必修三 数学测试题一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．在频率分布直方图中，各个长方形的面积表示( )A ．落在相应各组的数据的频数B ．相应各组的频率C ．该样本所分成的组数D ．该样本的样本容量[答案] B[解析]在频率分布直方图中，横轴是组距，纵轴是频率组距，故各个长方形的面积＝组距×频率组距＝频率． 2．下边程序执行后输出的结果是( )n ＝5S ＝0WHILE S <15S ＝S ＋nn ＝n －1WEND PRINT n ENDA ．－1B ．0C ．1D ．2[答案] B[解析]S ＝5＋4＋3＋2＋1；此时n ＝0.3．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x 6－12x 5＋60x 4－160x 3＋240x 2－192x ＋64，当x ＝2时的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．4[答案] A[解析]先将多项式f(x)进行改写：f(x)＝x 6－15x 5＋60x 4－160x 3＋240x 2－192x ＋64＝(((((x －12)x ＋60)x －160)x ＋240)x －192)·x＋64.然后由向外计算得v 0＝1，v 1＝v 0x ＋a 5＝1×2－12＝－10， v 2＝v 1x ＋a 4＝－10×2＋60＝40， v 3＝v 2x ＋a 3＝40×2－160＝－80， v 4＝v 3x ＋a 2＝－80×2＋240＝80， v 5＝v 4x ＋a 1＝80×2－192＝－32， v 6＝v 5x ＋a 0＝－32×2＋64＝0.所以多项式f(x)当x ＝2时的值为f(2)＝0.4．一班有学员54人，二班有学员42人，现在要用分层抽样的方法从两个班中抽出一部分人参加4×4方队进行军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( )A ．9人、7人B ．15人、1人C ．8人、8人D ．12人、4人[答案] A[解析]一班抽取人数54×1696＝9(人)，二班抽取人数42×1696＝7(人)．5．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在(2 700,3 000)围的频率为( )A ．0.001B ．0.1C ．0.2D ．0.3[答案] D[解析]频率＝0.001×300＝0.3.6．期中考试以后，班长算出全班40个人数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M N 为( )A .4041B ．1C .4140D ．2[答案] B[解析]设40个同学的成绩分别为x 1，x 2，…，x 40， 而x 41＝M ，则M ＝x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 4040，∴x 1＋x 2＋…＋x 40＝40M ，N ＝x 1＋x 2＋…＋x 40＋M 41＝40M ＋M 41＝M ，故选B .7．对一个容量为50的样本数据进行分组，各组的频数如下：[12.5,15.5)，3；[15.5,18.5)，8；[18.5,21.5)，9；[21.5，24.5)，11；[24.5,27.5)，10；[27.5,30.5)，6；[30.5,33.5)，3.根据累积频率分布，估计不大于30的数据大约占( )A ．94%B ．6%C ．95%D ．90%[答案] A[解析]由于大于30的数据大约占350×100%＝6%，∴不大于30的数据大约占1－6%＝94%， 故选A .8．如果执行下面的程序框图，输入n ＝6，m ＝4，那么输出的p 等于( )A ．720B ．360C ．240D ．120[答案] B[解析]p ＝1×(6－4＋1)×(6－4＋2)×(6－4＋3)×(6－4＋4)＝3×4×5×6＝360. 9．已知x 、y 的取值如下表：x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为y ^＝0.95x ＋a ，则a 的值为( )A ．2.6B ．－2.6C ．4.5D ．2[答案] A [解析]x ＝0＋1＋3＋44＝2， y ＝2.2＋4.3＋4.8＋6.74＝4.5.把(2,4.5)代入回归方程得a ＝2.6.10．如果执行下面的程序框图，那么输出的S 等于( )A ．10B ．22C ．46D ．94[答案] C[解析]i ＝2时，S ＝2(1＋1)＝4； i ＝3时，S ＝2(4＋1)＝10； i ＝4时，S ＝2(10＋1)＝22； i ＝5时，S ＝2(22＋1)＝46.此时满足条件，输出S.11．经显示，家庭用液化气量(单位：升)与气温(单位：度)有一定的关系，如图所示，图(1)表示某年12个月中每个月的平均气温，图(2)表示某家庭在这年12个月中每个月的用气量，根据这些信息，以下关于家庭用气量与气温关系的叙述中，正确的是( )A．气温最高时，用气量最多B．当气温最低时，用气量最少C．当气温大于某一值时，用气量随气温升高而增加D．当气温小于某一值时，用气量随气温降低而增加[答案]C[解析]经比较可以发现，2月份用气量最多，而2月份温度不是最高，故排除A，同理可排除B.从5,6,7三个月的气温和用气量可知C正确．[点评] 从图上看，尽管10至12月气温在降低，用气量在增加，但不能选D，因为不满足“气温小于某一数值时”的要求，因此考虑问题一定要全面．12．(2012·高考卷)小波一星期的总开支分布图如图(1)所示，一星期的食品开支如图(2)所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )A．