高中数学必修5 《解三角形》
知识点：
1、 正弦定理：在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为ABC ∆的外接圆的半径，则有2sin sin sin C
a b c R ===A B ． 2、 正弦定理的变形公式：
①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sinC c R =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin C 2c R
=； ③::sin :sin :sinC a b c =A B ； ④
sin sin sin C sin sin sin C
a b c a b c ++===A +B +A B ． 3、 三角形面积公式：111sin sin C sin 222ABC S bc ab ac ∆=A ==B ． 4、 余弦定理:在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cosC c a b ab =+-．
5、 余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222
cos C 2a b c ab
+-=． 6、 设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：
①若222a b c +=，则90C =； ②若222
a b c +>，则90C <；
③若222a b c +<，则90C >．
正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系．主要有以下五大命题热点： 一、求解斜三角形中的基本元素
是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高、角平分线、中线)及周长等基本问题．
例1 ABC ∆中，3π=
A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为( ) A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+πB
C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+πB 例2 在ΔABC 中，已知66cos ,364==
B AB ，A
C 边上的中线B
D =5，求sin A 的值．
二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 例3 在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
三、 解决与面积有关问题
主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．
例4 在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝_________
四、求值问题
例5 在ABC ∆中,C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、,设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+ 和
32
1+=b c ，求A ∠和B tan 的值．
五、正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形，在实际生活中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识。

【基础训练】
一、选择题
1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于( )
A ．1
B ．1-
C ．32
D ．32-
2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是( )
A ．A sin
B ．A cos
C ．A tan
D ．A
tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为( )
A ．2
B ．2
3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于( )
A ．006030或
B ．006045或
C ．0060120或
D ．0015030或
6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )
A ．090
B ．0120
C ．0135
D ．0150
二、填空题
1．在Rt △ABC 中，0
90C =，则B A sin sin 的最大值是_______________．
2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________．
3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________．
4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________．
三、解答题
1．在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么?
2．在△ABC 中，求证：
)cos cos (a A b B c a b b a -=-
3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++．
4．在△ABC 中，设,3,2π=
-=+C A b c a 求B sin 的值．
【综合训练】
一、选择题
1．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于( )
A ．1:2:3
B ．3:2:1
C ．1:2
D ．2
2．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值( )
A ．大于零
B ．小于零
C ．等于零
D ．不能确定
3．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于( )
A ．A b sin 2
B ．A b cos 2
C ．B b sin 2
D ．B b cos 2
4．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是( )
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．不能确定
D ．等腰三角形
5．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( )
A ．090
B ．060
C ．0135
D ．0
150 6．在△ABC 中，若14
13cos ,8,7=
==C b a ，则最大角的余弦是( ) A ．51- B ．61- C ．71- D ．8
1- 7．在△ABC 中，若tan 2A B a b a b --=+，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形
二、填空题
1．若在△ABC 中，060,1,ABC A b S ∆∠===则C
B A c b a sin sin sin ++++=_______． 2．若,A B 是锐角三角形的两内角，则B A tan tan _____1(填>或<)．
3．在△ABC 中，若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则_________．
4． 在△ABC 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是_________．
5．在△ABC 中，若=+===A c b a 则2
26,2,3_________． 6．在锐角△ABC 中，若2,3a b ==，则边长c 的取值范围是_________．
三、解答题
1． 在△ABC 中，0120,,ABC A c b a S
=>==，求c b ,．
2． 在锐角△ABC 中，求证：1tan tan tan >⋅⋅C B A ．
3． 在△ABC 中，求证：2
cos 2cos 2cos
4sin sin sin C B A C B A =++．
4．在△ABC 中，若0120=+B A ，则求证：
1=+++c a b c b a ．
5．在△ABC 中，若223cos cos 222
C A b a c +=，则求证：2a c b +=．
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。