第二节 定积分的性质和基本定理用求积分和式的极限的方法来计算定积分不是很方便，在很情况下难以求出定积分的值。

因此，我们在定积分定义的基础上，讨论它的各种性质，揭示定积分与微分的内在联系，寻找定积分的有效§2.1一、定积分的基本性质性质 1b a1dx=∫b adx=b-a证 0lim →λ∑=n1i f(ξi ）Δx i ＝lim →λ∑=n1i １·Δx i ＝0lim →λ(b-a)=b-aba 1dx=∫badx=b-a性质2(线性运算法则)，设f(x),g(x)在［a,b ］上可积，对任何常数α、β，则αf(x)+βg(x)在［a,b ］ba ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫ba f(x)dx+β∫b ag(x)dx证：设F(x)=αf(x)+βg(x),lim →λ∑=n1i F(ξi ）Δx i ＝0lim →λ［αf(ξi )+βg(ξi ）］Δxi＝0lim →λ［α∑=n1i f(ξi ）Δx i ＋β∑=n1i g(ξi ）Δx i ］＝αb af(x)dx+β∫bag(x)dxαf(x)+βg(x)在［a,bba ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β∫b ag(x)dx特别当α=1,β=±1ba ［f(x)±g(x)］dx=∫b a f(x)dx ±∫b ag(x)dx当β=0ba αf(x)dx=α∫b af(x)dx性质 2性质3 对于任意三个实数a,b,c ，若f(x)在任意两点构成的区间上可b af(x)dx=∫c a f(x)dx+∫bcf(x)dx证a,b,c(i)当a<c<b ，按定义，定积分的值与区间分法无关，在划分区间［a,b ］时，可以让点C是一个固定的b af(x)dx= 0lim →λ∑],[b a f(ξi ）Δx i∑],[c a＝0lim →λ［∑],[c a f(ξi ）Δx i ＋∑],[b c f(ξi )Δxi＝0lim →λ∑],[c a f(ξi )Δx i ＋0lim →λ∑],[b c f(ξi ）Δxica f(x)dx+∫bcf(x)dx（ii)当c<b<a由(i)a cf(x)dx=∫bc f(x)dx+∫abf(x)dx-∫c a f(x)dx=∫b c f(x)dx-∫b af(x)dx, ∫b a f(x)dx=∫c a f(x)dx+∫b cf(x)dx 对于其它4种位置与(ii)性质3主要用于分段函数的计算及定积分说明。

性质4 若f(x)在［a,b ］上可积，f(x)≥0，且a<b,b af(x)dx ≥证 由f(ξi ）≥0,Δx i >0，有f(ξi ）Δx i>0∑=n1i f(ξi ）Δx i >0b af(x)dx=0lim →λ∑=n1i f(ξi ）Δx i ≥性质4性质5 若f(x),g(x)在［a,b ］上可积，f(x)≥g(x)，且a<bba f(x)dx ≥∫bag(x)dx证：由f(x)-g(x)≥0，由性质2，4b af(x)dx-∫ba g(x)dx ＝∫ba ［f(x)-g(x)］dx ≥性质5性质6 若f(x)在［a,b ］上连续f(x)≥0但f(x)baf(x)dx>0证 由f(x)=0，则存在x 0∈［a,b ］，不妨设x ０∈(a,b)，有f(x ０)>0，由f(x)在［a,b ］上连续，所以在点x ０处连续，即0x x lim →f(x)=f(x ０)>0，由连续保号性知，对0<2)x (f 0<f(x ０），存在δ１>0，当x ∈(x ０-δ１,x ０＋δ１）时，有f(x)>2)x (f 0x ∈［x ０－21δ，x ０＋21δ］⊂ (x ０－δ１，x ０＋δ１）时，f(x)> 2)x (fba f(x)dx=∫x ０－21δaf(x)dx+⎰δ+δ-2x 2x 1020f(x)dx+∫bx ０＋21δf(x)dx⎰δ+δ-2x 2x 1020f(x)dx ≥⎰δ+δ-2x 2x 10202)x (f 0 dx=2)x (f 0⎰δ+δ-2x 2x 1020dx=2)x (f 01δ>0 性质6推论 若f(x),g(x)在［a,b ］上连续，f(x)≥g(x)，且f(x)≠g(x)，a<bb af(x)dx>∫b ag(x)dx若将性质5－｜f(x)｜≤f(x)≤｜f(x)ba ｜f(x)｜dx ≤∫b a f(x)dx ≤∫ba ｜f(x)｜dx性质7 若f(x)在［a,bb af(x)｜dx ≤∫ba ｜f(x)｜dx性质8 若f(x)在［a,b ］上连续，m 、M 是f(x)区间［a,bm(b-a)b af(x)dx ≤M(b-a)证：由m ≤f(x)≤M,x ∈［a,b ］a<b由性质5m(b-a)=b amdx ≤∫b a f(x)dx ≤∫b amdx=M(b-a)性质9 (积分中值定理)若f(x)在闭区间［a,b ］上连续，a<b 则至少存一点ξ∈［a,bb af(x)dx=f(ξ)(b-a)证：由性质8m(b-a)b af(x)dx ≤M(b-a)不等式两边同除b-a ，由b-a>0m ≤ab dx )x (f ba-⎰≤M由f(x)在［a,b ］上连续，则［m,M ］为函数值域，故至少存在一点ξ∈［a,bab dx )x (f ba-⎰＝f(ξ)(2.2)则b af(x)dx=f(ξ)(b-a)积分中值定理的几何意义：设f(x)≥0b af(x)dxy=f(x),y=0,x=a,x=b 同成的曲边梯形面积，如图５-５表明，在区间［a,b ］上至少存在一点ξ，以ξ处的纵坐标f(ξ)为高，(b-a)为底的矩形面积，等于该曲边梯形的面积。

图５-５f(ξ)即(2.2)式左边所确定的值，称为函数f(x)在区间［a,b］上的平积分中值定理与微分中值定理同样重要，利用积分中值定理可以证明方程根的存在性，适合某种条件ξ的存在性及不等式，有时与微分中值定理综合运例 设函数f(x)在［0,1］上连续，(0，1)内可导，且3 132f(x)dx=f(0),证明在(0,1)内存在一点ξ，使f ′（ξ)=0证：由积分中值定理知，在［32，１］上存在一点c,３⎰132f(x)dx=３·f(c)（１－32）＝f(c)=f(0)故f(x)在区间［0,c ］上满足罗尔定理条件，因此至少存在一点ξ∈(0,c) ⊂ (0,1)使f ′(ξ)=0例 证明∞→n lim ⎰210x1x n+dx=0证0≤⎰210x1x n+dx＝n n n1ξ+ξ21 ０≤ξn ≤21０≤ξnn ≤（21）n ，由∞→n lim （21）n=0，由夹逼定理知∞→n lim ξnn ＝０，而0<n11ξ+有∞→n lim 21·ξnn ·n11ξ+∞→n lim ⎰210x1x n+dx=0§2.2积分学基本定理设f(x)在区间X 上连续，a ∈X 是一固定点，任给x ∈X ，有［a,x ］或［x,a ］⊂X ，所以f(t)在［a,x ］或［x,a ］上连续，则f(t)在［a,x ］或［x,a ］上可积，对每一个x ∈X 都有唯一的值x af(t)dtx af(t)dtX 上的一个函数，称为变上限函数，记作G(x)G(x)=x af(t)dt x ∈X二、微积分学基本定理定理 设f(x)在区间X 上连续，a ∈X是一固定点，G(x)=x af(t)dt x ∈X定义的函数G(x)在X 上可导，且G ′(x)=f(x)，也x af(t)dt 是被积函数f(x)在X证 任给x ∈X 当｜Δx ｜充分小时，有x+Δx ∈X，0x lim→∆x)x (G )x x (G ∆-∆+ 0x lim→∆xdt)t (f dt )t (f xaxx a∆-⎰⎰∆+x lim→∆xdt)t (f dt )t (f axxx a∆+⎰⎰∆+0x lim→∆x dt)t (f x x x∆⎰∆+0x lim →∆x x )(f ∆∆ξ0x lim →∆f(ξ) ξ介与x,x+Δx＝xlim →ξf(ξ） 由f(t)在x所以xlim →ξf(ξ)=f(x)，因此，G(x)在xG ′(x)=dxd ∫xaf(t)dt=f(x)本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似乎不相干的概念之间的推论 若函数f(x)在某区间X 上连续，则在此区间上f(x)的原函数存在，原函数的一般表达式可写成x af(t)dt+C其中C 是任意常数，a ∈X 为固定点，x ∈X这个定理告诉我们区间上的连续函数一定存在原若u(x),v(x)在区间X 上可导，当x ∈X 时，u(x),v(x)∈E 且f(x)在区间Edx d ⎰)x (u )x (v f(t)dt=f(u(x ′)u ′(x)-f(v(x))v ′(x)事实上，取a ∈E ，a为定点，利用导数的运算法则dx d ⎰)x (u )x (v f(t)dt=dxd［⎰a )x (v