20.已知椭圆 过点 ，且 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点 的直线l交椭圆C于点 ,直线 分别交直线 于点 ．求 的值．
21.已知 是无穷数列．给出两个性质：
①对于 中任意两项 ， 中都存在一项 ，使 ；
②对于 中任意项 ，在 中都存在两项 ．使得 ．
(Ⅰ)若 ，判断数列 是否满足性质①，说明理由；
故选：A.
6.因为 ，所以 等价于 ，
在同一直角坐标系中作出 和 的图象如图：
两函数图象的交点坐标为 ，
不等式 的解为 或 .
所以不等式 的解集为： .
故选：D.
7.如图所示： ．
因为线段 的垂直平分线上的点到 的距离相等，又点 在抛物线上，根据定义可知， ，所以线段 的垂直平分线经过点 .
故选：B.
2020年北京高考数学试卷
1、选择题10小题，每小题4分，共40分．
1.已知集合 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
3.在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A. B. 5C. D. 10
4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．
16.如图，在正方体 中，E为 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角 正弦值．
17.在 中， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ） 和 的面积．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为 ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 ，试比较 与 的大小．（结论不要求证明）
19.已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率等于 的切线方程；
（Ⅱ）设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小值．
给出下列四个结论：
①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，
所以，双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 .
故答案为： ； .
13.以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；
(Ⅱ)若 ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等比数列.
2020年北京高考数学试卷答案
1.D.2.B.3.C.4.D.
5.设圆心 ，则 ，
化简得 ，
所以圆心 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
所以 ，所以 ，
当且仅当 在线段 上时取得等号，
所以，“存在 使得 ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
10.单位圆内接正 边形的每条边所对应的圆周角为 ，每条边长为 ，
所以，单位圆 内接正 边形的周长为 ，
单位圆的外切正 边形的每条边长为 ，其周长为 ，
，
则 .
故选：A.
11.由题意得 ， 故答案 ：
12.在双曲线 中， ， ，则 ，则双曲线 的右焦点坐标为 ，
A. B. C. D.
5.已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A. 4B. 5C. 6D. 7
6.已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）．
A. B.
C. D.
7.设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的一点，过 作 于 ，则线段 的垂直平分线（ ）．
A. 经过点 B. 经过点
A B.
C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.函数 的定义域是____________．
12.已知双曲线 ，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．
13.已知正方形 的边长为2，点P满足 ，则 _________； _________．
8.由题意可知，等差数列的公差 ，
则其通项公式为： ，
注意到 ，
且由 可知 ，
由 可知数列 不存在最小项，
由于 ，
故数列 中的正项只有有限项： ， .
故数列 中存在最大项，且最大项为 .
故选：B.
9.(1)当存在 使得 时，
若 为偶数，则 ；
若 为奇数，则 ；
(2)当 时， 或 ， ，即 或 ，
亦即存在 使得 ．
C. 平行于直线 D. 垂直于直线
8.在等差数列 中， ， ．记 ，则数列 （ ）．
A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项
9.已知 ，则“存在 使得 ”是“ ”的（ ）．
A 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
14.若函数 最大值为2，则常数 的一个取值为________．
15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为 ，用 的大小评价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 充分大时，计算单位圆的内接正 边形的周长和外切正 边形（各边均与圆相切的正 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， 的近似值的表达式是（ ）．