30% B．10%C．3% D．不能确定[答案]C[解析]本题是一个读图题，图形看懂结果很容易计算．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．经问卷调查，某班学生对摄影分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比“不喜欢”的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的是5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位持“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多________人．[答案] 3[解析]设持“不喜欢”态度的有x人，则持“一般”态度的有(x＋12)人，持“喜欢态度”的有y人，则x＋123＝x1＝y5，∴x＝6，y＝30.∴全班人数为6＋30＋18＝54，则30－12×54＝3.14．下列程序输出的结果是________．a ＝54 321b ＝0 DOt ＝a MOD 10 1 b ＝b *10＋t a ＝INT (a /10)LOOP UNTIL t <＝0 PRINT “b ＝”；b END[答案] 12 345[解析]第一次执行循环体后，t ＝1，b ＝1，a ＝5 432， 第二次执行循环体后，t ＝2，b ＝12，a ＝543， 依次下去可得b ＝12 345. 15．(1)(1 011 )2＝( )10； (2)(154)6＝( )7. [答案] (1)90 (2)130[解析](1)将二进制数化为十进制数，就是将二进制的末位乘以该位的权20，倒数第二位乘以该位的权21，…，依次类推，最后把各位的结果相加即可．(1 011 )2＝0×20＋1×21＋0×22＋1×23＋1×24＋0×25＋1×26＝90.(2)不同进位制之间的转化(除十进制)，我们可以把需要转化 数化成十进制数，然后再把十进制数化为要转化的进位制的数．(154)6＝4×60＋5×61＋1×62＝4＋30＋36＝(70)10.故(70)10化为七进制数如上图所示， 故(70)10＝(130)7.16．为了解某地高一年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本(60名男生的身高，单位：cm )，分组情况如下：[答案] 0.45[解析]172.5～179.5的频数为60×0.1＝6. ∴165.5～172.5的频数为60－6－21－6＝27. ∴对应频率a ＝2760＝0.45.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)某政府机关在编工作人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，并写出具体实施抽取的步骤．[解析]因为机构改革关系到各种人的不同利益，所以采用分层抽样为妥． 因为20100＝15，所以105＝2，705＝14，205＝4.故从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人． 因副处级以上干部与工人的人数较少，把他们分别按1～10与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人进行01,02，…，70编号，然后用随机数法从中抽取14人．18．(本小题满分12分)在音乐唱片超市里，每唱片售价25元．顾客如果购买5以上(含5)唱片，则按照九折收费；如果顾客购买10以上(含10)唱片，则按照八五折收费．请设计一个完成计费工作的算法，画出程序框图．[解析]算法步骤如下： 第一步，输入a.第二步，若a<5，则C ＝25a ；否则，执行第三步．第三步，若a<10，则C ＝22.5a ；否则(a≥10)，C ＝21.25a. 第四步，输出C ，算法结束． 程序框图如下图所示．19．(2011～2012·模拟)(本小题满分12分)如图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中从左向右第一组的频数为4000.在样本中记月收入在[1000,1500)，[1500,2000)，[2000,2500)，[2500,3000)，[3000,3500)，[3500,4000)的人数依次为A1，A2，…，A6.图乙是统计图甲中月工资收入在一定围的人数的程序框图，求输出的S(用数字作答)．[解析]方法一：先求样本容量x，再分别计算A2，A3，…，A6.在频率分布直方图中，小长方形的高是频率/组距，所以A1＝4000＝0.0008×500x，解得x＝10000.从而，A2＝0.0004×500×10000＝2000，A3＝0.0003×500×10000＝1500，A4＝0.00025×500×10000＝1250，A5＝0.00015×500×10000＝750，A6＝0.0001×500×10000＝500，所以图乙输出的S＝A2＋A3＋…＋A6＝6000.方法二：先求样本容量x，再计算A2＋A3＋…＋A6.在频率分布直方图中，小长方形的高是频率/组距，所以A1＝4000＝0.008×500x，解得x＝10000.所以，图乙输出的S ＝A 2＋A 3＋…＋A 6＝10000－A 1＝10000－4000＝6000. [答案] 6000[点评] 本例由程序框图转化到频率分布直方图，由图读数，体现了转化与化归思想． 20．