专题4一元函数导数及其应用从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.预测2020年高考命题将保持稳定.主观题应用导数研究函数的性质，备考的面要注意做到全覆盖，如导数几何意义的应用、单调性问题、极（最）值问题、零点问题、不等式的证明、参数范围的确定等.一、单选题1．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数．．．．，则m 的范围是（）A ．1(,)3+∞B ．1(,3-∞C ．1[,)3+∞D ．1(,3-∞2．（2020·山东高三下学期开学）已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（）A ．y x=-B ．2y x =-+C ．y x=D ．2y x =-3．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则()A ．M 的最小值为25B ．M 的最小值为45C ．M 的最小值为85D ．M 的最小值为1254．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）函数()()()2sin xx e e x f x x eππ-+=-≤≤的图象大致为()A ．B ．C ．D ．5．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则()A ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知函数()y f x =的导函数()f x '的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A ．函数()y f x =在区间13,2⎛⎫--⎪⎝⎭内单调递增B ．当2x =-时，函数()y f x =取得极小值C ．函数()y f x =在区间()2,2-内单调递增D ．当3x =时，函数()y f x =有极小值7．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则()A ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、多选题8．（2020届山东省济宁市高三3月月考）设函数()()ln ,01,0x x x f x e x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，若函数()()g x f x b =-有三个零，则实数b 可取的值可能是()A ．0B ．12C ．1D ．29．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =--(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（）A ．12B ．2C ．2e D ．10．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则（）A ．MB ．当M 最小时，2125x =C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，265x =三、填空题11．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a =12．（2020届山东省烟台市高三模拟）设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________．13．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．14．（2020·山东高三模拟）已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则2m a +=________.15．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）若函数()()1,f x a nx a R =∈与函数()g x =共点处有共同的切线，则实数a 的值为______．16．（2020届山东省济宁市高三3月月考）如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为__________.17．（2020届山东省淄博市高三二模）已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02xf x '+<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______.四、解答题18．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知函数()1xf x x ae =-+（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =-时，设1210,0x x -<<>且()()125f x f x +=-，证明：12124x x e->-+．19．（2019·宁德市高级中学高三月考（理））已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2)e x ﹣x .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.20．（2020·山东高三模拟）已知函数()21()1ln ()2f x m x x m =--∈R .（1）若1m =，求证：()0f x ≥.（2）讨论函数()f x 的极值；（3）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由.21．（2020届山东省高考模拟）已知函数2()2ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，当a ≥()()21f x f x -的最大值.22．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知函数()()()1xf x ax e a R =-∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在一个正实数a ，满足当x ∈R 时，()1f x ≤恒成立，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.23．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知函数()cos sin xf x e x x x =-，()sin x g x x =-，其中e是自然对数的底数．（Ⅰ）12ππ,0,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立，试求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若1x >-，求证：()()0f x g x ->．24．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知函数()ln ,f x x x kx k R =+∈.（1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式2()f x x x ≤+恒成立，求k 的取值范围；（3）求证：当*n N ∈时，不等式()2212ln 4121ni n ni n =-->+∑成立.25．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知函数()ln 2sin f x x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数.