郑州大学2005年硕士研究生入学考试
数学分析
1． 填空题：
（1） 问底数a 是何值时，直线x y =才能与对数曲线x
y a log =相切？切于何处？（ ）
（2） 写出函数x x f cos ln )(=在0=x 处的泰勒公式（展开到4
x 项，不写余项）（ ）
（3） 两个函数)(x f 与)(x g 的定义域和值域都是开区间)1,1(−，当
0→x 时，)(x f 是比x 高阶的无穷小量且)(,0)0(x g f =在0=x 处不可导，函数)()(),()(x g x f x g x f +在0=x 处是否可导？（ ）
（4） 设函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,)(),(22y x y x y x xy y x f s 在)0,0(点可微，求s 的
取值范围
（5） 设S 为上半球面，比较下面三个第一类曲面积分的大小：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰===S
S S zdS c ydS b xdS a ,2,3
2． 求极限：))11((lim n n n
e n +−∞→ 3． 设函数),(y x z z =二阶连续可微，v e y v e x u u sin ,cos ==，若
02222=∂∂+∂∂y z x z ，求：2222v
z u z ∂∂+∂∂ 4． 设{}
)(40,1:),,(2222y x z y x z y x V +−≤≤≤+=，计算第二类曲面积
分：⎰⎰S dxdy z 2，其中S 为V 的表面，取外侧
5． 设1lim >=∞→a a n n ，试证：级数∑∞
=11n a n n 收敛
6． 设)(t h 是)(t f 在],[b a 上的一个原函数，且满足)(),()(b t a t h t f ≤≤≤，
试证：)(,)()(b t a e a h t f a t ≤≤≤−
7． 设1
1)(+=nx x f n ，证明：函数序列{})(x f n 在开区间)1,0(内不是一致收敛的
8． 设)(x f 在),0[+∞上连续，且有极限a x f x =+∞
→)(lim ，证明：)(x f 在),0[+∞上一致连续
9． 设{}n x 是有界而不收敛的数列，证明：{}n x 有二收敛子列，它们
的极限值不相同
10． 设函数)(x f 在区间),0[+∞上有二阶导数，且
)2,1,0(,)(sup 00=+∞<=<+∞<<n x f M n x n ，证明：20214M M M ≤。