立体几何排列组合二项式定理知识点
1.多面体
:.()()定义由若干个多边形组成的封闭体叫做多面体 定义:由两个平行全等的多边形,不在这两个面上的棱都平行. 直棱柱底面平行全等,侧面为矩形,侧棱平行相等垂直底面 分类正棱柱底面平行全等正多边形,侧面为矩形,侧棱平行相等垂直底面棱柱四棱柱(平行六面体,直四棱柱,长方体,正四棱柱,正方体) 多面体()()S c l l h V S h ⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪=⨯=⎧⎪⎨=⨯⎪⎩⎩侧底面周长底面积 直棱柱的侧面积计算 棱柱的体积 定义:由一个面为多边形,不在这个面上的棱有一个公共点. 正棱锥底面正多边形,侧面全等等腰三角形,侧棱相等交一点分类三棱锥(正三棱锥,正四面体) 棱锥''1213S c h h V S
h ⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎨
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎪⎧
=⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪=⨯⎪⎪⎪⎩⎩
⎪⎪⎩侧底面周长底面积 正棱锥的侧面积(为斜高)计算 棱柱的体积 1.祖暅原理(夫叠棊成立积,缘幂势既同,则积不容异), 2.斜二测画法. 2旋转体
2:(),.(),(),().:(,):2,22,ABCD AB AB CD AD CD S rl S r rl V S h πππ⎧⎪⎪⎪⎨⎪==+=⨯⎪⎪⎩∆侧全底
定义矩形及内部绕旋转一周所得的旋转体直线轴线段母线,侧面线段和的旋转面底面圆柱性质无数条母线平行轴垂直底面 计算体积 定义:Rt ABC(及内部)绕直角边AB 旋转一周,所得的旋转圆锥常 见旋转体201
,,3:(),.:0----:----rl r rl V S h O AB OA πππ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪==+=⨯⎪⎩
侧全底体.直线AB(轴),斜边AC(母线,侧面),直角边BC 的旋转面(底面).性质:(无数条母线交于顶点,与轴和底面成等角) 计算:S S 体积
定义半圆及内部绕直径旋转一周所得的旋转体经度经线半圆面与经线半圆面的二面角大小经度纬度与赤道圆面的线面角大小纬球
1123:(,,44,:3(,)O OO S R V R R AOB ππθθ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎨⎪⎪⎪
⎧⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪==⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⨯∠=⎩⎪⎪⎩⎩
表度性质平面截球截面为圆 体积
计算 球面距离弧度
3、（一）空间向量的坐标
（1）位置向量的坐标：设点P 的坐标为（x , y , z ）, ,,i j k
分别为x , y , z 轴正方向上的单位向量，则OP xi y j zk =++ ，（x , y , z ）称OP 的坐标，记作(,,)OP x y z =。

（
2
）
向
量
的
坐
标
：
设
点
11112222(,,),(,,),
P x y z P x y z 则
12212121()()()PP x x i y y j z z k =-+-+- ，212121(,,)x x y y z z ---称12PP 的坐标，记作12212121
(,,)PP x x y y z z =--- 。

（3）非零向量111222(,,)(,,)a x y z b x y z ==
与平行的充要条件是存在非零实数λ，使得
b a λ=成立。

（4）线段AB 的定比为λ的分点坐标公式：设111222(,,)(,,)A x y z B x y z ,,P 是直线AB 上的点
，
(1AP PB R λλλ=∈≠-
且）
，则点P 的坐标
222
111x y z λλλλλλ
++++++111x y z （x,y,z ）=(
,,)。