(1)求证:()f x '在()0π，上存在唯一零点;(2)求证:()f x 有且仅有两个不同的零点.26．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知函数()2ln f x x ax =-，a R ∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1a =-时，令2()()g x x f x =-，其导函数为()g x '，设12,x x 是函数()g x 的两个零点，判断122x x +是否为()g x '的零点？并说明理由.27．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知2()2ln(2)(1)f x x x =+-+，()(1)g x k x =+．（1）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；（2）若存在01x >-，使得当()01,x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围.28．（2020届山东省淄博市高三二模）（本小题满分12分）设函数()()22ln 11x f x x x =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅲ）已知数列{}n a 中，11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：11ln 2n n n na S a a ++>-.29．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知函数()()2ln 12a f x x x xb =---，,R a b ∈.（1）当-1b =时，讨论函数()f x 的零点个数；（2）若()f x 在()0,∞+上单调递增，且2a b c e +≤求c 的最大值.30．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知()ln f x x =，()()2102g x ax bx a =+≠，()()()h x f x g x =-.（Ⅰ）若3,2a b ==，求()h x 的极值；（Ⅱ）若函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，记1202x x x +=，证明：()00h x '<．31．（2020届山东省泰安市肥城市一模）已知函数()22()xf x e ax x a =++在1x =-处取得极小值.（1）求实数a 的值；（2）若函数()f x 存在极大值与极小值，且函数()()2g x f x x m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.（参考数据：e 2.718≈2.236≈）32．（2020·山东高三下学期开学）已知函数()ln 1f x x x =-，()()22g x ax a x =--.（1）设函数()()()H x f x g x '=-，讨论()H x 的单调性；（2）设函数()()()2G x g x a x =+-，若()f x 的图象与()G x 的图象有()11A x y ，，()22B x y ，两个不同的交点，证明：()12ln 2ln 2x x >+.33．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知函数2()2ln =-f x x x x ，函数2()(ln )=+-ag x x x x，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且()02g x =.（1）讨论()f x 的单调性（2）求实数0x 和a 的值（3）证明()*11ln(21)2=>+∈nk n n N 34．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知函数()()20f x lnx ax x a =--+≥．()1讨论函数()f x 的极值点的个数；()2若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：()()12322f x f x ln +>-．专题4一元函数导数及其应用从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.预测2021年高考命题将保持稳定.主观题应用导数研究函数的性质，备考的面要注意做到全覆盖，如导数几何意义的应用、单调性问题、极（最）值问题、零点问题、不等式的证明、参数范围的确定等.一、单选题1．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数．．．．，则m 的范围是（）A ．1(,)3+∞B ．1(,3-∞C ．1[,)3+∞D ．1(,3-∞【答案】C 【解析】若函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数，只需2320y x x m '=++≥恒成立，即141203m m =-≤∴≥ ，．故选：C ．2．（2020·山东高三下学期开学）已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（）A ．y x =-B ．2y x =-+C ．y x=D ．2y x =-【答案】A 【解析】因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-.故选：A3．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则()A ．M 的最小值为25B ．M 的最小值为45C ．M 的最小值为85D ．M 的最小值为125【答案】B 【解析】由题意，()()221212M x x y y =-+-的最小值可转化为函数ln 2y x x =-+图象上的点与直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值的平方.ln 2y x x =-+，得11y x'=-，与直线242ln 20x y +--=平行的直线斜率为12-，令1112x -=-，解得2x =，所以切点的坐标为()2ln 2，切点到直线242ln 20x y +--=的距离5d ==即()()221212M x x y y =-+-的最小值为45.故选：B4．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）函数()()()2sin xx ee xf x x eππ-+=-≤≤的图象大致为()A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由函数的解析式可得：()()f x f x -=-，则函数()f x 的图像关于坐标原点对称，据此可排除B 选项，考查函数()x x g x e e -=+，则()()21'x x x xe g x e e e--=-=，当0x >时，()g x 单调递增，则344g g ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此有：344f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此可排除C 选项；当0πx <<时，0,sin 0x x e e x -+>>，则()0f x >，据此可排除D 选项；本题选择A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．5．