只有一个可能的极值点，则该点处的函数值一定是最
大值或最小值。 f ( x) 2 x3 3x 2 12x 4 例7 求函数 在区间 3,4 上的最大值与最小值。 解
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( x) 6 x 2 6 x 12 6( x 2)(x 1) f
令 f ( x) 0 ， 得驻点 : x1 2, x2 1.
( a 2 x)
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a v x (a 2 x ) , x (0, ) 2 a v (a 2 x)(a 6 x), a a 令 v 0，得 x1 , x2 （舍去）。又 6 2 a v ( ) 4a 0 6 a 所以函数 v 在 x 处取得唯一极大值，此极大值就是
定理2指出：可导函数的极值点必定是驻点。
反过来，驻点不一定是极值点。 考察函数
f ( x) x3
另一方面，函数不可导的点也可能是极值点。 考察函数 f ( x) x , x 0
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定理3（极值的第一充分条件） 设函数 在点 x0 连续，且在点 x0 的某一空心邻域
( x0 , x0 ) ( x0 , x0 )( 0) 内可导。
函数的单调性与极值
一、函数的单调性
二、函数的极值 三、函数的最值
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一、函数的单调性
从几何图形上来分析 y

o
a
b
x
如果曲线 y f (xf ( x) 0 时，那么曲线在
(a , b) 是上升的 。
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解 设 MC x, 则
BM b x, AM
C需要的总运费为 y，则
a (b x)
2
2
设铁路、公路上每公里运费分别为 3k ,5k , 从A到
y 5k a 2 (b x) 2 3kx (0 x b)
y
5k (b x) a 2 (b x) 2
2
方盒的容积为：
x
6
最大值。因此，当截去的正方形的边长等于所给正方
形铁皮边长的
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1 时，所做的方盒容积最大。 6
例10 制作一个容积为 V的圆柱形密闭容器， 怎样设计才能使所用材料最省？ 解 如图，设容器的底面半径为 r ，高为 h ，
则表面积为
S 2r 2 2rh
2
f (2) 24, f (1) 3, f (3) 13, f (4) 132
比较可知， f (x)在 3,4上最大值为 f (4) 132 ，最小值 为 f (1) 3 例9 将边长为a的一块正方形铁皮，四角各截去一 各大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖 的方盒。问截去的小正方形边长为多大时，所得方盒的 容积最大？ 解 如图设小正方形的边长为x，则盒底的边长为
) 数值相比较，其中最大的就是函数 f (x在
a, b上的
上的最小值。 最大值，最小的就是函数 f (x)在 a, b
注意下述三种情况：
（1）如果 f (x)在 a, b上是单调函数；
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（2）如果连续函数 f (x)在某区间内只有一个极大 （小）值，而无极小（大）值； （3）在实际问题中，由问题的实际意义可知，确 实存在最大值或最小值，又若函数在所讨论的区间内
f (x)
（1）如果在 ( x0 , x0 )内 f ( x) 0 ，在 ( x0 , x0 ) ) 内 f ( x) 0 ，则函数 f (x)在点 x0 处取极大值 f ( x0； （2）如果在 ( x0 , x0 ) f ( x) 0，在 ( x0 , x0 ) 内
（1）如果对该领域内的任意点 x( x x)，都有 f ( x) f ( x0 )，则称 f ( x0 ) 是 f (x) 的极大值，称 x0是
f (x) 的极大值点。
（2）如果对该领域内的任意点
是 f (x) 的极小值点。
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x( x x，都有 )
f ( x) f ( x0 ) ，则称 f ( x0 )是 f (x) 的极小值，称 x0
在区间 (,0) (0, )都有 f ( x) 0 和 ，只有当 x 0
) 时，f (0) 0，所以 f (x) (, 内单调减少。 在
例2
解
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f ( x) x3 3x 求函数 的单调区间。
f (x)的定义域是
(, )
f ( x) 3x 2 3 3( x 1)(x 1)
) 定理4（极值的第二充分条件） 设函数 f (x在点 x0 处有二阶导数，且 f ( x0 ) 0 f ( x0 ) 0 ， ，则 （1）如果 f ( x0 ) 0，则 f (x) x0 取得极大值； 在
（2）如果 f ( x0 ) 0，则 f (x) 在 x0取得极小值。
，但等号只在个别处成立， 则函数 f (x) 在 a, b 上
仍是单调增加（或单调减少）的。
f ( x) x3 考察函数
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例1 解
判定函数 f ( x) arctanx x的单调性。
f (x) 的定义域是
(, ) 。
1 x2 f ( x) 1 0 2 2 1 x 1 x
令 f ( x) 0 ，得 x 1, x 1 它们将定义域 (, ) ， 分成三个区间 (,1) (1, 1) (1,)
当 x (1,1) 时， f ( x) 0
当 x (1,) (,1)时， f ( x) 0。 所以 f (x) 的单调增加区间是 (,1) (1,) 和 ；单 调递减区间是 (1,1)
x 1 f ( x) 1 x 3 x 令 f ( x) 0 ，得驻点 x 1 ，而 x 0 时 f (x ) 不存在。
1 3 3
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因此函数只可能在这两点取得极值，列表讨论如下：
x
(,0)
0
不存在 极大值1
(0,1)
f (x )
f (x)

