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数学建模例题讲解


1 (a) 0 l (b a) k 0 a
2 2
k 0 (a b) 4 k 2 0l 2 2
3 0 l 2 (a b) 2
不同区域(全局最优一定局部 最优),k=1情况 分三种情况
郊区方案1
(1).0 c 3( z a)

最近两年成绩对比
全国成绩(本科一等奖)
赛区 北京 上海 江苏 山东 四川 广东 河南 2011 2012 17 14 7 9 18 11 18 11 18 17 14 12 12 14
与生源情况没有太多的关联!
江苏赛区成绩(本科)
2011年获全国一等奖学校(11所):
3队 东南大学 江南大学 2队 南京邮电大学 南京理工大学 南京信息工 程大学 1队 南京大学 河海大学 南京师范大学 江苏 大学 解放军理工大学 南师大泰州学院
(3)
3.l (a b)
2
4 1( y * 0) 2 k
2
3 0 l (a b)
三种可能方案(取决于最优点位置)
4 (): 1 0 l (b a) 2 1( y* a) k

(2)
(b a)
4 4 4 3.l (a b) 1( y* 0) 1 l ( a b ) 1 k2 2 2 k k
数学建模竞赛:一项以实际问题为背景,以
解决实际问题为目的的大规模基础性创新型
竞赛。它是数学思维、数学逻辑及数学知识 综合应用的竞赛,是数学知识学习的竞赛。

竞赛过程中需要学习许多东西(知识、方法、实现 手段等)。
竞赛倡导有独特的见解和构思、需要有大胆
的猜测,科学的论证,合理 的应用。
竞赛没有固定的模式、没有固定的方法、没
郊区方案3
(3).c

2
3( z 5)
2 2 2
z 0 c a z 0 m l c b z
0 m 2b z 0 2a z d dz 2 c 2 a z 2 2 l c 2 b z 2
B(l , b)
0
0
P( x, y) 2 k 0
一般数学模型(函数极值知识)
( x, y , z ) 0 x 2 ( y a ) 2 0 ( c x ) 2 ( z y ) 2
2 y ( 0 m) (b c) 2 (b z ) 2
解方法,数学上已经可以处理。

最优解的必要条件:
0 x l 0 y a
降维处理(删繁就简 )
B(l , b)

A(0, a )
P( x, y) A '(0, 2 y a)
Q ( x, 0)
( y ) 0 l (b 2 y a) k 0 y
(最提倡的方法)
删繁就简 降维处理
简化问题的过程是创造性最直接的体现过程;
包括猜测、大胆设想、直接经验积累与应用 、 间接经验的在综合应用等若干手段。

对于一些特殊的问题通常也尽可能地转化为 我们熟知的问题,便于寻找规律
如果没有更好的办法,数值方法也是比较有
效的手段。当然这类方法的创造性往往不够 。 多做一些离散优化问题的建模训练。
B(l , b) B(c, z )
A(0, a)
P( x, y)

一般解法
( x, y ) 0 (| AP | | BP |) k 0 y
0 ( x (a y ) (l x) (b y ) ) k 0 y
2 2 2 2
二元函数求最小值问题,高等数学中有求
三 数学技能的综合训练,数学知识自 主学习 建模过程处处涉及技能训练
建模的一般步骤: 资料查阅、咨询及数据分析等过程; 通过模型假设简化设计问题; 通过模型建立与求解给出数学结果; 通过检验与应用说明模型的有效性与作用。
数模问题来源实际,具有专业特点,具有一
定难度,涉及因素多,需要综合各种因素考 虑问题。 离不开文献查找、阅读理解; 从大量的数据中查找有用信息并正确处理。 成员之间的相互讨论、知识咨询必不可少, 查阅文献能力,阅读能力,数据分析能力,团 结协作能力,沟通能力
讲座内容
数学建模及数学建模竞赛 数学建模竞赛发展过程 数学技能综合训练,体验创新过程 如何撰写数模竞赛论文
一 数学建模及数学建模竞赛

