版权归原著所有 本答案仅供参考习题33-1．如图，一质点在几个力作用下沿半径为20R m =的圆周运动，其中有一恒力0.6F i =N ，求质点从A 开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B 的过程中，力F 所做的功。

解：本题为恒力做功，考虑到B 的坐标为（R -，R ）， ∴2020B A r r r i j ∆=-=-+，再利用：A F r =⋅∆， 有：0.6(2020)12A i i j =⋅-+=-（焦耳）3-2．质量为m =0.5kg 的质点，在x O y 坐标平面内运动，其运动方程为x =5t 2,y =0.5(SI),从t =2s 到t =4s 这段时间内，外力对质点的功为多少？ 解：由功的定义：A F r =⋅∆，题意：250.5r t i j =+24(4)(2)60r r r i →∆=-=，220.5105d rF m i i d t==⋅=∴560300A i i J =⋅=。

3-3．劲度系数为k 的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为m ，开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触。

今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面为止，求此过程中外力的功。

解：由于小球缓慢被提起，所以每时刻可看成外力与弹性力相等，则：F k x =，选向上为正向。

当小球刚脱离地面时：max mg k x =，有：max mgx k=， 由做功的定义可知：max222122mg x k m g A k xd x k x k===⎰。

3-4．如图，一质量为m 的质点，在半径为R 的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A 点滑下，到达最低点B 时，它对容器的正压力数值为N ，求质点自A 滑到B 的过程中，摩擦力对其做的功。

分析：f A 直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。

解：求在B 点的速度：2v N G m R -=，可得：R G N mv )(21212-= 由动能定理： 2102f mgR A mv +=-∴11()(3)22f A N G R mgR N mg R =--=-3-5．一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为2(52.838.4)F x x i =--，其中F 和x 单位分别为N 和m 。

（1）计算当将弹簧由m 522.01=x 拉伸至m 34.12=x 过程中，外力所做之功； （2）此弹力是否为保守力? 解：（1）由做功的定义可知：211.3420.522(52.838.4)x x A F d x x x dx =⋅=--⎰⎰2233212126.4()12.6()69.2x x x x J =----=（2）∵()()F x F x i =，按保守力的定义：d )4.388.52()()4.388.52()(22=--=++⋅--=⋅⎰⎰⎰x x x k dz j dy i dx i x x r d x F lll∴该弹力为保守力。

3-6．一质量为m 的物体，在力2()F at i bt j =+的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻t 此力所做功的功率为多少。

解：由P F v =⋅，要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：mAB2231111()()23F v dt ati bt j dt at i bt j m m m ==+=+⎰⎰ 所以功率为：P F v =⋅2232325111111()()()2323ati bt j at i bt j a t b t m m =+⋅+=+。

3-7．一质点在三维力场中运动．已知力场的势能函数为：cz bxy ax E ++-=2p 。

（1）求作用力F ；（2）当质点由原点运动到3=x 、3=y 、3=z 位置的过程中，试任选一路径，计算上述力所做的功。

其中p E 的单位为J ，z y x 、、的单位为m ，F 的单位为N 。

解：（1）由力和势能的关系：P F E =-∇有：2()()(2)F i j k ax bx y cz ax by i bx j ck x y z∂∂∂=-++-++=---∂∂∂ （2）由于该力场是有势场，所以该力是保守力，由保守力做功的定义 c b a c b a E A 399}0)399{(--=-++--=∆-=3-8．轻弹簧A B 的上端A 固定，下端B 悬挂质量为m 的重物。

已知弹簧原长为0l ，劲度系数为k ，重物在O 点达到平衡，此时弹簧伸长了0x ，如图所示。

取x轴向下为正，且坐标原点位于：弹簧原长位置O '；力的平衡位置O 。

若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，试分别计算重物在任一位置P 时系统的总势能。

解：（1）取弹簧原长位置'O 为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置P 时系统的总势能：2001()()2P E mg x x k x x =-+++，（2）取力的平衡位置O 为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置P时系统的总势能：22001122P E mgx k x x k x =-++-（），而0mg kx = ∴22200111222P E mgx k x x kx kx =-++-=（） 3-9．在密度为1ρ的液面上方，悬挂一根长为l ，密度为2ρ的均匀棒AB ，棒的B端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在1212ρρρ<<的条件下，求细棒下落过程中的最大速度max v ，以及细棒能进入液体的最大深度H 。

解：（1）分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候， 所以：G F =浮，即hsg lsg 12ρρ= ，则：l h 12ρρ=。