当 x 3时，f ( x) 0。 由定理3知， f (x) x1 1处取得极大值 f (1) 15 在 。
f (x) 在 x 3 处取得极小值 f (3) 17 2 3 3 例5 求函数 f ( x) x 2 x 1 的极值。 f (x) 的定义域是 (, ) 解
（1）将定理中的闭区间 a, b 换成其他各种区
间定理的结论仍成立。
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注意：
) （2）在 (a, b)内， f ( x) 0只是 f (x在
a, b上
单调增加的充分条件，而不是必要条件。
f ( x) x3 考察函数
（或 f ( x) 0） （3）如果在区间 a, b内 f ( x) 0
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例6 解
2 2 求函数 f ( x) x ln x的极值。
f (x) 的定义域是 (,0) (0,),
f ( x ) 2 x 2 x
令 f ( x) 0，得到两个驻点 x1 1, x2 1。 又
2 f ( x) 2 2 x f (1) 4 0; f (1) 4 0

1
(1,)
0
极小值
1 2

f (0) 1 ，
由表可知， f (x) x 0 处取得极大值 在
1 f (x) 在 x 1 处取得极小值 f ( x) 。 2
3 函数 f ( x) x x 1的图形如图 2
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2 3
y 1
1 2
0
1
x
函数在驻点处二阶导数存在时，还可以用函数的 二阶导数判定函数是否有极值。
由已知 V r h 故
2
V 得 h 2 r
所以
2V S 2r , r (0, ) r 2V 2(2r 3 V ) S 4r 2 r r2
h r
令 S 0 ， 得驻点 r 3
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V 2
S有唯一驻点，而实际容器存在最小表面积，因 此求得的驻点为最小值点，此时
x 由定理4 可知， 1 1, x2 1 都是 f (x) 的极小值点，
f (1) f (1) 1 为函数 f (x) 的极小值。
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三、函数的最值
函数的极值是局部性概念，而最值是一个全局性 概念。
1
闭区间[a，b]上的连续函数 f (x)
可以由驻点及导数不存在的点与区间端点的函
V h 2 2r r
所以，所做容器的高和底直径相等时，所用材料最省。
例11 一工厂A与铁路的垂直距离为 akm ，垂足
) B到火车站C的铁路长为 bkm(b a，要在BC段上选
一点M向工厂修一条公路，已知铁路与公路每公里运 费之比为3：5，问M 选在离C多少公里处，才能使从 A到C的运费最少？
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y

o
a
b
x
同样，当 tan f ( x) 0时，曲线在 (a, b)内是下降。
可见，函数的单调性可以用导数的符号来判定。
我们有如下定理：
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定理1 设函数 y f (x) 在
a, b上连续，在区间
(a , b) 内可导， （1）如果在 (a, b) f ( x) 0，则 f (x) a, b 内 在 上单调增加； （2）如果在 (a, b) f ( x) 0，则 f (x) a, b 内 在 上单调减少。
5 3 3
例3