相位差）θ，永磁体的工作点在C ，这是高状态，它的能量用下式计算：()12218H H B V OAC W r m -=⎪⎭⎫⎝⎛=π面积 （6-12）m V 为全部永磁体的体积，m m m L A V 2=在A 点有：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==g g k mgg f m L H k L H A B k A B 111111 （6-13） 在C 点有：()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧+==22222222θr L H k L H A B k A B g g r mg g f m （6-14） 上两式各符号的意义与磁导法中相同。

角标1对应A 点，角标2对应C 点。

假定，m g A A = （忽略漏磁），()()()()2211,gg g g H B H B == 上面条件在空气和真空中成立，在A1，C u ，无磁不锈钢中也基本成立，得：()()()()()2222221111θr L L H k k B L L H k k B g m r f g m r f +== （6-15）利用B H B r =-μ的关系，求出()()()()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛++=+=2222211111θr L L k k B H L L k k B H g mr f rg m r f r（6-16）于是得到能量表达式：()()()()()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=g mr f gm r f r m L L k k r L L k k B V W 11222221111821θπ （6-17） 进一步计算力矩：()()()[]()()()()2222223222221821⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++=∂∂=θθθπθr L L k k r r r L L k k B V W T g m rf gm r fr m （6-18） 令，()ϕθcos 22=+r R L gg()ϕθθsin 22=+r L r g代入（23）式，得：()()()()22222222cos 1cos sin 821⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=g m r f g m r f r m L L k k L rL k k B V T ϕϕϕπ （6-19）当()()22r fk k ＝1时，欲得到最大力矩m ax T ，由式（24）确定条件是：3,4.500==g m L L ϕ 代入式（24）中，得，()cm d r A B T yn m r ⋅⨯⨯=-22max 1032.1式中，r B ——G;m A ——2cm ，永磁体的面积；r ——cm ，永磁体的半径。

注意：（a ） 当()()22r f k k 和g m L L 的值变化时，ϕ的最佳值也要变化；（b ） 在g L 较大的场合，()()22r f k k ＝1和3=g m L L 这两个条件不能试验，这时得到的力矩明显小于m ax T 。

m ax T 时理想设计的最大值，在g L 较小时，能接近m ax T 。

（c ） 实际计算时应考虑气隙磁密分布的状态（它和极数有关）。

系数η，当气隙磁密时理想的矩形波时，η为1.0；当气隙磁密分布时理想的正方形波时，η为0.5。

当气隙磁密在两者之间，η在0.5与1.0之间取值。

为设计留有余量，一般取η＝0.5。

（d ） 由气隙磁能求力和力矩气隙磁电W g 可通过气隙磁通g φ，气隙磁压降g ℑ，和气隙磁导P g 来表示：g g g g g g g p p W 22212121ℑ==ℑ=φφ (6-20)按理论力学求力和力矩的法则，在x 方向的力，()()()xp x p x x W F gg g g g g gx ∂ℑ∂=∂∂=∂ℑ∂=∂∂=22212121φφ （6-21）θ方向的力矩，()()()θφθφθφθ∂ℑ∂=∂∂=∂ℑ∂=∂∂=gg g g g g gp p W T 22212121 （6-22）例， 求两平行磁极之间的吸引力。

气隙截面g A ，间隙g L ，ggg L A p 0μ=， g g g L H =ℑ ， g g g A B =φ()g g g g g g g g g g A L H L A L H p W 200222112121μμ=+=ℑ=或()()g g g g g g g g g A L B A L A B p 20022212121μμφ===或g g g g g g A L H B 2121=ℑ=φ 轴向吸引力x F ，g g g g g g g gg g x A H B A B A H L W xW F 2121212020===∂∂=∂∂=μμ 这三个式子是等价的，因为，g g H B 0μ=式中，()()()()m H N F m A m A H m Wb B g g g 7022104,,,,-⨯=πμ例2， 同轴圆柱表面由径向磁通引起的轴向力。

同轴圆柱表面的径向气隙g L ，可动小圆柱的半径1r ，深入大圆筒内的深度为l ，欲求小圆柱所受的轴向力z F 。

解：径向气隙中的磁导g p ，()gg g L L r p 2210+=πμ()2102221g gg g g z L L r l p F ℑ+=∂∂ℑ=πμ 或()221024gg gl L r L φπμ-+=例3， 求同轴圆柱面之间的力矩。

转子半径为1r ，定子的单边气隙为g L ，转子离开平衡位置的转角为θ（单位为弧度）。

气隙磁导g p ，()gg g L L L r p 2210θμ+=()gg g L LL r p 2210+=∂∂μθ力矩()21024221g g g g g L L L r p T ℑ+=∂∂ℑ=μθ ，或()21022θμφL L r g g +=。