第十二章 无穷级数单元测试题答案一、判断题1、对；2、对；3、错；4、对；5、对；6、对；7、对；8、错；9、错；10、错 二、选择题1、A2、A3、D4、C5、D6、C7、C8、B 三、填空题1、2ln2、收敛 3、5 4、π33--，ππ1248+-，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±±=--±±==,...3,1,21,...4,2,0,21)(k k k S ππ 四、计算题1、判断下列级数的收敛性 （1）∑∞=--1131arcsin)1(n n n解：这是一个交错级数，1arcsin31arcsin13lim13n n u n n n→∞==，所以n u 发散。

又由莱布尼茨判别法得 111arcsinarcsin 33(1)n n u u n n +=>=+ 并且1lim lim arcsin 03n n n u n→∞→∞==，满足交错级数收敛条件， 故该交错级数条件收敛。

（2）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+11n nn n解：lim lim()[lim()]1011n nn n n n n n u n n→∞→∞→∞===≠++ 不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。

(3))0,(,31211>++++++b a ba b a b a 解：另设级数1()n v n a b =+ 1111111(1)()23n n n v n a b a b n∞∞====+++++++∑∑上式为1a b+与一个调和级数相乘，故发散 又11()n n u v na b n a b =>=++， 由比较审敛法可知，原级数发散。

(4) ++++++nn 134232 解：lim 10n n n u →∞==≠ 不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数（1） ++++753753x x x x解：设357()357x x x f x x =++++（补充条件1x <，或求出R ）逐项求导，得24621()11f x x x x x '=++++=- （这是公比21q x =<的几何级数）积分，得201()()1xxf x f x dx dx x '==-⎰⎰=0111()211x dx x x+-+⎰=11ln21xx +- 即 ++++753753x x x x =11ln 21xx+-（2）+⋅+⋅+⋅433221432x x x 解：设234()122334x x x f x =+++⋅⋅⋅（补充条件1x <，或求出R ）逐项求导，得23()123n x x x x f x n '=+++++ 再逐项求导，得21()1n f x x x x -''=++++积分一次，得001()()ln(1)1xxf x f x dx dx x x'''===---⎰⎰ 再积分一次，得00()()ln(1)(1)xxf x f x dx x d x '==---⎰⎰= 0(1)ln(1)(1)ln(1)xx x x d x -----⎰ = 0(1)ln(1)(1)xx x d x ----⎰ = (1)ln(1)x x x --+即+⋅+⋅+⋅433221432x x x =(1)ln(1)x x x --+ （3） +++13951392x x x 解：设5913()5913x x x f x =+++（补充条件1x <，或求出R ）逐项求导，得448124()1x f x x x x x '=+++=- （这是公比41q x =<的几何级数）积分，得401()()(1)1xxf x f x dx dx x '==---⎰⎰ = 220111()211x x dx x x -++-+⎰= 111ln arctan 412x x x x ++--即59135913x x x +++=111lnarctan 412x x x x ++-- 3、将下列函数展开为x 的幂级数，并指出其收敛半径 （1）⎰+xt dt41 解：411t +是级数481441(1)n n t t t ---+-+-+之和 所以481444001(1(1))1x x n n dt t t t dt t--=-+-+-++⎰⎰ =1591343111(1)591343n n x x x x x n ----+-+++-收敛半径141limlim 143n n n n a n R a n →∞→∞++===- （2）)1ln(2x x ++ 解：[ln(x'=+=所以1220ln((1)xxx x dx -==+⎰⎰=2222011111(1)(1)(1)122222[1()()]22!!x n n x x x dx n --------+-++++⎰=357212131352(2)!(1)()232452467(!)(21)2nn x x x n x x n n +⋅⋅⋅-+-++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+收敛半径为1R =（3）x arcsin 解：1220arcsin (1)xxx x dx -==-⎰⎰=242011111(1)(1)(1)122222[1()]22!!x n n x x x dx n --------+++++-+⎰=357212131352(2)!()232452467(!)(21)2n x x x n x x n n +⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+收敛半径为1R = （arcsin ,1y x x =≤） （4） x e x -3 解：因为 21112!!x n e x x x n =+++++， 所以2111()()()2!!x n e x x x n -=+-+-++-+=2111()2!!n x x x n -+++-+因此3()x f x x e -==3211(1())2!!n x x x x n -+++-+=345311()2!!n x x x x n +-+++-+=3(1)!n n n x n ∞+=-∑ (,)x ∈-∞+∞4．将函数)0()(ππ≤≤-=x x x f 分别展开成正弦级数和余弦级数. 解：（1）先求正弦级数，，将()f x 奇周期延拓 0n a =，只有n b ， 02()sin n b f x nxdx ππ=⎰=2()sin x nxdx πππ-⎰=22sin sin nxdx x nxdx πππππ-⎰⎰=0022cos (cos )nx xd nx n n πππ-+⎰ =0022(cos 1)[cos cos ]nx x nx nxdx n n πππ--+-⎰=222[(1)1](1)n n n n n---+-=所以()f x 展开成正弦级数为 111()sin 2sin n n n f x b nx nx n∞∞====∑∑在端点0x =时，级数之和不能代表原函数，x π=时，级数之和能够代表原函数，所以(0,]x π∈（2）再求余弦函数，将()f x 偶周期延拓 0n b =，只有0a ，n a2000221()[]2a x dx x x ππππππ=-=-⎰=π2()cos n a f x nxdx ππ=⎰=02()cos x nxdx πππ-⎰=22cos cos nxdx x nxdx πππππ-⎰⎰=00221sin (sin )nx xd nx n n πππ-⎰=22(cos 1)n n ππ--=22[1(1)]n n π--=20,24,21(21)n mn m m π=⎧⎪⎨=-⎪-⎩所以()f x 展开成余弦级数为01()cos 2n n a f x a nx ∞==+=∑2141cos(21)2(21)n m x m ππ∞=+--∑，[0,]x π∈。