第五课时：§1.5充要条件教学目的：①知识目标：理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义；能够判断给定的两个命题的充要关系。

②能力目标：能够利用本节知识解决和代数、几何、三角等高中数学有关的问题；③情感目标：进一步培养逻辑思维能力，理解数学的严谨性。

教学重点、难点及其突破：高考对本节内容的考查，主要是以代数、几何、三角等高中数学的各个方面内容为载体，判断两个命题间的充要关系，这也就是节课的重点，也是难点。

学习中要注意各知识点的联系。

教学方法：讲授法。

高考要求及学法指导：基本的逻辑知识是人们认识和研究问题不可缺少的工具．高考中主要考查命题与命题之间的逻辑关系以及判断是非的能力和推理能力，这里尤其要重视反证法的应用。

教学过程：一、知识点复习：（一）判断命题充要条件有如下三种常用方法：1、定义法；2、等价法：即利用与非B非A；B A与非A非B；A B与非B非A的等价关系，对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题，一般运用等价法：3、利用集合间的包含关系判断命题之间的充要关系，设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B：(1)若A B，则p是q成立的充分条件．(2)若A=B，则p是q 成立的充要条件．(3)若A B，则p是q成立的充分不必要条件．(4)若A B，且B A，则p是q成立的既不充分也不必要条件．（二）四种命题1、一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p则q(p q)；逆命题：若q则p(q )；否命题：若则()逆否命题：若则()2、四种命题的关系3、一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下四条关系：(Ⅰ)原命题为真，它的逆命题不一定为真；(Ⅱ)原命题为真，它的否命题不一定为真；(Ⅲ)原命题为真，它的逆否命题一定为真；(Ⅳ)逆命题为真，否命题一定为真；（三）充要条件5、设命题甲：x 和 y 满足 ⎨ ；命题乙：x 和 y 满足 ⎨ 那么( ) 0 < xy < 3 2 < y < 3q 1、如果 p 成立则 q 成立，即 ，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件．如果 p 成立则 q 成立，且 q 成立则 p 成立，即 ，则称 p 是 q 的充分必要条件．2、充要关系的判断我们常用推出符号“ ”来判断两个命题之间的充要关系。

(1) 且 ，则 p 是 q 的充分非必要条件；(2) 且 ，则 p 是 q 的必要非充分条件；(3) 且 ，则 p 是 q 的既非充分也非必要条件；(4) 且 (即 )，则 p 是 q 的充要条件．5、对充分必要条件理解“充分条件”和“必要条件”是数学中重要的概念之一，它讨论“若p 则 q”的命题中 的条件和结论的逻辑关系．因此，必须真正弄懂它并善于应用它去分析和解决有关问题．(1)当 时，称条件 p 是条件 q 的充分条件，意指为使 q 成立，具备条件 p 就足够了， “充分”即“足够”的意思．当 时，也称条件 q 是条件 p 的必要条件，因为 等 价于非 非 q 即若不具备 q ，则 p 必不成立，所以，要使 p 成立，必须具备 q ．“必要” 即“必须具备”的意思．“若 p 则 q 形式的命题，其条件 p 与结论 q 之间的逻辑关系有四种可能：① 且 不一定成立：这时，p 是 q 的充分而不必要条件；② 且 不一定成立：这时，称 p 是 q 的必要而不充分条件；③ 且 ：这时，称 p 是 q 的充分且必要条件；④ p ⇒ q 不一定成立且 不一定成立：这时，称 p 是 q 的既不充分也不必要条件．(2)由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，它们之间存在着密切的联 系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时， 可转化应用该命题的逆否命题进行判断．(3)一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个．二、例题分析：（一）基础知识扫描1、如果“p q”那么 p 是 q 的_____________条件， 是 p 的___________条件，如果“p q”， 那么 p 是 q 的____________条件．2、“x>7”的一个必要非充分条件是( )A ．x>9B ．x>4C ．x<8D ．x>993、设命题甲： x 2 = 1，命题乙：x=1，则：①甲是乙的充分条件；②甲是乙的必要条件；③乙是甲的充分条件；④乙是甲的必要条件．其中正确的个数为( )A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个4、三个实数 a ，b ，c 不全为零的充要条件是( )A ．a ，b ，c 都不是零B ．a ，b ，c 中至多有一个是零C ．a ，b ，c 中只有一个是零D ．a ，b ，c 中至少有一个不是零⎧2 < x + y < 4 ⎧0 < x < 1 ⎩ ⎩A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6、如果 p 是 q 的充分条件，s 是 q 的必要条件，那么( ){ }， A ．p 是 s 的充分条件B ．s 是 p 的充分条件C ．q 是 p 的充分条件D ．p 是 s 的充要条件（二）典型例题分析题型 1 充要关系的判断首先要确定条件是什么，结论是什么；尝试从条件 结论，结论 条件；判断条件是结论的 什么条件．例 1 指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件(在“充分而不必要条件”、“必要而不充分 条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)。

