图 1 图 2 图 3
证明 若过 C 点所作直线与 CA 重合, 则显然
结论成立; 否则, 如图 1、2、3, 过 D 点作 DM ∥C F 交
B F 于M , 由于 D 为 B CE ∶ED = A F ∶FM , 于是
A
E
∶ED
=
A
F
图5
图6
析解 若果有∠A BM = ∠B PM , 即△A BM 是 基本图形. 亦即有 BM 2 = M P ·M A , 而这可通过图 中另一基本图△A CM 得到, 即
CM 2= M P ·M A , ] ∠A BM = ∠B PM . 下面一题未给出解答, 供参考使用. 习题 在 R t△A B C 中, 斜边 B C 的垂直平分线 M D E 交 A B 于 D , 交 CA 延长线于 E , 交 B C 于 M (图 6 示). 求证: A M 2= DM ·EM .
由上可见, 孙子定理, 不仅可解决被 3, 5, 7 除的 问题, 而且可求在其他情况下的问题, 姑且认为是孙 子定理的推广. 利用孙子定理的推广, 关键在于找出 与定理中“地位”相同的一些数.
例 2 新生入学初进行军训, 在分队练习时, 每 队 5 人, 多 1 人, 每队 6 人, 多 2 人; 每队 7 人, 多 3 人; 参加军训的新生至少有多少人?
图3
图4
例 2 已知, 如图 4 示, A B ∥CD , A F = B F , EC = EB , 求证: O C 2= O F ·OD.
析解 欲证 O C 2 = O F ·OD , 可先证∠O C F = ∠D , 而使△COD 是基本图形. 证明从略.
例 3 已知, 如图 5 示, R t△A B C 中, ∠A CB = 90°, M B = M C , C P ⊥A M 于 P , 交 A B 于 D. 求证: ∠A BM = ∠B PM .
∶
1 2
FB
,
∴ A E ∶ED = 2A F ∶FB .
上述推广命题的其他证法, 留给感兴趣的读者
思考与练习.
两个调皮鬼的对话
——记三角形的中线 与中位线的争论
○倪金龙
( 新疆喀什农三师中学 844000 )
如图, 母亲△A B C 保护下的两个孩子中线爱迪 (A D ) 和中位线依埃夫 (E F ) , 总是纠缠不清, 争论不休.
一道课本复习题的推广
○ 朱汉林
( 苏州大学数学系 215006 )
初中《几何》课本第二册 P 264 上一道复习题为: 过△A B C 的顶点 C 任作一直线, 与边 A B 及中
线 A D 分别交于点 F 和 E. 求证: A E ∶ED = 2A F ∶ FB .
(提示: 过点 D 作 DM ∥C F 交 B F 于点M . ) 本题可推广为下述命题: 过△A B C 的顶点 C 任作一条不与B C 重合的直 线, 与边 A B 及中线 A D 的所在直线分别交于点 F 和 E. 求证: A E ∶ED = 2A F ∶FB .
解 本题实质是求满足条件的最小正整数, 因 5、6、7 互质, 其最小公倍数为 210. 而且 126 能被 6、7 整除, 被 5 除余 1. 175 能被 5、7 整除, 被 6 除余 1. 120 能被 5、6 整除, 被 7 除余 1. 所以新生人 数至少有: 126×1+ 175×2+ 120×3- 210×3= 206 答: 参加军训新生至少 206 人. 说明: 孙子定理的推广为没有学不定方程而要 解决同类型问题的人们提供了一个思路.
●数学教育
《数学教师》1997 年第 9 期
或 C P 2= A P ·PB . (这是直角三角形的射影定理. ) 下面我们举例说明基本图形的应用. 例 1 已知, 如图 3, ∠1= ∠B , A C = 6, D C = 4, 求B D. 析解 显然图 3 是基本图形, 欲求 B D , 可先求 B C. 由 A C 2= CD ·B C , 即 62= 4B C , 得 B C = 9. ∴ B D = 9- 4= 5.