f(t)dt+⎰)x (u a f(t)dt］＝dxd［－⎰)x (v a f(t)dt+⎰)x (u af(t)dt＝f(u(x))u ′(x)-f(v(x)V ′(x)dx d ⎰)x (u af(t)dt=f(u(x))u ′(x)， dx d ⎰)x (v a f(t)dt=-f(v(x)v ′(x)，dxd∫ax f(t)dt=-f(x)例 3 dx d ⎰32x xcost ２dt 解 dxd ⎰32x x cosx ２dt=3x ２cos t ６－2xcosx ４例4 求0x lim→422x 0xdt t 1t sin 2+⎰解 0x lim→422x 0x dt t 1tsin 2+⎰（0＝0x lim →322x4x 2x 1x sin + ＝210x lim →32x x x ⋅·2x11+＝21三、牛顿—数情况下是行不通的，而微积分学基本定理却为定积分的计算方法开避了新途径，我们有下面的定定理二(牛顿—莱布尼兹公式)设函数f(x)在［a,b ］上连续且F(x)∫baf(x)dx=F(b)-F(a)证 由定理条件知，∫ x a f(t)dt 是f(x)在区间［a,b ］上的一个原函数，而F(x)也是f(x)在区间［a,b∫x a f(t)dt-F(x)≡C,C即∫xa f(t)dt ≡F(x)+C在上式两边令x=a ，有０＝∫aa f(t)dt=F(a)+C ，有C=-F(a)∫x af(t)dt=F(x)-F(a)再令x=b，∫baf(t)dt=F(b)-F(a) 即 ∫b af(x)dx=F(b)-F(a)公式(2.5)称为牛顿—莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式，这是一个非常重要的公式，它给出了定积分与不定积分之间的联系，通过它，我们可利用不定积分来计算定积分，而不必用求和式极限的方法来计算，这个公式是定积分计算的基础，为了书写方便，常用F(x)｜b a表示F(b)-F(a)，于是公式(2.5) ∫b a f(x)dx=F(x)｜b a=F(b)-F(a)例5 求∫１０x ３dx 解 ∫10x ３dx ＝41x ４10＝41（１－０）＝41例6 求⎰π20(x ２+2cosx)dx解⎰π20(x ２+2cosx)dx ＝⎰π20x ２dx+⎰π2cosxdx＝31（x ３20π)＋２(sinx 20π＝31（83πsin 2π-sin＝243π例7 设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧π≤≤ππ≤≤x 2x 2x 0x sin 若若 求⎰π0f(x)dx解 由函数f(x)在［０，２］上有间断点2π，除该点外函数连续，由本章第一节定理已知f(x)在［０，π⎰π0f(x)dx ⎰π20sinxdx+⎰πn2xdx＝-(cos x 20π）＋21（x ２n2π＝１＋21（π２－42π）＝１＋83π２第三节定积分的计算方法§3.1虽然定积分的计算可以归结为求被积函数的原函数，但有时求被积函数的原函数是比较麻烦的，例如用变量代换法，求得原函数后，再换回原来的变量，而定积分只需计算出它的值，由不定积定理(定积分换元积分法)若函数f(x)在［a,b ］上连续作变量代换x=ψ(t)，ψ(t)(i)ψ(α)=α，ψ(β)=b 且ψ(t)∈［a,b ］,t ∈［α、β(ii)在［α，β］(或［β，α］)上有连续的导数ψ′(t)∫b a f(x)dx=∫βαf ［ψ(t)］ψ′(t)dt证 由(3.1)式两边的定积分的被积函数都是连续，所以它们的原函数都存在，设F(x)是f(x)在［a,b ］上的原函数，即F ′(x)=f(x)，由dtdF(ψ(t))=F ′(ψ(t))ψ′(t)=f(ψ(t))ψ′(t)，即F(ψ(t))是f(ψ(t))ψ′(t)的原函数，由牛顿—∫b a f(x)dx=F(x)｜b a=F(b)-F(a)∫βαf(ψ(t))ψ′(t)dt=F(ψ(t))｜βα=F(ψ(β))-F(ψ(α))=F(b)-F(a)从而(3.1)公式(3.1)式从右向左又称为定积分的凑微分法，∫βαg(t)dt=∫βαf(ψ(t))ψ′(t)dt=F(ψ(t))｜βα=F(ψ(β))-F(ψ(α))公式(3.1)式从左向右又称为定积分的变量代换在用变量代换法时，为了保证ψ(t)∈［a,b ］，只需ψ(t)在［α，β］(或［β，α］)上单调即可。