(1)在,△ABC 中，p ：A>B ，q ：BC>AC ；(2)对于实数 x ，y ，p ：x+y≠8，q ：x≠2 或 y ≠6；(3)在△ABC 中，p : sinA > sinB ，q : tanA >tanB ；(4)已知 x ，y∈R，p ： ( x - 1) 2 + ( y - 2) 2 = 0 ，q:(x- 1)(y-2) = 0.解 (1)△在 ABC 中，显然有 A>B BC > AC ，∴p 是 q 的充要条件；(2)∵逆否命题：x = 2 且 y = 6 x + y = 8，∴p 是 q 的充分不必要条件；(3)取 A=120°，B=30°，p q ，又取 A=30°，B=120°，q P ，∴p 是 q 的既不充分又不必要条件．(4)满足 p 的集合 A={(1，2)} 满足 q 的集合 B = ( x , y) x = 1或y = 2 ，∴A B ，∴p 是 q 的充分不必要条件。

点评 条件 结论为充分性，结论 条件为必要性，要判断充分还是必要，首先得分清 哪是条件，哪是结论．例 2 已知 p 、q 都是 r 的必要条件，s 是 r 的充分条件，q 是 s 的充分条件，那么 s 、r 、p 分别是 q 的什么条件?分析 根据三种条件的定义及推出符号“ ”的传递性，借助于图形更直观得出结果． 解 根据题设条件，作出右图因为 s r ，r q 故 s q ，又因为 q s ，所以 s 是 q 的充要条件，同理，是 q 的充要条件．又因为 q S ，S r ，r p ，所以 q p ，但 pq ，故 p 是 q 的必要但不充分条件．题型 2： 充要关系的证明证明充要条件，既要证明充分性，又要证明必要性，其实质是证明两个互逆的命题，证明方 法可以用直接法，也可以穿插反证法．例 3 设 x 、y ∈R ，求证： 成立的充要条件是 xy≥0．分析 充分性是证：xy ≥0 必要性是证：证明 充分性：如果 xy = 0，那么，①x = 0，y ≠0；②y=0，x≠0；③x=0，y=0．于是，如果 xy>0，即 x>0，y>0 或 x<0，y<0，当 x>0，y>0 时，当 x<0 y<0 时，总之，当 xy ≥0 时，有必要性：由 及 x ，y ∈R ，得 ，即，点评 充要条件的证明关键是根据定义确定哪是条件，哪是结论，然后搞清充分性是证明哪 一个命题，必要性是证明哪一个命题．例6已知p：1-x-1≤2，q：3”：A={x|x>10或x<－2}．题型3：求充要条件的问题例4求，至少有一负根的充要条件。

解由题设知，方程无零根．(1)方程有一正根和一负根(2)方程有两个负根综合(1)(2)可知：方程至少有一负根的充要条件是a<0或0<a≤1．例5已知关于x的一元二次方程(m∈Z)，①，②求方程①和②的根都是整数的充要条件。

分析根据方程①和②有实根且实根为整数，先求出整数m，然后再确定它是否具有充分性．解方程①有实数根的充要条件△=16－4×4m≥0．解得m≤1．方程②有实数根的充要条件是，解得m≥-54所以-54≤m≤1，而m∈Z，故m=－1或m=0或m=1．当m=－1时，方程①为，无整数根；当m=0时，方程②为，无整数根；当m=1时，方程①为，方程②为，①和②均有整数根。

从而，①和②均有整数根m=1；反之，m=1，方程①为，方程②为，①和②均有整数根．∴m=1①和②均有整数根。

所以方程①和②均有整数根的充要条件是m=1.点评对于求充要条件问题，一般地是先求出必要条件后，再证明具有充分性．题型4:：充要条件的应用3≤0(m>0)，若件，求实数m的取值范围。

是的充分而不必要条分析根据已知条件先写出和，然后由，但，求得m的取值范围。

解由1-由x-1≤2，得－2≤x≤10，所以“≤0，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．所以“”：B={x|x>1+m或x<1－m，m>0}，因为是的充分而不必要条件，∴A B．结合数轴有解得0<m≤3。

点评本题是的充分而不必要条件，求实数m，还可用它的等价命题，q是p的充分而不必要条件求实数m的取值范围，请同学们试一试．三、本节所涉及的数学思想·规律·方法1、充要条件是数学中的一个重要概念，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识．所谓“p q”是指“若p则q”命题为真，若命题为假，则“p q”，注意“”具有传递性．2、充分、必要条件问题涉及的知识面广，要求考生不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念；3、从集合的角度考查充分、必要条件，不仅为判定此类问题提供了一种新的解题途径，而且开阔了视野，深化了对集合及充要条件这两个重要概念的理解；4、确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明；5、等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系。