教材：续二倍角公式的应用，推导万能公式
目的：要求学生能推导和理解半角公式和万能公式，并培养学生综合分析能力。

过程：
一、解答本章开头的问题：（课本 P3）
令∠AOB = θ , 则AB = a cos θ OA = a sin θ ∴S 矩形ABCD = a cos θ×2a sin θ = a 2sin2θ≤a 2
当且仅当 sin2θ = 1，
即2θ = 90︒，θ = 45︒时, 等号成立。

此时，A,B 两点与O 点的距离都是a 2
2
二、半角公式
在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的
例一、求证：α
+α
-=
αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222
证：1︒在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2
α
代α 即得：
2s i n
21c o s 2α-=α ∴2
cos 12sin 2α-=α 2︒在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2
α
代α 即得：
12
c o s 2c o s 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=
α 3︒以上结果相除得：α
+α
-=αcos 1cos 12tan 2
注意：1︒左边是平方形式，只要知道2
α
角终边所在象限，就可以开平方。

2︒公式的“本质”是用α角的余弦表示2
α
角的正弦、余弦、正切
3︒上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆） 4︒还有一个有用的公式：α
α
-=
α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan
（课后自己证） B C
a
θ A O D
三、万能公式
例二、求证：2tan 12tan
2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan
2sin 2
222α
-α
=αα+α-=αα+α=
α 证：1︒2tan 12tan
22cos 2sin 2cos 2sin 21
sin sin 2
22α+α=α+ααα=
α=α 2︒2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1
cos cos 2
2
2222α+α-=α+αα-α=
α=α 3︒2
tan 12tan
22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 2
22α-α=α-ααα=
α
α=α 注意：1︒上述三个公式统称为万能公式。

（不用记忆）
2︒这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切
即：)2(tan α
f 所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，
可以使解题过程简洁
3︒上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小
例三、已知
5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ
+θ，求3cos 2θ + 4sin 2θ 的值。

解：∵5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ
+θ ∴cos θ ≠ 0 (否则 2 = - 5 )
∴53tan 1
tan 2-=-θ+θ 解之得：tan θ = 2
∴原式57
2
122421)21(3tan 1tan 24tan 1)tan 1(32
22222=+⨯⨯++-=θ+θ⨯+θ+θ-= 四、小结：两套公式，尤其是揭示其本质和应用（以万能公式为主） 五、作业：《精编》P73 16
补充：
1．已知sin α + sin β = 1，cos α + cos β = 0，试求cos2α + cos2β的值。

(1)
（《教学与测试》P115 例二） 2．已知
π<α<π2
，0<β<π-，tan α =31-，tan β =71
-，求2α + β 的大小。

3．已知sin x =
54，且x 是锐角，求2
cos 2sin x
x ±的值。

)55,553(-
4．下列函数何时取得最值？最值是多少？
1︒x x y 2cos 2sin = )21,21(m i n m a x -==
y y 2︒x x y 2cos sin 2-= )2
1
,23(m i n m a x -==y y
3︒)7cos(2)722cos(π+-π+=x x y )2
3
,3(m i n m a x -==y y
5．若α、β、γ为锐角，求证：α + β + γ = 4π
6．求函数x x x f sin cos )(2+=在]4
,4[π
π-上的最小值。

)221(-。