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则()A ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】由奇函数()f x 是R 上的增函数，可得()0f x '≥，以及当0x >时，()0f x >，当0x <时，()0f x <，由()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，即()g x 为偶函数．因为()()()g x f x xf x ''=+，所以当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<．故0x >时，函数()g x 单调递增，0x <时，函数()g x 单调递减．因为()331log log 44g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2303232221log 4--<<=<所以233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B ．6．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知函数()y f x =的导函数()f x '的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A ．函数()y f x =在区间13,2⎛⎫--⎪⎝⎭内单调递增B ．当2x =-时，函数()y f x =取得极小值C ．函数()y f x =在区间()2,2-内单调递增D ．当3x =时，函数()y f x =有极小值【答案】BC 【解析】对于A ，函数()y f x =在区间13,2⎛⎫--⎪⎝⎭内有增有减，故A 不正确；对于B ，当2x =-时，函数()y f x =取得极小值，故B 正确；对于C ，当()2,2x ∈-时，恒有()0f x '>，则函数()y f x =在区间()2,2-上单调递增，故C 正确；对于D ，当3x =时，()0f x '≠，故D 不正确.故选：BC7．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则()A ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】由奇函数()f x 是R 上的增函数，可得()0f x '≥，以及当0x >时，()0f x >，当0x <时，()0f x <，由()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，即()g x 为偶函数．因为()()()g x f x xf x ''=+，所以当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<．故0x >时，函数()g x 单调递增，0x <时，函数()g x 单调递减．因为()331log log 44g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2303232221log 4--<<=<所以233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B ．二、多选题8．（2020届山东省济宁市高三3月月考）设函数()()ln ,01,0x x x f x e x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，若函数()()g x f x b =-有三个零，则实数b 可取的值可能是()A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】BC 【解析】由题意，函数()()g x f x b =-有三个零点，则函数()()0g x f x b =-=，即()f x b =有三个根，当0x ≤时，()()1xf x ex =+，则()()()12x x x e x e x x e f =++=+'由()0f x '<得20x +<，即2x <-，此时()f x 为减函数，由()0f x '>得20x +>，即20x -<≤，此时()f x 为增函数，即当2x =-时，()f x 取得极小值()212f e-=-，作出()f x 的图象如图：要使()f x b =有三个根，则01b <≤，则实数b 可取的值可能是12，1故选：BC9．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()xg x e a =--(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（）A ．12B ．2C ．2e D ．【答案】BCD 【解析】令函数21()()2T x f x x =-，因为2()()f x f x x -+=，22211()()()()()()()022T x T x f x x f x x f x f x x ∴+-=-+---=+--=，()T x ∴为奇函数，当0x 时，()()0T x f x x '='-<，()T x ∴在(],0-∞上单调递减，()T x ∴在R 上单调递减．存在0{|()(1)}x x T x T x ∈- ，∴得00()(1)T x T x - ，001x x - ，即012x，()x g x e a =-- ；1(2x，0x 为函数()y g x =的一个零点；当12x时，()0x g x e '= ，∴函数()g x 在12x 时单调递减，由选项知0a >，取12x =<，又0g e⎛=> ⎝，∴要使()g x 在12x时有一个零点，只需使102g a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得2a ，a ∴的取值范围为,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭，故选：BCD ．10．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则（）A ．MB ．当M 最小时，2125x =C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，265x =【答案】BC 【解析】由111ln 20x x y --+=，得：111ln 2y x x =-+，()()221212x x y y -+-的最小值可转化为函数ln 2y x x =-+图象上的点到直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值的平方，由ln 2y x x =-+得：11y x'=-，与直线242ln 20x y +--=平行的直线的斜率为12-，则令1112x -=-，解得：2x =，∴切点坐标为()2,ln 2，()2,ln 2∴到直线242ln 20x y +--=的距离5d ==.即函数ln 2y x x =-+上的点到直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值为5.()()221212M x x y y ∴=-+-的最小值为245d =，过()2,ln 2与242ln 20x y +--=垂直的直线为()ln 222y x -=-，即24ln 20x y --+=.由242ln 2024ln 20x y x y +--=⎧⎨--+=⎩，解得：125x =，即当M 最小时，2125x =.故选：BC.三、填空题11．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a =【答案】3【解析】设切点为（x 0，y 0），由题意可得：曲线的方程为y ＝ln （x+a ），所以y '＝1x a+．所以k 切＝01x a+＝1，并且y 0＝x 0+2，y 0＝ln （x 0+a ），解得：y 0＝0，x 0＝﹣2，a ＝3．故答案为3．12．（2020届山东省烟台市高三模拟）设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________．