基于排队论的决策系统研究【摘要】在排队系统中，顾客总是希望尽快接受服务，为减少顾客逗留时间（降低逗留费用），需要提高服务水平，服务水平是服务率μ和并行服务台数c 的函数，因此优化的目标是使两者的费用总和最小。

本文运用了排队系统“合适的”服务水平的决策模型：费用模型，渴望水平模型以及排队系统的经济分析等内容对上述问题进行了研究和分析，并用实例证明分析，以至于在服务水平和等待的各个冲突因素之间寻求某种平衡。

关键词：服务水平决策模型费用模型渴望水平模型一、前言1.1研究排队系统的必要性日常生活中我们常常需要等待服务，例如在参观就餐是等待服务，在超市付款台前“排队等候”，在邮局“排队”等待服务等。

但是排队现象也不仅仅是人类独有的，比如工件的等待机器加工，飞机在机场上空盘旋等待批准着陆，汽车等待交通信号灯等，它们也存在着排队现象。

排队现象花费极大的成本，等待现象是不可能完全消除的，我们的目标是把它不利影响减小到“可以忍受的”程度。

排队论主要是运用像：平均队列长度、平均等待时间，以及设施平均利用率这样的性能度量指标，来定量研究排队现象。

1.2 排队模型的要素一个排队系统中的主要参与之是顾客和服务台，顾客从某个输入源产生，到达一个服务设施，他们可以立即得到服务；加入服务设施繁忙，也可能在队列中等待。

当一个设施完成一次服务，如果有顾客等待的话，则自动地“拉出”一个等待顾客；加入队列为空，设施就变成空闲，直到新的顾客到达。

从分析队列的角度，我们用连续两个顾客之间的到达时间间隔来表示顾客的到达，用对每个顾客的服务时间来描述服务。

一般地，到达时间和服务时间可以是随机的，如邮局的服务系统；也可以是确定的，如求职面试申请者的到达。

队列长度对于队列的分析有作用，它可以是有限长的，如两个相邻机器之间的缓冲区；也可以是无限的，如邮寄订单处理。

排队规则表示从队列里选择顾客的顺序，是排队模型分析的一个重要因素。

最常见的排队规则是先到先服务（first come，first served，FCFS）。

其他的排队规则还有后到先服务（last come，first served，LCFS）和随机顺序服务（service in random order，SIRO）。

也可以按照某种优先权(priority)顺序从队列里挑选顾客，例如车间里把紧急工件放在普通工件前面进行处理。

在队列分析中，顾客的排队行为也起着重要作用。

“人类”顾客可能从一个队列跳到另一个队列，以期望缩短排队时间。

顾客也可能由于预计的排队时间过长而暂时不加入队列，或者可能会从一个队列中等待过久而退出，因为已经等待了太长的时间。

服务设施的设计可以包括并行服务，如邮局或银行服务，服务人员也可以安排成串行的，或者可以被连成网络。

产生顾客的输入源可以是有限的，也可以是无限的。

有限输入源限制等候服务的顾客，而无限输入源则始终是充分多的。

二、问题的提出与分析2.1 问题的提出一个排队系统中一般涉及到两类成本：服务机构的服务成本和顾客的等待成本。

服务机构的服务成本主要是建立服务机构、雇佣服务人员所需要支出的费用。

顾客等待成本是指顾客排队造成的损失，对赢利的服务系统而言，是指顾客因排队太长而离去，失去业务而造成的损失，对非赢利的服务机构而言是指顾客在队列中等待，浪费了时间，造成了社会损失。

在通常情况下，这两部分成本都与系统的服务水平有关，随着服务台数量的增加，服务成本增加，但顾客等待时间下降，等待成本减少。

因此，对于排队系统，需要解决如何确定一个服务水平使系统中上述两部分成本之和最小的优化问题。

图1反映了总成本、等待成本和服务成本三者之间的关系。

图 12.2 问题分析最优化问题的困难在于如何用单位时间的费用来衡量排队成本，以便能够和服务成本进行比较。

排队系统各种成本在稳态情形下，可以按单位时间来考虑。

一般情况下，单位时间的服务成本可以确切计算或估计，但顾客的等待成本就有不用的情况，如机器故障维修问题（顾客是等待维修的机器设备）等封闭性服务系统中的等待费用可以找到一定的数量关系，而对于开放性服务行业中顾客由于影响排队损失的因素很多，很难把顾客排队等待时间和成本费用以一种固定的关系联系起来，这样使得单位时间的等待成本难以确切计算，因此，往往需要采用统计等方法来加以估计。

（1）[M/M/1]模型中最优服务水平（μ∗）的确定对于[M/M/1]模型，提升服务员素质是改进服务质量的关键，这也意味着需要人力资源的投资（如培训等专项训练），因此，服务水平的提升也会使得服务成本的增加。

假设每提升一个单位的μ所需的成本为Cμ，一个顾客在排队系统中逗留一个单位时间所付出的等待成本为C w，L s为在系统中顾客平均数，T c为单位时间的总成本。

则有T c=C w×L s+μ×Cμ而L s=λμ−λ可见，T c是关于μ的函数，可求得使T c最小的μ∗为μ∗=λ+√λ×C wCμ据此计算得到的μ∗便是服务机构的最佳服务水平。

（2）、[M/M/C]模型中最优服务台数C∗的确定假设C w为一个顾客在排队系统中逗留一个单位时间所付出的成本；L s为在系统中的顾客平均数，C s为每个服务台单位时间的服务成本，C为服务台的数目，T c为单位时间的总成本，则有T c=C w×L s+C×C s如果将服务台数C看成是一个变量，则从L s的计算公式可知，L s是关于C的一个函数。

