绝密★启封并使用完毕前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则AB=（A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3}（C）{x|–1x1} （D）{x|1x3}（2）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（A）(–∞，1)（B）(–∞，–1)（C）(1，+∞)（D）(–1，+∞)（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）2（B）3 2（C ）53（D ）85（4）若x ，y 满足，则x + 2y 的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9（5）已知函数1(x)33xxf ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则(x)f（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数（6）设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“m n 0⋅＜”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A ）32 （B ）23 （C ）22 （D ）2（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若双曲线221y x m-=的离心率为3，则实数m =_______________. （10）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则22a b =__________. （11）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，点P 的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为 .（12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称。

若1sin 3α=，cos()αβ-= .（13）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数.若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________.（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标学科&网分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3。

①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________。

②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________。

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分） 在△ABC 中，A =60°，c =37a . （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若a =7,求△ABC 的面积. （16）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ,P A =PD =6,AB=4.(I)求证：M 为PB 的中点； (II)求二面角B-PD-A 的大小；(III)求直线MC 与平面BDP 所成角的正炫值。

（17）（本小题13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组个50名，一组服药，另一组不服药。

一段时间后，记录了两组患者的生理指标xy 和的学科.网数据，并制成下图，其中“·”表示服药者，“+”表示为服药者.（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A,B,C,D,四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）；（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.（只需写出结论）（18）（本小题14分）已知抛物线C ：y 2=2px 过点P (1,1).过点(0,12)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ,B ，其中O 为原点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点. （19）（本小题13分） 已知函数f (x )=e x cos x −x .（Ⅰ）求曲线y = f (x )在点(0,f (0))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f (x )在区间[0,2π]上的最大值和最小值. （20）（本小题13分）设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n =max{b 1–a 1n ,b 2–a 2n ,…,b n –a n n }(n =1,2,3,…)，其中max{x 1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若a n =n ，b n =2n –1，求c 1,c 2,c 3的值，并证明{c n }是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得c m ,c m +1,c m +2,…是等差数列．2017年北京高考数学（理科）参考答案与解析1．A【解析】集合{}|21=-<<A x x 与集合{}|13=<->或B x x x 的公共部分为{}|21-<<-x x ，故选A ． 2．B【解析】(1i)(i)(1)(1)i -+=++-a a a ，对应的点在第二象限，∴1010+<⎧⎨->⎩a a 解得：1<-a故选B ．3．C【解析】当0=k 时，3<k 成立，进入循环，此时1=k ，2=s ；当1=k 时，3<k 成立，继续循环，此时2=k ，32=s ； 当2=k 时，3<k 成立，继续循环，此时3=k ，53=s ；当3=k 时，3<k 不成立，循环结束，输出s ． 故选C ．4．D【解析】设2=+z x y ，则122=-+zy x ，由下图可行域分析可知，在()33，处取得最大值，代入可得max 9=z ，故选D ．5．A【解析】奇偶性：()f x 的定义域是R ，关于原点对称，由()()113333--⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭xxxx f x f x 可得()f x 为奇函数． 单调性：函数3=xy 是R 上的增函数，函数13⎛⎫= ⎪⎝⎭xy 是R 上的减函数，根据单调性的运算，增函数减去减函数所得新函数是增函数，即()1=33⎛⎫- ⎪⎝⎭xxf x 是R 上的增函数．综上选A6．A【解析】由于m ，n 是非零向量，“存在负数λ，使得λ=m n ．”根据向量共线基本定理可知m 与n 共线，由于0λ<，所以m 与n 方向相反，从而有0⋅<m n ，所以是充分条件。

反之，若0⋅<m n ，m 与n 方向相反或夹角为钝角时，m 与n 可能不共线，所以不是必要条件。

综上所述，可知λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分不必要条件，所以选A ．7．B【解析】如下图所示，在四棱锥-P ABCD 中，最长的棱为PA ，所以2222=2(22)23+=+=PA PC AC ，故选B ．8．D【解析】由于36180lglg lg lg3lg103610.488093.28=--⨯-=MM N N=≈， 所以93.2810MN≈，故选D ． 9．2【解析】∵双曲线的离心率为3∴3=ca∴223=c a∵1=a ，=b m ，222+=a b c ∴222223312==-=-=-=b m c a a a10．1【解析】∵{}n a 是等差数列，11=-a ，48=a ，∴公差3=d ∴212=+=a a d∵{}n b 为等比数列，11=-b ，48=b ∴公比2=-q ∴212==b b q 故221=a b 11．1【解析】把圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=改写为直角坐标方程222440+--+=x y x y ，化简为22(1)(2)1x y -+-=，它是以()1,2为圆心，1为半径的圆。