爱迪指着依埃夫说:“你把 我拦腰分开. ”依埃夫反驳道: “那么你呢? 不是也把我两分了 吗?”母亲说:“你们俩彼此彼, 互相平分. ”
爱迪又说:“我的个儿比你高. ”依埃夫说:“不见 得吧, 现∠A 是锐角, 是你高. 当∠A 为直角时, 你和 我一样高. 当∠A 为钝角时, 我可就比你高了. ”
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爱迪想了想说:“正是如此, 以前我可没想到. ” 依埃夫说:“想问题不能只看一面, 而要看全面. 不能只看静止的图形, 还要考虑运动着的图形. ” 爱迪受到教育, 接着说:“我把三角形分成面积 相等的两个三角形. ”依埃夫说:“我把三角形分为一 个三角形和一个梯形, 它们的面积比为 1∶3. ” 爱迪兴奋起地说:“我俩有一个共同点, 都小于 A B 、A C 和的一半. ” 依埃夫点点头说:“对对! 看问题应该如此, 既要 看到不同点, 又要看到共同点. ” 爱迪说:“当我处于三个不同位置时, 会相交于 一点, 人们称之为重心, 从它到顶点与到对边的长度 是 2 倍关系呢! ”依埃夫说:“我如处于三个不同位置 时, 把三角形分成 4 个面积相等的小三角形. ”爱迪 说:“点 B 、点 C 跟我保持等距. ”依埃夫说:“我平行 于 B C , 还等于它的一半. ”……. “你们这两个调皮的孩子, 总也长不大, 永远离 不开我, ”母亲笑着说.
孙子定理的推广及应用
○ 向以钰
( 四川省宣汉师范学校 636150 )
孙子定理, 也叫中国剩余定理, 它所表述的“物
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不知数”的奇妙算法是我国古代数学的重大成就. 西 方得到与此相同方法比我们晚了约 1500 年。其主要 内容被明朝数学家程大位在《算法统宗》里描述为
三人同行七十稀, 五树梅花廿一枝, 七子团圆正半月, 除百零五便得知. 这首孙子歌里隐含了 70、21、15、105 这四个数, 这四个数与 3、5、7 (互质) 这三个数有关系: 70 能被 5、7 整除, 被 3 除余 1, 则 70a (a 及后文 中的 b、c、d 皆为自然数) 是一个能被 5、7 整除, 被 3 除余 a 的数. 同理 21b 是一个能被 3、7 整除, 被 5 除余 b 的 数. 15c 是一个能被 3、5 整除, 被 7 除余 c 的数. 总起来则有 70a+ 21b+ 15c 是一个被 3 除余 a, 被 5 除余 b, 被 7 除余 c 的数. 换句话说, 如果一个数 能被 3 除余 a, 被 5 除余 b, 被 7 除余 c, 则这个数可表 为上式, 若求这个最小正整数则由 m = 70a+ 21b+ 15c- 105k (105 为 3、5、7 的最小公倍数) 求出. 若要求被 3 除余 a, 被 5 除余 b, 被 7 除余 c 的所有整数, 则可由公式 M = m + 105t 得出. 我们可抓住孙子定理的以上本质进行推广运 用: 例 1 (今有一数) 二数余一, 五数余二, 七数余 三, 九数余四, 求该数. 分 析 注意到 2、5、7、9 互质, 这几个数的“地 位”相当于“定理”中 3, 5, 7 的“地位”, 下面我们需要 把对 应 于 定 理 中 的“70、21、15”在 这 里 找 出 来, 将 “105”找出来. 这件事很容易: 315a 能被 5, 7, 9 整除, 被 2 除余 a (315 为 5、7、9 的公倍数). 126b 能被 2、7、9 整除, 被 5 除余 b (126 为 2, 7, 9 的公倍数). 540c 被 2、5、9 整除, 被 7 除余 c (540 为 2、5、9 的 公倍数) , 280d 被 2、5、7 整除, 被 9 除余 d (280 为 2、5、7 的公倍数). 解 由孙子定理可得该最小正整数为: 315×1+ 126×2+ 540×3+ 280×4 - 630×5= 157 上式中 630 为 2、5、7、9 的最小公倍数 则所有整数解可写为: 157+ 630t.