数学模型:一般指用数学的语言和工具,对 所关心的实际问题的部分信息进行数学描述。 解、结果验证与结果应用的的整个过程。
数学建模:通常指问题的数学描述、模型求
建模竞赛对个人知识要求
初等数学知识
微积分知识
代数知识 (差)微分方程 知识 最优化知识 随机数学知识(数理统计) 数值分析方法 计算机仿真(初步的程序编译) 常用数学软件知识(matlab,lingo等)
一些建模例子
生产计划与管理(1996,优化) 产品参数设计(1997,随机,优化) DNA分类 (2000,代数,数理统计) 三维图象重建(2002,图像处理,优化) 最优的渡河策略(2003,初等数学,优化) 高速公路收费广场优化设置(2003国际赛,优化) 饮酒驾车问题 (2004,常微分方程,优化) 雪道设计 (2011国际赛,微积分,优化)
1 ( y ) (a) 0 l 2 ( z a) 2 k 0 a ( 0 m) (l c) 2 (b z ) 2
郊区方案2
(2). 3( z a) c 3( z a)
0 (a z 3c) 2 2 z ( 0 m) (l c) (b z ) 2 d 0 0 m 2(b z ) 2 2 dz 2 2 (l c) (b z )

二大学生数学建模竞赛发展
起源于1985年的美国大学生数学建模竞赛
,并逐步向其他国家开放; 中国有2,3所学校的几个队1990年首次参 加美赛;1992年已有十几所学校参赛。 1992年由教育部发起全国大学生数学建模 竞赛;1999年分为本专科组竞赛; 2000年首次发起交叉学科数模竞赛(美赛 );

在线租赁服务 (2005,数据处理 优化 ) 彩票问题(2004,概率统计 优化) 运输与调度(2003,优化) 公铁查询系统(2006,数据处理 优化) 卫星测控 (2010,初等数学 优化) 重金属污染(2011,偏微分方程 优化) 交巡警平台优化(2011,优化 ) 社会网络(2012国际赛,随机 优化) 太阳能小屋设计(2012,组合优化)
竞赛问题分为: 连续性问题与离散型问题 确定性问题与随机问题 数值分析法与优化 每年两个问题,从中选择一题,题型为上述 分类的组合。优化问题偏重离散优化,大体 上分为随机离散优化问题,确定性离散优化 问题。连续性优化问题近几年已经不常见, 因为这类问题的处理软件较多,许多学生直 接套用。
4 (): 1 0 l (b a) 2 1( y* a) k
1 (a) 0 l (b a) k 0 a
2 2
(2)
4 4 (b a) 2 1 l (a b) 2 1 k k
2
k 0 (a b) 4 k 0l 2 2
建模过程中经常碰到不熟悉的知识或现
有的数学知识不能解决的问题,需要学 新知识。 建模的方法应有创造性,模型简单,有 一定的新意,能够得到满意的结果。 写出好论文 自主学习能力,创新能力,语言组织能 力 文档处理能力
三 建模案例 :(2010C题)
某油田计划在铁路线一侧建造两家
炼油厂,同时在铁路线上增建一个 车站,用来运送成品油。 针对方案涉及城、郊两个区域,城区 需要考虑一定的拆迁补偿(见下图), 设计最优方案。

2
0 ( z y) ( 0 +m)( z b) z ( x c) 2 ( y z ) 2 (l c)2 ( z b)2
同一个区域,不用共用管线
B(l , b) B(c, z ) A(0, a )
A '(0, a)
同一个区域,利用共用管线
2 2
2 0 (2 y a b) d k 0 dy l 2 (b 2 y a)2
ab y* 2 2
kl 4 k2
最优解成立条件
也即
0 y* a
4 4 (b a) 2 1 l (a b) 2 1 k k
2011年,媒体竞赛(以多媒体方式记录数模竞 赛过程); 数学建模竞赛不是数学竞赛,参赛队同学以 工科为主,且工科同学成绩明显好于理科。 数学建模 竞赛也不是名校学生的竞赛。所有 的同学在同一个舞台竞技,普通学校的成绩 一点也不比名校差。 全国赛,每年九月的第二周周末进行,为期3 天。今年为9月13日至9月16日。
有固定的结果。仅仅借用别人的成果不会取 得好的竞赛成绩,必须在他人成果的基础上 根据问题的本身特点有一定的创新。
数学建模竞赛基本情况:
教育部高教司主办的几项大赛事之一。
2012年全国2万多队,6万多名大学生参赛。 江苏赛区88所学校,1143队参赛,是全国活
动开展最好的赛区之一。
对个人能力的培养: 竞赛是数学学习的补充与深化,有助于: 了解数学(从抽象到具体,从枯燥到有趣) 认识数学(解决实际问题工具) 促进数学学习方法的转变: 从机械学习向主动学习转变 从被动接受向探索学习转变 从独立学习向团队学习转变 从理解性学习向创新性学习转变
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