因此，单位时间成本T c也是关于服务台数C的一个函数，通过对T c求最小，可得到使单位时间成本最小的服务台数C∗的值，这便是[M/M/C]模型中的最优服务台数。

<1；首先，根据系统稳态要求，C必须满足λC×μ其次由于C不是连续变量，因此对T c求最小值不能使用微分方法。

假设C∗是最优服务台数，因此就有T c（C∗）≤T c（C∗−1）T c（C∗）≤T c（C∗+1）进一步的分析整理后得到≤L s(C∗−1)− L s(C∗)L s(C∗)−L s(C∗+1)≤C sC w再通过计算，可得到满足上述条件的最优服务台数C∗。

三、模型分析与案例说明基于排队系统的经济分析，可确定[M/M/1]模型中最优服务水平（μ∗）以及[M/M/C]模型中最优服务台数C∗，但提高服务水平会减少系统的等待时间的情况仍然存在，所以我们所要做的是在尽可能优的服务水平和服务台数的前提下，得出服务水平和等待时间的各个冲突因素之间的某种平衡。

首先引入费用模型概念和渴望水平模型概念。

3.1 费用模型费用模型试图平衡两种冲突的费用：（1）、提供服务的费用；（2）、在提供服务中延误时间（顾客等待时间）的费用。

这两种费用是相互冲突的，因为一个费用的增加，必然引起另一个费用的减少，如图1所示。

令x（=μ或c）表示服务水平，则费用模型可表示为ETC(x) =EOC(x) +EWC(x)其中ETC=单位时间的期望总费用EOC=单位时间运行设施的期望费用EWC=单位时间等待的期望费用EOC和EWC的最简单形式是下面的线性函数：EOC(x) =C1xEWC(x) =C2L s其中C1=没单位时间每单位x的边际成本C2=每一位(等待)顾客没单位时间的等待费用3.2渴望水平模型费用模型的适用性依赖于我们能否对费用参数做出很好的估计，一般情况下，这些参数是很难估计的，特别是与顾客等待时间有关的参数。

我们希望通过直接用排队系统性能度量指标的渴望水平模型来减轻这个困难。

这一模型思路是通过对冲突的性能度量指标设定一些合理的上限，来求出服务水平可以接受的范围，这些上限就是决策者想要达到的渴望水平。

在多服务台模型下，我们要确定某种“可以接受的”服务台数C∗，考虑下面两个（冲突的）度量指标：（1）、系统中的平均时间W s；（2）、服务台的空闲百分率X。

空闲百分率的计算如下：X=c−c̅c ×100=c−（L s−L q）c×100=(1−λeffcμ)×100[1]这个问题简化为求服务台数C∗，使得W s≤α，X≤β其中α和β为决策者制定的渴望水平，我们可以规定α=3分钟，β=10% 为了求解这个问题，可以画出W s和X作为c的函数的图像，如图2所示，在图像中找到а和β，我们可马上确定C∗的可接受范围，假如这两个条件不能同时满足，则在得出可行性范围之前，必须对其中一个范围或者两个范围都进行放松。

图2 用渴望水平模型进行排队决策3.3 案例说明基于上述两个模型，用下列案例来说明排队决策模型：在一家有多员工的工具库，交换工具的请求按照泊松分布发生，每小时平均有17.5个请求。

每个员工每小时平均能办理10个请求。

工具库雇用一名新员工的工资是每小时$12，每小时每台等待机床的生产损失成本约为$50.求该工具库最优员工数。

1、这个情形对应于（M/M/c）模型，其中需要求出c的最优值，因此，在本节开始给出的一般费用模型中，我们让x=c，得出下面的费用模型：ETC(c) = C1c+C2L s（c）=12c+50L s（c）L s（c）是该工具库（并列）员工数的函数。

我们用每小时λ=17.5个请求和每小时μ=10 个请求的（M/M/c）：（即对本例中的c≥2）时，该模（GD/∞/∞）模型。

在这种情况下，仅当c>λμ型达到平稳状态。

下表给出了求最优c值的计算结果，L s（c）的值表明，最优员工数应该为4。

2、假设我们需要确定员工人数，使得得到一个工具的期望等待时间不超过5分钟，同时，还要求空闲百分率低于20%。

在计算前我们可知，在得到工具前等待时间为5分钟的渴望上限是（即W s≤5分钟）不合理的。

因为根据问题的数据，平均服务时间本身就有6分钟。

下表给出了作为c的函数的W s和X值。

3、分析根据这些结果，我们应该减少服务时间，或者注意到该问题的背景中，工具的请求率高得不合理（λ=每小时17.5个请求），这很可能就是我们要解决的问题，例如我们可能需要分析一下工具替换率这么高的原因，是否工具设计本省有缺陷，或是因为机床操作工人的操作不当等干扰原因？四、总结在日常生活中排队等待现象是不可避免的，我们的目标是把排队等待的不利影响减小到“可以忍受的”程度。

一个排队系统中一般涉及到两类成本：服务机构的服务成本和顾客的等待成本。

在通常情况下，这两部分成本都与系统的服务水平有关，随着服务台数量的增加，服务成本增加，但顾客等待时间下降，等待成本减少。

在文章中，引用费用模型和渴望水平模型在服务水平和等待的各个冲突因素之间寻求某种平衡，并用案例证明了思想。

在案例中，通过套用模型的计算我们可得出合理的服务台数，并能通过计算值和理论值的对比分析发现现实中存在的一些问题。

五、参考文献[1]Hamdy A. Taha. [美] 薛毅，刘德刚，朱建明，侯思祥[译].运筹学导论初级篇人民邮电出版社[2]杜红. 应用运筹学. 浙江大学出版社[3]刘满凤，陶长琪，柳键.运筹学教程．清华大学出版社。