利用功能原理：212mgh mv A =+浮，有：22max21012h slv sglh gsydy ρρρ=-⎰可解得：max v =（2）当均匀棒完全进入液体中时，浮力不变，到最大深度H 时，速度为零，设： 'H l h =+，由能量守恒有：2110'llsgH ysgdy lsgh ρρρ=+⎰，即：2110()llsgH ysgdy lsg H l ρρρ=+-⎰∴1122()lH ρρρ=-。

3-10．若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力f 的作用，设阻力与速度的大小成正比，比例系数k 为常数，即f k v =-，试求质量为m 的卫星，开始在离地心R r 40=（R 为地球半径）陨落到地面所需的时间。

解：该卫星在任何时刻的总机械能为：rmMG mv E -=221 又由于222mv r mMG r v m rmM G =⇒=联立两式得：r mM G E 2-=两边微分得：dr rmMG dE 22= ，由功能原理得： E s f d d =⋅， r rmMG s kv d 2d )(2=⋅-t rr mv kv t r r r GmM t s kv dr rmM G s kv d d 21d d 2d d 2d )(222⋅=-⇒⋅⋅=-⇒=⋅-r r t m k d d 2-=，由已知条件两边积分：2ln d d 240kmt r r t m k R R t =⇒-=⎰⎰3-11．一链条放置在光滑桌面上，用手揿住一端，另一端有四分之一长度由桌边下垂，设链条长为L ，质量为m ，试问将链条全部拉上桌面要做多少功？ 解：直接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做功，则：1114832P A E mg l mgl =∆=⨯=3-12．起重机用钢丝绳吊运质量为m 的物体时以速率0v 匀速下降，当起重机突然刹车时，因物体仍有惯性运动使钢丝绳有微小伸长。

设钢丝绳劲度系数为k ，求它伸长多少?所受拉力多大?(不计钢丝绳本身质量) 解：当起重机忽然刹车时，物体的动能将转换为钢丝绳的弹性势能，由2202121kx mv =，可得：0v kmx =， （这里，由于是微小伸长，因伸长而引起重力势能的降低可以忽略不计）分析物体的受力，可得到绳子的拉力为：0T mg k x mg =+=。

3-13．在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一物体A 、A 边上再放一物体B ，它们质量分别为A m 和B m ，弹簧劲度系数为k ，原长为l ．用力推B ，使弹簧压缩0x ，然后释放。

求：（1）当A 与B 开始分离时，它们的位置和速度； （2）分离之后，A 还能往前移动多远? 解：（1）当A 与B 开始分离时，两者具有相同的速度，但A 的加速度为零，此时弹簧和B 都不对A 产生作用力，即为弹簧原长位置时刻，根据能量守恒，可得到：22011()22A B m m v k x +=，有：0x m m kv BA +=，x l =；（2）分离之后，A 的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以：221122A A m v kx = ，则：0A x = 。

3-14．已知地球对一个质量为m 的质点的引力为3e Gm mF r r=-（e e ,R m 为地球的质量和半径)。

（1）若选取无穷远处势能为零，计算地面处的势能；（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能．比较两种情况下的势能差． 解：（1）取无穷远处势能为零，地面处的势能为：e e 211ee P R R eE F d r Gm m d r Gm m r R ∞∞=⋅=-⋅=-⎰⎰； （2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为：e e 211e eR R eE F d r Gm m d r Gm m r R ∞∞∞=⋅=-⋅=⎰⎰∴两种情况下势能差是完全一样的。

3-15．试证明在离地球表面高度为h (e h R <<)处，质量为m 的质点所具有的引力势能近似可表示为mgh 。

解：∵万有引力的势能函数表达式为0P MmE G r=-，（以无穷远处为势能零点），且此时地球表面处的势能为：0e R e eMmE G mgR R =-=-，在离地球表面高度为h (e h R <<)处，质量为m 的质点所具有的引力势能为：)()()()()(20200h R mg h R R MmG h R h R Mm G h R Mm G e e ee e e +-=+-≈++-=+-， 如果以地面作为零电势处，则质点所具有的引力势能近似可表示为： [()]P e e E mgR mg R h mgh =---+=。

思考题33-1．求证：一对内力做功与参考系的选择无关。

证：对于系统里的两个质点而言，一对内力做功可表示为：1122A f d r f d r =⋅+⋅， 由于外力的存在，质点1和2的运动情况是不同的，虽然其内力相等而方向相反（12f f =-），但12dr dr ≠，∴上式可写为： A=112212()A f dr f dr f dr dr =⋅+⋅=⋅-表明，内力的功与两个质点的相对位移有关，与参考系的选择无关。