2018年高考模拟试卷 数学卷（时间 120 分钟 满分150 分）参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,...,)k kn k n n P k C p p k n -=-= ．球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径． 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径．柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高． 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高． 台体的体积公式11221()3V h S S S S =++，其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若i 是虚数单位，复数z 满足(1－i)z ＝1，则|2z －3|＝( )A ． 3B ． 5C ． 6D ．72．已知条件p ：x ≤1，条件q ：＜1，则q 是￢p 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 3．已知，函数y=f （x+φ）的图象关于（0，0）对称，则φ的值可以是（ ） A ． B ． C ． D ．4．若直线xcos θ+ysin θ﹣1=0与圆（x ﹣cos θ）2+（y ﹣1）2=相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是（ ） A ． B ． C ． D ．5．若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是（ ） ①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；③已知α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，若m ⊥α，则n ⊥β； ④m 、n 在平面α的射影互相垂直，则m 、n 互相垂直．A ．1B ．2C ．3D ．46．设0,0),0,(),1,(),2,1(>>-=-=-=b a b OC a OB OA ，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则ba21+的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．87．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为( )A ．50B ．80C ．120D ．1408．已知F 1、F 2分别是双曲线的左右焦点，A 为双曲线的右顶点，线段AF 2的垂直平分线交双曲线与P ，且|PF 1|=3|PF 2|，则该双曲线的离心率是（ ） A ． B ． C ． D ．9．已知f (x )＝x 2＋3x ，若|x －a |≤1，则下列不等式一定成立的是( ) A ．|f (x )－f (a )|≤3|a |＋3 B ．|f (x )－f (a )|≤2|a |＋4 C ．|f (x )－f (a )|≤|a |＋5 D ．|f (x )－f (a )|≤2(|a |＋1)210．如图，棱长为4的体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，点A 在平面α，平面ABCD 与平面α所成的二面角为30°， 则顶点C 1到平面α的距离的最大值是( )A ．2(2＋2)B ．2(3＋2)C ．2(3＋1)D ．2(2＋1)非选择题部分二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11．设全集集U=R ，集合M={x|﹣2≤x ≤2}，N={x|y=}，那么M ∩N= ，C U N= ．12．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ， 表面积为 ．13．已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9=8π，则前9项的和S 9= ， cos （a 3+a 7）的值为 ．14．袋中有大小相同的3个红球，2个白球，1个黑球．若不放回摸球，每次1球，摸取3次，则恰有2次红球的概率为________；若有放回摸球，每次1球，摸取3次，则摸到红球次数X 的期望为________．15. 已知变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，x ＋y －4≤0，x ≥1，x 2＋y 2xy的取值围为________．16.设max{a ，b }＝⎩⎨⎧a a ≥b ，b a <b ，已知x ，y ∈R ，m ＋n ＝6，则F ＝max{|x 2－4y ＋m |，|y 2－2x ＋n |}的最小值为________．17．已知函数f (x )＝x 2－x －4x x －1(x <0)，g (x )＝x 2＋bx －2(x >0)，b ∈R .若f (x )图象上存在A ，B 两个不同的点与g (x )图象上A ′，B ′两点关于y 轴对称，则b 的取值围为________．三、解答题（本大题共5小题，共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.） 18．（本题满分14分）在∆A B C中，a b c ，，分别是∠∠∠A B C ，，的对边长，已知a b c ，，成等比数列， 俯视图且ac a c b c 22-=-，求∠A的大小及b Bcsin 的值.19．（本题满分15分）如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC=60°，E ，F 分别是BC ，PC 的中点。

(1)证明：AE ⊥平面PAD ；(2)若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为，求二面角E-AF-C 的余弦值.20．(本题满分15分)设函数f (x )＝1－x ＋1＋x . (1)求函数f (x )的值域；(2)当实数x ∈[0,1]，证明：f (x )≤2－14x 2.21. （本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中有一直角梯形ABCD ,AB 的中点为o ,AB AD ,AD ∥BC ,AB =4,BC =3,AD =1,以A,B 为焦点的椭圆经过点C. (1)求椭圆的标准方程；(2)若点E (0,1),问是否存在直线l 与椭圆交于M ,N 不同两点且|ME |=|NE |,若存在,求出直线l 斜率的取值围;若不存在,请说明理由.22.(本题满分15分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝1n(n ∈N *)．(1)证明：a n ＋2n ＝a nn ＋1；(2)证明：2(n ＋1－1)≤12a 3＋13a 4＋…＋1n ＋1a n ＋2≤n .2018年高考模拟试卷 数学卷参考答案与评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11. [-2，1] ，(1，+∞) 12. 67， 2322211++13. π24 ，21- 14. 920 ， 3215. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103 16. 12 17.－5＋42<b <1三、解答题（本大题共5小题，共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.）18．（14分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BBAAADBCBB解：（1） abc ，，成等比数列 ∴=b a c 2又ac a c b c22-=- ∴+-=b cab c222， …………3分 在∆A B C中，由余弦定理得 c o s A b c a b c b c b c =+-==2222212∴∠=︒A 60 …………7分 （2）在∆A B C中，由正弦定理得s i n s i n B b Aa= …………10分 b a cA 260=∠=︒， ∴=︒=︒=b B c b c a s i n s i n s i n 2606032…………14分19.（15分）（1）证明：由四边形ABCD 为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC 为正三角形。