【答案】(1,)+∞【解析】设F （x ）()xf x e=，则F ′（x ）()()'xf x f x e -=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增．∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为：()1,+∞13．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】2-【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得()()1'4cos 1cos 2f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，从而确定出函数的单调区间，减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，确定出函数的最小值点，从而求得33sin ,sin222x x =-=-代入求得函数的最小值.详解：()()21'2cos 2cos24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=+=+-=+-⎪⎝⎭，所以当1cos 2x <时函数单调减，当1cos 2x >时函数单调增，从而得到函数的减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，函数的增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以当2,3x k k Z ππ=-∈时，函数()f x 取得最小值，此时sin ,sin222x x =-=-，所以()min 2222f x ⎛⎫=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭，故答案是2-.14．（2020·山东高三模拟）已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则2m a +=________.【答案】0【解析】()1ln f x x '=+，(1)1f '=，(1)2f a =-，切线1l 的方程：21y a x +=-，又1l 过原点，所以21a =-，()ln 1f x x x =+，1()ln g x x x =+，22111()x g x x x x-'=-=.当(0,1)x ∈时，()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>.故函数()()f x g x x=的最小值(1)1g =，所以1,20m m a =+=.故答案为:0.15．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）若函数()()1,f x a nx a R =∈与函数()g x =共点处有共同的切线，则实数a 的值为______．【答案】2e 【解析】函数()ln f x a x =的定义域为()0,+∞，()af x x '=，()g x '=设曲线()ln f x a x =与曲线()g x =()00,x y ，由于在公共点处有共同的切线，∴0a x =，解得204x a =，0a >．由()()00f x g x =，可得0ln a x =联立2004x a alnx ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得2e a =．故答案为：2e．16．（2020届山东省济宁市高三3月月考）如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为__________.【答案】3227π【解析】由题意，设小圆柱体底面半径为cos θ，则高为1sin 0,2πθθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，小圆柱体体积()2cos 1sin V πθθ=⋅⋅+，设()sin 0,1t t θ=∈，，则()()()232111V tt tt t ππ=⋅-+=⋅--++则()()()2321311V t t t t ππ'=⋅--+=⋅-++当13t =时，max 3227V π=故答案为：3227π17．（2020届山东省淄博市高三二模）已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02xf x '+<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______.【答案】,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】依题意，()()()cos cos 22x xf x f x --=--+，令()()cos 2xg x f x =-，则()()g x g x =--，故函数()g x 为奇函数()()()cos sin 022x x g x f x f x '⎡⎤''=-=+<⎢⎥⎣⎦，故函数()g x 在R 上单调递减，则()()()()()cos cos 0022x xf x f x f x f x πππ+++≤⇒+-+-≤()()()()()0g x g x g x g x g x ππ⇔++≤⇔+≤-=-，即x x π+≥-，故2x π≥-，则x 的取值范围为,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题18．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知函数()1xf x x ae =-+（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =-时，设1210,0x x -<<>且()()125f x f x +=-，证明：12124x x e->-+．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）()1xf x ae ='+，当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增．当0a <时，令()0f x '>，得1ln x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0f x '<，得1ln x a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则()f x 的单调递减区间为1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）证明：（法一）设()()231xg x f x x e x =+=-+-，则()3xg x e =-+'，由()0g x '<得ln3x >；由()0g x '>得ln3x <，故()()max ln33ln340g x g ==-<从而得()()20g x f x x =+<，()()()()1222125,2520f x f x f x x f x x +=-∴+=--+< ，即12124x x e->-+．（法二）()()1212125,3xxf x f x x e e x +=-∴=+-- ，12122233x x x x e e x ∴-=+--，设()3xg x e x =-，则()3xg x e '=-，由()0g x '<得ln3x >；由()0g x '>得ln3x <，故()()min ln333ln3g x g ==-．1210,0x x -< ，1121233ln33ln3x x e e-∴->+-=-，3ln3ln274=< ，12124x x e ∴->-+．19．（2019·宁德市高级中学高三月考（理））已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2)e x ﹣x .