(本小题满分12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85(1)用茎叶图表示这两组数据；若将频率视为概率，对甲学生在培训后参加的一次数学竞赛成绩进行预测，求甲的成绩高于80分的概率；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两中)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．[解析](1)作出茎叶图如下：记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ，则P(A)＝68＝34，答：甲的成绩高于80分的概率为34.(2)派甲参赛比较合适．理由如下：x 甲＝18(70×2＋80×4＋90×2＋8＋9＋1＋2＋4＋8＋3＋5)＝85，x 乙＝18(70×1＋80×4＋90×3＋5＋0＋0＋3＋5＋0＋2＋5)＝85，s 2甲＝18[(78－85)2＋(979－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s 2乙＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41，∵x 甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．21．(本小题满分12分)为了了解某地区中小学教学水平受教学资源的影响情况，对某地区中小学进行调查，已知该地区中小学人数的分布情况如下表(单位：人)：学段城市县镇农村小学357 000 221 600 258 100初中226 200 134 200 11 290高中112 000 43 300 6 300 请根据上述基本数据，设计一个样本容量为总体容量的千分之一的抽样方案．[分析] 要根据样本容量的大小灵活选取抽样方法．[解析]方案具体如下：第一步：确定城市、县镇、农村分别被抽取的个体数，城市、县镇、农村的学生数分别为：357 000＋226 200＋112 000＝695 200,221 600＋134 200＋43 300＝399 100，258 100＋11 290＋6 300＝275 690.因为样本容量与总体容量的比为1 1 000，所以样本中包含的各部分个体数分别为：695 200×11 000≈695,399 100×11 000≈399,275 690×11 000≈276.第二步：将城市的被抽取个体数分配到小学、初中、高中三个学段．因为城市小学、初中、高中的人数比为：357 000226 200112 000＝1 785 1 131560,1 785＋1 131＋560＝3 476，所以小学、初中、高中被抽取的人数分别为：1785×6953 476≈357,1 131×6953 476≈226,560×6953 476≈112.第三步：将县镇的被抽取的个体数分配到小学、初中、高中三个学段．由于县镇小学、初中、高中的人数比为：221 600134 20043 300＝2 216 1 342433,2 216＋1 342＋433＝3 991，所以小学、初中、高中被抽取的人数分别为：2 216×3993 991≈222,1 342×3993 991≈134,433×3993 991≈43.第四步：使用同样的方法将农村的被抽取的个体数分配到小学、初中、高中三个学段，结果是农村的小学、初中、高中被抽取的人数分别为：259,11,6.第五步：再用合适的方法在对应的各个部门抽取个体，在各层中抽取的个体数目如下表所示：学段城市县镇农村小学357 222 259初中226 134 11高中112 43 6[点拨] 在确定各层所抽取的个体数时，若不是整数，可以采用四舍五入的方法来处理．按照上表数目在各个层中用简单随机抽样方法抽取个体，合在一起形成所需的样本．22．(本小题满分12分)下表中数据是退水温度x(℃)对黄硐延长性y(%)效应的试验结果，y 是以延长度计算的．x(℃) 300 400 500 600 700 800 y(%)405055606770(1)画出散点图；(2)指出x ，y 是否线性相关；(3)若线性相关，求y 关于x 的回归方程；(4)估计退水温度是1000℃时，黄硐延长性的情况．[分析] 由散点图判断线性相关，直接代入公式求回归方程的系数a ，b. [解] (1)散点图如下图所示(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y 与x 线性相关． (3)列表如下，并用科学计算器进行有关计算. i 1 2 3 4 5 6 x i 300 400 500 600 700 800 y i 40 50 55 60 67 70 x i y i 12 000 20 000 27 500 36 000 46 900 56 000 x 2i90 000160 000250 000360 000490 000640 000x ＝550，y ＝57，∑i ＝1x 2i ＝1 990 000，∑i ＝1x i y i ＝198 400.于是可得b^＝∑6i＝1x i y i－6x y∑6i＝1x2i－6x2＝198 400－6×550×571 990 000－6×5502≈0..a^＝y－b^x≈57－0.×550＝24.55.因此所求的回归直线方程为y^＝0.059x＋24.55.(4)将x＝1 000代入回归方程，得y^＝0.×1 000＋24.55＝83.55，即退水温度是1 000℃时，黄硐延长性大约是83.627%.[点拨] 知道x与y是线性相关关系，无须进行相关性检验，否则，应首先进行相关性检验．如果本身两个变量不具备相关关系，即使求出回归直线方程也毫无意义．。