（5）空间向量的模的计算公式：设(,,)a x y z =
，则a = 。

（二）、空间向量的数量积
（1）向量数量积：非零向量,a b
的夹角(0)θθπ≤≤，则cos a b a b θ=。

（2）向量数量积的坐标表示：若111222(,,)(,,)a x y z b x y z ==
与，则1
21
2a b x x y y z z
=
+
+ 。

（3）两个非零向量,a b 夹角θ
的余弦cos a b
a b
θ==。

（4）两个非零向量11122(,,)(,,)a x y z b x y z ==
与垂直的充要条件是：1212120x x y y z z ++=。

（5）两个非零向量111222(,,)(,,)a x y z b x y z ==
与平行的充要条件是：a b a b =±。

（
三
）、空间两点
11112222(,,),(,,),
P x y z P x y z 的距离公式：
12PP =
（四）、平面的法向量
（1）定义：对于非零空间向量n ，若它所在的直线与平面α垂直，则向量n
叫做平面α的
一个法向量。

（2）求法：设,,A B C 是平面α上的不共线三点，且111222(,,),(,,)AB x y z AC x y z ==
，平面α的法向量是(,,)n a b c = ，则,,a b c 满足1112220
ax by cz ax by cz ++=⎧⎨++=⎩。

若0a ≠，令1a =，
解得,b c 。

若0b ≠或0c ≠，可同样处理。

（五）、空间点到平面的距离：设A 是平面α上任意一点，n
是平面α的法向量，向量AM
与n
的夹角为θ，则点M 与平面α的距离n AM d n
=
4.三视图
（1）.正投影：当投影线与投影平面所成角为900
时所得的投影叫正投影
（2）.三视图：将空间直角坐标系的xoy 平面，xoz 平面和yoz 平面作为投影平面，
其中xoy 平面接受由上向下的正投影，所得到的投影叫做图形的俯视图， yoz 平面接受由左向右的正投影，所得到的投影叫做图形的左视图 xoz 平面接受由前向后的正投影，所得到的投影叫做图形的主视图。

（3）.三视图的结构
将一个几何体的三个视图展示在同一个平面上，使俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右方，把整个构图叫这个几何体的三视图。

5、两个计数原理
(1)乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第1步有1m 种不同的方法，第2步有2m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法.
(2)加法原理：如果完成一件事有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++= 21种不同的方法. 6、 排列
（1）定义：一般地，从n 个不同元素中取出m )(n m ≤个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 当n m =时，称为n 个元素的全排列.
（2.1）从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数的计算公式是：
)!
(!
)1()2()1(m n n m n n n n P m n -=
+-⋅⋅-⋅-⋅= )*(n m N m n ≤∈且、
（2.2）n 个不同元素的全排列数是：
!12)2()1(n n n n P n n =⋅⋅⋅-⋅-⋅= （规定1!0=）
7、组合
（1）定义：一般地，从n 个不同元素中取出m )(n m ≤个元素组成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
（2）从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数的计算公式是：
)!(!!
12)2()1()1()2()1(m n m n m m m m n n n n P P C m m
m n m
n
-=
⋅⋅⋅-⋅-⋅+-⋅⋅-⋅-⋅== )*(n m N m n ≤∈且、（规定10
=n C ）
8、组合数的两个性质:
（1）性质1 m n n
m n C C -= （2）性质2 m n m n m n C C C 11+-=+
9（1）二项式定理
n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)(*)(N n ∈.
其中，右边的多项式叫做n
b a )(+的二项展开式，其中的系数),,1,0(n r C r n =叫做二项式系数，二项展开式的通项r r n r n r b a C T -+=1为展开式的第1+r 项.
（2）二项式系数的性质
(i)n
b a )(+的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. (ii)在n
b a )(+的二项展开式中，所有二项式系数的和等于n
2，即
n n n n n n C C C C 2210=++++
各奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，它们都等于1
2
-n ，即
11253124202--=+++++=+++++n r n n n n r n n n n C C C C C C C C ),,1,0(n r = （iii ）在n b a )(+的展开式中，若k n 2=，则最大的二项式系数是k n C ；若12+=k n ，则最大的二项式系数是k n C 和1+k n C ，且k n C =1+k n C .。