画出图形，连结圆心O 与点P ，交圆于点A ，此时AP 取最小值，A 点坐标为()1,1，1=AP ．O (1,2)P (1,0)A (1,1)21yx12．79-【解析】∵因为角α和角β的终边关于y 轴对称∴1sin sin 3αβ==，cos cos αβ=-∴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+2227cos sin 2sin 19ααα=-+=-=-13．1-，2-，3-【解析】由题意知a ，b ，c 均小于0，所以找到任意一组负整数，满足题意即可． 14．① 1Q ② 2p【解析】①设线段i i A B 的中点为()，i i i C x y ，则2=i i Q y ，其中123=，，i ． 因此只需比较1C ，2C ，3C 三个点纵坐标的大小即可． ②由题意，=ii iy p x ，123=，，i ，故只需比较三条直线1OC ，2OC ，3OC 的斜率即可． 15．【解析】（1）37=c a由正弦定理得：33333sin sin 77214==⨯=C A （2）37=<c a a60∴∠<∠=︒C A ∴∠C 为锐角由33sin 14=C 得：13cos 14=Csin sin[π()]sin()B A C A C ∴=-+=+sin cos cos sin A C A C =+313133214214=⨯+⨯437=又337377==⨯=c a1sin 2ABC S ac B ∆∴=1437327=⨯⨯⨯63=16．【解析】（1）取AC 、BD 交点为N ，连结MN ．∵PD ∥面MAC PD ⊂面PBD面PBD ∩面MAC MN = ∴PD MN ∥在PBD △中，N 为BD 中点 ∴M 为PB 中点 （2）方法一：取AD 中点为O ，BC 中点为E ，连结OP ，OE ∵PA PD =，∴PO AD ⊥ 又面PAD ⊥面ABCD 面PAD ∩面ABCD AD = ∴PO ⊥面ABCD以OD 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标可知()200D ，，，()200A -，，，()240B -，，，()002P ，， 易知面PD 的法向量为()010m =，，且()202PD =-，，，()242PB =--，， 设面PBD 的法向量为()n x y z =，， 2202420x z x y z ⎧-=⎪⎨-+-=⎪⎩ 可知()112n =，，∴()222211cos 21112m n <>==⨯++， 由图可知二面角的平面角为锐角 ∴二面角B PD A --大小为60︒ 方法二：过点A 作AH PD ⊥，交PD 于点E ，连结BE ∵BA ⊥平面PAD ，∴PD BA ⊥， ∴PD ⊥平面BAH ，∴PD BH ⊥，∴AEB ∠即为二面角B PD A --的平面角AD PO AE PD ⋅=⋅，可求得433AE =4tan 343AEB ∠==∴60AEB ∠=︒ （3）方法一：点2122M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，()240C ，， ∴2322MC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，， 由（2）题面BDP 的一个法向量()112n =，， 设MC 与平面BDP 所成角为θ ∴22232126sin cos 91941122MC n θ+-=<>==++⋅++，（） 方法二：记AC BD F =，取AB 中点N ，连结MN ，FN ，MF 取FN 中点G ，连MG ，易证点G 是FN 中点，∴MG PO ∥ ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PO AD ⊥， ∴PO ⊥平面ABCD ∴MG ⊥平面ABCD 连结GC ，13GC =，1222MG PO ==∴362MC =∵6PD =，42BD =，22PB =，由余弦定理知3cos 3PDB ∠= ∴6sin 3PDB ∠=，∴1sin 422PDB S PD DB PDB =⋅⋅∠=△GNFPHMBCDA设点C 到平面PDB 的距离为h ，13P DBC PDB V S h -=⋅△又13P DBC C PDB BCD V V S PO --==⋅△，求得2h =记直线MC 与平面BDP 所成角为θ∴226sin 9362h MC θ===17．【解析】（1）50名服药者中指标y 的值小于60的人有15人，故随机抽取1人，此人指标y 的值小于60的概率为1535010= （2）ξ的可能取值为：0，1，2()2224106ξ===C P C ，()11222442163ξ⋅====C C P C ，()2224126ξ===C P C ξ 0 1 2P16 23 16121()0121636ξ=⨯+⨯+⨯=E（3）从图中服药者和未服药者指标y 数据的离散程度观察可知，服药者的方差大。