例1 设
x1

2, x2

2
1 x1
,
, xn1

2
1 xn
,
.
求证
lim
n
xn
存在，并求其值.
分析 给定数列的奇数项子列单调增加有上界，偶数项子列单 调减少有下界，因此两子列均收敛 . 对于这种数列仍可应用 单调有界准则.
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11
1
1
x 12 ,x 22x 1, ,x n 12x n, .
解 首先易见 2xn3, 又计算可得
1 x n 2 x nx n 1 x n 1(x n 1 x n 1 ),n 2 ,3 , ,
x3x10, x4x20,
因此 xn2 xn与 xn1 xn1异号，子列{ x2n }单调 减少有下界 2，子列{ x2n1}单调增加有上界 3，
f2(x)ln (xx21)是奇函数，
f2 ( x ) ln ( x x 2 1 )
(x2 1) x2 ln
x x2 1
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2
f2 ( x ) ln ( x x 2 1 ) ln (x x 2 1 x )2 x 1 2 ln 1 ln (x x 2 1 ) f 2 (x ) .
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7
即
f1[g1(x)] 当xb，g1(x)a时，
f[g(x)]f1[g2(x)] f2[g1(x)]
当xb，g2(x)a时， 当xb，g1(x)a时，
f2[g2(x)] 当xb，g2(x)a时.
例 3 设函数 D( x) 01，，x0为为有无理理数数，则 D[D( x)] __1___.
所以两子列均收敛，然后由递推式
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12
x2n12x1 2n21x2 2n x2 1n1,
两端取极限得
由此得到
ln i m x 2n 1ln i m x 2n12,
lni m xn 1 2.
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因此 x (exex)ln (xx21)是奇函数。
于是
I 1 x [ x 5 ( e x e x ) ln ( x x 2 1 ) ] d x . 1
1x6dx021x6dx2.
1
0
7
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3
例 2 设F( x) f ( x)，则下列结论正确的是( A ) (A)若 f ( x)为奇函数，则F ( x)为偶函数。 (B)若 f ( x)为偶函数，则F ( x)为奇函数。 (C)若 f ( x)为周期函数，则F ( x)为周期函数。 (D)若 f ( x)为单调函数，则F ( x)为单调函数。 解 (B)不成立，反例 f(x)x2,F(x)x31
例 1 已知
f
(
x)


f1( x) f2 ( x)
求 f [g( x)]
xa xa
和
g(
x)


g1 ( g2 (
x) x)
xb ,
xb
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6
例 1 已知
f
(
x)


f1( x) f2 ( x)
求 f [g( x)]
xa xa
1.1 函数
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1
一、有关函数的四种性质
(奇偶性、单调性、周期性、有界性)
例1 求 I 1 x [ x 5 ( e x e x ) ln ( x x 2 1 ) ] d x . 1
解 f1(x)exex是奇函数， f 1 ( x ) e x e x f 1 ( x ) ,
x
F (x)F (0)0 f(t)dt
x
F(0)0 f(u)d(u)
x
F(0)0 f(u)du F(x).
所以，F ( x)为偶函数。
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5
二、有关复合函数 1. 已知 f ( x)， g( x)求 f [g( x)] 2. 已知 f [g( x)]和 g( x)，求 f ( x)
3 (C)不成立，反例 f ( x ) c o s x 1 , F ( x ) s i n x x
(D)不成立，反例 f ( x ) 2 x ,F ( x ) x 2 在 ( , ) 内
(A)成立。 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页
4
x
证明 F (x)F (0)0f(t)dt,f为奇函数，
f(x)f(1)
xlnt dt
1
ln 2 t
x 1 ln 2 x .
1t
2
2
1
所以
f (x) 1ln2 x. 2
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9
1.2 极限
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10
一、数列与函数极限的存在准则
(1)夹逼准则； (2)单调有界收敛准则
和
g(
x)


g1 ( g2 (
x) x)
xb ,
xb
解 当 x b ， g 1 (x ) a 时 ， f[g(x)]f1[g1(x)]，
当 x b ， g 2 (x ) a 时 ， f[g(x)]f1[g2(x)]， 当 x b ， g 1 (x ) a 时 ， f[g(x)]f2[g1(x)]， 当 x b ， g 2 (x ) a 时 ， f[g(x)]f2[g2(m n
xn

a,
则lim 1 n n
分析 函数D(x)的函数值是有理数1或0，所以D[D(x)]1.
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8
例 2 已知 f (ex ) xe x ，且 f (1) 0，求 f ( x).
解 令 e x t， 则 xlnt. 因此
于是
f(ex)f(t)lnt. t