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）(0,1).【解析】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121xx x x f x aea e ae e =+---'=+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减.（ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+.①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点；③当()0,1a ∈时，11ln 0a a-+<，即()ln 0f a -<.又()()4222e2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，则()()00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln 1ln a a ⎛⎫->-⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点.综上，a 的取值范围为()0,1.20．（2020·山东高三模拟）已知函数()21()1ln ()2f x m x x m =--∈R .（1）若1m =，求证：()0f x ≥.（2）讨论函数()f x 的极值；（3）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）存在，1.【解析】（1）1m =，()21()1ln (0)2f x x x x =-->，211()x f x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，∴min ()(1)0f x f ==，故()0f x ≥.（2）由题知，0x >，211()mx f x mx x x -'=-+=，①当0m ≤时，21()0mx f x x-'=<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，没有极值；②当0m >时，21()0mx f xx-'==，得x =，当x⎛∈ ⎝时，()0f x '<；当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0f x '>，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎭上单调递增.故()f x 在x=111ln 222f m m =+-，无极大值.（3）不妨令11111()x x x e xh x x e xe----=-=，设11(),(1,),()10x x u x e x x u x e --'=-∈+∞=->在(1,)+∞恒成立，()u x 在[1,)+∞单调递增，()(1)0u x u ∴>=，10x e x -∴-≥在(1,)+∞恒成立，所以，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，由（2）知，当0,1m x ≤>时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立；所以不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立，只能0m >.当01m <<1>，由（1）知()f x 在⎛ ⎝上单调递减，所以(1)0f f<=，不满足题意.当m 1≥时，设()21111()1ln 2x F x m x x x e-=---+，因为1,1m x ≥>，所以11111,1,01,10x x x mx x e e e---≥><<-<-<，322122111111()1x x x x F x mx x x x e x x x---+'=-++->-++-=，即()22(1)1()0x x F x x--'>>，所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0F =，所以(1,)x ∈+∞时，()0F x >恒成立，即()()0f x h x ->恒成立，故存在m 1≥，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立，此时m 的最小值是1.21．（2020届山东省高考模拟）已知函数2()2ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，当a ≥()()21f x f x -的最大值.【答案】（1）当4a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当4a >时，()f x 在160,4a ⎛- ⎪⎝⎭，,4a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在,44a a ⎛+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）12e e-+【解析】（1）由2()2ln f x x ax x =-+得2()2f x x a x'=-+；因为0x >，所以224x x+≥；因此，当4a ≤时，2()20f x x a x'=-+≥在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；当4a >时，由2()20f x x a x '=-+>得2220x ax -+>，解得164a a x >或1604a a x <<；由2()20f x x a x '=-+<得161644a a x -+<<；所以()f x在0,4a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,4a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在,44a a ⎛-+⎝⎭上单调递减；综上，当4a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当4a >时，()f x在0,4a ⎛- ⎪⎝⎭，,4a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在,44a a ⎛-+⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，由（1）可得，12,x x 是方程2220x ax -+=的两不等实根，所以122ax x +=，121x x =，因此()()2221222111(2ln )(2ln )f x f x x ax x x ax x -=-+--+222222211212122222211212()()2ln2ln 2ln x x x x x x x x x x x x x x x -++=-+=-+=+-，令22t x =，则2222222111()()2ln 2ln f x f x t t x x x t-=-+=-+；由（1）可知24a x =，当a ≥24x a +=≥=，所以[)22,e t x ∈=+∞，令1()2ln g t t t t=-+，[),t e ∈+∞，则222221221(1)()10t t t g t t t t t-+-'=--+=-=-<在[),t e ∈+∞上恒成立；所以1()2ln g t t t t=-+在[),t e ∈+∞上单调递减，故max 1()()2g t g e e e==-+.即()()21f x f x -的最大值为12e e-+.22．