因为E 为BC 的中点， 所以AE ⊥BC 又BC ∥AD ，因此AE ⊥AD …………3分 因为PA ⊥平面ABCD ，AE 平面ABCD ，所以PA ⊥AE …………4分而PA平面PAD ，AD平面PAD 且PA ∩AD=A ，所以AE ⊥平面PAD …………6分（2）法一：设AB=2，H 为PD 上任意一点，连接AH ，EH 由（1）知AE ⊥平面PAD ，则∠EHA 为EH 与平面PAD 所成角，在Rt △EAH 中，AE=，当AH 最短时，∠EHA 最大，即当AH ⊥PD 时，∠EHA 最大 …8分此时tan ∠EHA=，因此AH=又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2因为PA ⊥平面ABCD ，PA平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD 过E 作EO ⊥AC 于O ，则EO⊥平面PAC ，过O 作OS ⊥AF 于S ，连接ES ，则∠ESO 为二面角E-AF-C 的平面角， …………11分在Rt △AOE 中，EO=AE ·sin30°=，AO=AE ·cos30°=，又F 是PC 的中点，在Rt △ASO 中，SO=AO ·sin45°=又…………13分在Rt △ESO 中，cos ∠ESO=即所求二面角的余弦值为515…………15分法二：取CD 中点G ，以A 为原点，AB ，AG ，AP 为x,y,z 轴建立直角坐标系，设AB=2，则A （0，0，0），C （1，3，0），E （0,23,23），F （1,23,21） …………8分 可求得面AEF 的法向量)1,3,1(--=m ， …………11分面AFC 的法向量)0,3,3(-=n ， …………14分515,cos >=<∴n m …………15分 20.（15分）解 (1)函数f (x )的定义域是[－1,1]， ∵f ′(x )＝1－x －1＋x 21－x2，当f ′(x )>0时，解得－1<x <0， 当f ′(x )<0时，解得0<x <1，∴f (x )在(0,1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增， …………4分 ∴f (x )min ＝f (1)＝f (－1)＝2，f (x )max ＝f (0)＝2， …………7分 ∴函数f (x )的值域为[2，2]．(2)证明：设h (x )＝1－x ＋1＋x ＋14x 2－2，x ∈[0,1]，h (0)＝0，∵h ′(x )＝－12(1－x )－12＋12(1＋x )－12＋12x＝12x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－21－x21＋x ＋1－x ，10分∵1－x 2(1＋x ＋1－x )＝1－x 2·2＋21－x 2≤2， ∴h ′(x )≤0.∴h (x )在(0,1)上单调递减， …………13分又h (0)＝0，∴h (x )≤h (0)＝0，∴f(x)≤2－14x2. …………15分21.（15分）解：(1)连接AC,依题意设椭圆的标准方程为22221(yx a ba b+=>>0),在Rt△ABC中,AB=4,BC=3,∴AC=5.∴CA+CB=5+3=2a,即a=4.又2c=4,∴c=2,从而2223b a c=-=. ∴椭圆的标准方程为2211612yx+=. (5)分(2)由题意知,当直线l与x轴垂直时,不满足|ME|=|NE|,当直线l与x轴平行时,|ME|=|NE|显然成立,此时k=0.当直线l的斜率存在,且不等于零时, 设直线l的方程为(0)y kx m k=+≠,由2211612y kx myx=+,⎧⎪⎨+=,⎪⎩消去y得222(34)84480k x kmx m +++-=,∵2222644(34)(448)0k m k m ∆=-+->, ∴221612k m +>, ① …………9分令1122()()M x y N x y MN ,,,,的中点为00()F x y ,, 则12000224323434x x km m x y kx m k k+-==,=+=,++ ∵|ME |=|NE |,∴EF MN ⊥.∴1EF k k ⨯=-, 即2231341434m k k km k -+⨯=-,-+ 化简得2(43)m k =-+, (12)分结合①得2221612(43)k k +>+,即4216830k k +-<, 解之,得11(0)22k k -<<≠.综上所述,存在满足条件的直线l,且其斜率k 的取值围为11()22-,. …………15分22.（15分）证明 (1)∵a n ＋1·a n ＝1n， ①∴a n ＋2·a n ＋1＝1n ＋1， ② …………2分而a 1＝1，易得a n >0， 由②÷①得a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝a n ＋2a n ＝nn ＋1， ∴a n ＋2n ＝a nn ＋1. …………5分(2)由(1)得(n ＋1)a n ＋2＝na n ，∴12a 3＋13a 4＋…＋1n ＋1a n ＋2＝1a 1＋12a 2＋…＋1na n . …………7分 令b n ＝na n ，则b n ·b n ＋1＝na n ·(n ＋1)a n ＋1＝n ·n ＋1n＝n ＋1， ③ ∴当n ≥2时，b n －1·b n ＝n ， ④--- -教育- 由b 1＝a 1＝1，b 2＝2，易得b n >0，由③－④得1b n＝b n ＋1－b n －1(n ≥2)． ∴b 1<b 3<…<b 2n －1，b 2<b 4<…<b 2n ，得b n ≥1.10分根据b n ·b n ＋1＝n ＋1得b n ＋1≤n ＋1，∴1≤b n ≤n ，∴1a 1＋12a 2＋…＋1na n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝1b 1＋(b 3－b 1)＋(b 4－b 2)＋…＋(b n －b n －2)＋(b n ＋1－b n －1)＝1b 1＋b n ＋b n ＋1－b 1－b 2＝b n ＋b n ＋1－2. …………12分一方面，b n ＋b n ＋1－2≥2b n b n ＋1－2＝2(n ＋1－1)， 另一方面，由1≤b n ≤n 可知b n ＋b n ＋1－2＝b n ＋n ＋1b n －2≤max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1＋n ＋1－2，n ＋n ＋1n －2＝n . ……15分。