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知函数()()()1xf x ax e a R =-∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在一个正实数a ，满足当x ∈R 时，()1f x ≤恒成立，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）0a =时，()f x 的增函数区间为(),-∞+∞，无减函数区间；0a >时，()f x 的增函数区间为1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，减函数区间为1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；0a <时，()f x 的增函数区间为1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减函数区间为1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）存在，1.【解析】（1）函数()(),1xx R f x ax e ∈=-的定义域为R ，()()()11x x x f x ae ax e e ax a '=-+-=-+-①若()()0,,xa f x e f x ==在(),-∞+∞上为增函数；②若0a >，∵0x e >，∴当1a x a -<时，()0f x '>；当1ax a->时，()0f x '<；所以()f x 在1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上为增函数，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数；③若0a <，∵0x e >，∴当1a x a -<时，()0f x '<；当1ax a->时，()0f x '>；所以()f x 在1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为增函数综上可知，0a =时，()f x 的增函数区间为(),-∞+∞，无减函数区间；0a >时，()f x 的增函数区间为1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，减函数区间为1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；0a <时，()f x 的增函数区间为1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，减函数区间为1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）由（1）知，0a >时，()f x 的最大值为11aaa f aea --⎛⎫= ⎪⎝⎭，若对任意实数x ，()1f x ≤恒成立，只须使11a aae -≤即可.又因为0a >，所以不等式11a aae -≤等价于：1ln 0aaae-⎛⎫≤⎪⎝⎭，即：1ln 0aa a-+≤，设()()1ln 0ag a a a a -=+>，则()()22111a a a g a a a a----'=+=，∴当01a <<时，()'0g a <；当1a >时，()0g a '>所以，()g a 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数，∴当01a <<时，()()10g a g >=，不等式1ln 0aa a-+≤不成立，当1a >时，()()10g a g >=，不等式1ln 0aa a -+≤不成立，当1a =时，()()10g a g ==，不等式1ln 0aa a-+≤成立，∴存在正实数a 且1a =时，满足当x ∈R 时，()1f x ≤恒成立.23．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知函数()cos sin xf x e x x x =-，()sin xg x x =-，其中e是自然对数的底数．（Ⅰ）12ππ,0,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立，试求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若1x >-，求证：()()0f x g x ->．【答案】（Ⅰ）)1,++∞；（Ⅱ）证明见解析．【解析】（Ⅰ）由题意，12ππ,0,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立，等价于[]1max 2max ()()f x mg x ≤+．1分()(cos sin )(sin cos )()cos (1)sin x x x f x e x x x x x e x x e x =----+'+=，当π[,0]2x ∈-时，()0f x '>，故()f x 在区间π[0,]2上单调递增，所以0x =时，()f x 取得最大值1．即max ()1f x =又当π[0,]2x ∈时，()cos xg x x =-'，()sin 0xg x x '-'=-<所以()g x '在π[0,]2上单调递减，所以()()010g x g ≤=-'<'，故()g x 在区间π[0,2上单调递减，因此，0x =时，max ()(0)g x g ==．所以1m ≤，则1m ≥+．实数m的取值范围是)1,++∞．（Ⅱ）当1x >-时，要证，只要证e cos sin sin 0x x x x x x -->，即证(()ecos 1sin xx x x +>+，由于cos 0,10x x +>+>，只要证e 1x x >+．下面证明1x >-时，不等式e 1x x >+令()()e11xh x x x =>-+，则()()()()22e 1e e 11x xxx x h x x x =+'+-=+，当()1,0x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增．所以当且仅当0x =时，()h x 取最小值为1．法一：k =cos sin k x x =，即sin cos x k x -=，即sin()x ϕ-=1≤，即11k -≤≤，所以max 1k =，而()()min01h x h ==，但当0x =时，()010k h =<=；0x ≠时，()1h x k>≥所以，maxmin e 1x x ⎛⎫> ⎪+⎝⎭，即e 1x x >+综上所述，当1x >-时，成立．法二：令()x ϕ=()cos ,sin A x x与点()B 连线的斜率k ，所以直线AB的方程为：(y k x =+，由于点A 在圆221x y +=上，所以直线AB 与圆221x y +=相交或相切，当直线AB 与圆221x y +=相切且切点在第二象限时，直线AB 取得斜率k 的最大值为1．而当0x =时，()(0)010h ϕ=<=；0x ≠时，()1h x k >≥．所以，minmax ()()h x x ϕ>，即e 1x x >+综上所述，当1x >-时，成立．法三：令()x ϕ=()x ϕ'=，当32,()4x k k N ππ=+∈时，()x ϕ取得最大值1，而()()min01h x h ==，但当0x =时，()()0010h ϕ=<=；0x ≠时，()1h x k >≥所以，minmax ()()h x x ϕ>，即e 1x x >+综上所述，当1x >-时，成立．24．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知函数()ln ,f x x x kx k R =+∈.（1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式2()f x x x ≤+恒成立，求k 的取值范围；（3）求证：当*n N ∈时，不等式()2212ln 4121ni n n i n =-->+∑成立.【答案】（1）(1)1y k x =+-（2）k 2≤（3）证明见解析【解析】（1）函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，()1ln f x x k '=++，(1)1f k '=+，∵(1)f k =，∴函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)(1)y k k x -=+-，即(1)1y k x =+-.（2）由2()f x x x ≤+，()ln f x x x kx =+，则2ln x x kx x x +≤+，即ln 1x k x +≤+，设()ln 1g x x x k =-+-，1()1g x x'=-，()0,1x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增，()1,x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，∵不等式2()f x x x ≤+恒成立，且0x >，∴ln 10x x k -+-≤，∴max ()(1)20g x g k ==-≤即可，故k 2≤.（3）由（2）可知：当2k =时，ln 1x x ≤-恒成立，令2141x i =--，由于*i N ∈，21041i >-.故，2211ln 14141i i <---，整理得：()221ln 41141i i ->--，变形得：()21ln 411(21)(21)i i i ->-+-，即：()211ln 41122121i i i ⎛⎫->-- ⎪-+⎝⎭1,2,3,,i n = 时，11ln31123⎛⎫>-- ⎪⎝⎭，11ln51123⎛⎫>-- ⎪⎝⎭……，()2111ln 41122121n n n ⎛⎫->-- ⎪-+⎝⎭两边同时相加得：()22211122ln 4112212121ni n n ni n n n n =-⎛⎫->--=> ⎪+++⎝⎭∑，所以不等式在*n N ∈上恒成立.25．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知函数()ln 2sin f x x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数.(1)求证:()f x '在()0π，上存在唯一零点;(2)求证:()f x 有且仅有两个不同的零点.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)设()()112cos g x f x x x'==-+，当()0,x π∈时，()212sin 0g x x x'=--<，所以()g x 在()0,π上单调递减，又因为31103g ππ⎛⎫=-+>⎪⎝⎭，2102g ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭所以()g x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点α，所以命题得证．(2)①由(1)知：当()0,x α∈时，()0f x '>，()f x 在()0,α上单调递增;当(),x απ∈时，()0f x '<，()f x 在(),απ上单调递减;所以()f x 在()0,π上存在唯一的极大值点32ππαα⎛⎫<<⎪⎝⎭所以()ln 2202222f f ππππα⎛⎫>=-+>-> ⎪⎝⎭又因为2222111122sin 220f e e e e ⎛⎫=--+<--+<⎪⎝⎭所以()f x 在()0,α上恰有一个零点．又因为()ln 20fππππ=-<-<所以()f x 在(),απ上也恰有一个零点．②当[),2x ππ∈时，sin 0x ≤，()ln f x x x ≤-设()ln h x x x =-，()110h x x'=-<所以()h x 在[),2ππ上单调递减，所以()()0h x h π≤<所以当[),2x ππ∈时，()()()0f x h x h π≤≤<恒成立所以()f x 在[),2ππ上没有零点．③当[)2,x π∈+∞时，()ln 2f x x x ≤-+设()ln 2x x x ϕ=-+，()110x xϕ'=-<所以()x ϕ在[)2,π+∞上单调递减，所以()()20x ϕϕπ≤<所以当[)2,x π∈+∞时，()()()20f x x ϕϕπ≤≤<恒成立所以()f x 在[)2,π+∞上没有零点．综上，()f x 有且仅有两个零点．26．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知函数()2ln f x x ax =-，a R ∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1a =-时，令2()()g x x f x =-，其导函数为()g x '，设12,x x 是函数()g x 的两个零点，判断122x x +是否为()g x '的零点？并说明理由.【答案】（Ⅰ）当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在2(0,)a 单调递增，在2(,)a+∞上单调递减.（Ⅱ）不是，理由见解析【解析】（Ⅰ）依题意知函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()2f x a x'=-,（1）当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增.（2）当0a >时，由()0f x '=得：2x a=，则当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>；当2,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<.所以()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（Ⅱ）122x x +不是导函数()g x '的零点.证明如下：当1a =-时，()()222ln g x x f x x x x =-=--.∵1x ，2x 是函数()g x 的两个零点，不妨设120x x <<，22111111222222222ln 02ln 2ln 02ln x x x x x x x x x x x x ⎧⎧--=-=∴⇒⎨⎨--=-=⎩⎩，两式相减得：()()()12121212ln ln x x x x x x -+-=-即：()1212122ln ln 1x x x x x x -+-=-，又()221g x x x-'=-.则()()()121212121212*********ln ln 24421ln ln 2x x x x x x g x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤--+⎛⎫=+--=-=--'⎢⎥⎪+-+-+⎝⎭⎣⎦.设12x t x =，∵120x x <<，∴01t <<，令()()21ln 1t t t t ϕ-=-+，()()()()22211411t t tt t t ϕ-=-=+'+.又01t <<，∴()0t ϕ'>，∴()t ϕ在()0,1上是増函数，则()()10t ϕϕ<=，即当01t <<时，()21ln 01t t t --<+，从而()()1212122ln ln 0x x x x x x ---<+，又121200x x x x <<⇒-<所以()()1212121222ln ln 0x x x x x x x x ⎡⎤--->⎢⎥-+⎣⎦，故1202x x g +⎛⎫>⎪⎝⎭'，所以122x x +不是导函数()g x '的零点.27．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知2()2ln(2)(1)f x x x =+-+，()(1)g x k x =+．（1）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；（2）若存在01x >-，使得当()01,x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）(,2)-∞【解析】（1）证明：当2k =时，()2(1)g x x =+。