概率与统计初步§9.1 计数原理(1) 某人到S 城出差，在解决住宿问题时发现只有甲、乙两间旅社还有空房，其中甲旅社还剩4间单人房、6间双人房，乙旅社剩下9间单人房、2间双人房，则现在住宿有 种不同的选择； 解：共有212964=+++不同的选择；(分析：只需要订一间房，“一步可以做完”，应该用加法计数原理)(2) 一家人到S 城旅游，入住旅社的空房只剩下12间单人房和8间双人房，现需要订一间单人房和一间双人房，有 种不同的选择； 解：共有：96812=⨯种不同选择；(分析：要订两间房，可以分成两步完成：第一步，先订一间单人房，有12种不同选择；第二步，再订一间双人房，有8种不同选择；用乘法计数原理，共有96812=⨯种不同选择；)(3) 4封不同的信，要投到3个不同的信箱中，共有 种不同的投递的方法； 分析：“投递的是信件”，从信件入手考虑问题；本题没有其它限制条件，一共有四封信，分成四步完成：第一步，投递第一封信，投入3个信箱中的1个，有3种不同的投递方法；第二步考虑第二封信的投递方法，同样是投入3个信箱中的1个，有3种不同的投递方法；第三步考虑第三封信、第四步考虑第四封信，同样都有3种不同的投递方法,所以完成这件事情共有：81333334==⨯⨯⨯种不同的投递方法；(4) 4封不同的信，要投到3个不同的信箱中，并且每个信箱中至少有一封信，不同的投递方法共有 种；分析：（捆绑法）分两步：第一步在四封信中抽出两封，有42C 种不同的方法；第二步把这两封信捆绑，看成一封信，和剩下的另外两封信构成三封信，按排列的方法放入三个邮箱（即：三个位置），有33A 种不同的方法；所以完成这件事情共有：3612312343342=⨯⨯⨯⨯⨯=⋅A C 种不同的投递方法；(5) 3封不同的信，要投到4个不同的信箱中，共有 种不同的投递的方法； 分析：从信件入手考虑问题；共3封信，每封信都可以投入4个信箱中的任意一个，即每封信均有4种不同的投递方法，分四步投递四封信，方法同题3，，所以共有6444443==⨯⨯种不同的投递方法；(6) 一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有 种； 解：共有：21687=++种不同的选法；（只选一本书，“一步可完成”，用加法原理）(7) 一个学生从7本不同的科技书、8本不同的文艺书、6本不同的外语书中任选一本文艺书和一本科技书回家阅读，不同的选法有 种； 解：共有：5678=⨯种不同的选法；（分析：需要选两本不同的书，可以两步完成，用乘法原理：第一步，从8本不同的文艺书中任选一本，有8种不同的选法；第二步，从7本不同的科技书中任选一本，有7种不同的选法）(8) 由1，2，3，4，5五个数字组成的三位数，共有 个； 解：共有12555553==⨯⨯个三位数；(分析组成三位数的各个位数上的数字可以重复，分三步完成：第一步，填写百位上的数字，从5个数字中任取一个，有5种选法；第二步，填写十位上的数字，由于数字允许重复，仍然从5个数字中任取一个，同样有5种选法；第三步，填写个位上的数字，与第二步相同，有5种选法；所以完成这件事情，共有12555553==⨯⨯个三位数，如图： )(9) 由1，2，3，4，5五个数字组成没有重复数字的三位数，共有 个； 解：共有60345=⨯⨯个三位数；（组成三位数的各个位数上的数字不可以重复，可以分三步完成：第一步，填写百位上的数字，从5个数字中任取一个，有5种选法；第二步，填写十位上的数字，由于数字不允许重复，只能从剩下的4个数字中任取一个，有4种选法；第三步，填写个位上的数字，从剩下的3个数字中任取一个，有3种选法；完成这件事情，共有60345=⨯⨯个三位数，如图： ）§9.2 排列组合(10) 7人站成一排，一共有种不同的排法； 解：共有5040123456777=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A 种；（分析：与顺序有关，是排列问题）(11) 7人中选出3人排成一排，一共有种不同的排法； 解：共有21056737=⨯⨯=A 种不同的排法；（分析：与顺序有关，是排列问题）(12) 7人中选出3人组成一组，代表班级参加辩论比赛，一共有种不同的选法； 解：共有3512356737=⨯⨯⨯⨯=C 种不同的选法；（分析：与顺序无关，是组合问题） (13) 5人站成一排，若甲必须站在第一位，一共有种不同的排法； 解：共有24144=⨯A 种不同的排法；（分析：分两步完成：第一步，先排头，把甲放到第一位，有1种排法；第二步，将剩下的四个人排在后面，有24123444=⨯⨯⨯=A种百位 十位 个位 方法数： 5 55 百位 十位 个位 方法数： 5 4 3不同的排法；所以共有：24144=⨯A 种不同的排法；）小结：若某些元素或某些位置有特殊要求的时候，那么，一般先安排这些特殊元素或位置，然后再安排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法，计算方法用分步乘法原理；(14) 8人排成一排，其中A 、B 两人必须排在一起，一共有 种不同的排法； 解：共有10080250402277=⨯=⋅A A 种不同的排法；（分析：分两步完成：第一步，将A 、B 两人捆绑，看成一个人，则原来的8个人可以看成是7个人排成一排，共有5040123456777=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A 种不同的排法；第二步，将A 、B 两人在队伍中进行排列，不同的排法有21222=⨯=A 种；用分步乘法计算，完成这件事情共有：10080250402277=⨯=⋅A A 种不同的排法）小结：如果排列中有某些元素需要排在一起，可以先将它们捆绑，看成一个元素与其它元素进行排列后，再松绑，将需要排在一起的元素在队伍里进行第二步排列，这种方法称为“捆绑法”；(15) 8人排成一排，其中A 、B 、C 三人不在排头并且要互相隔开，一共有种不同的排法； 解：共有：7200601203555=⨯=⋅A A 种不同的排法；（分析：分两步完成：第一步，先不排A 、B 、C 三人，把剩下的5个人进行排列，共有1201234555=⨯⨯⨯⨯=A 种不同的排法；第二步，将A 、B 、C 三人放入5个人排好的队伍间隔中，由于A 、B 、C 三人不能排头并且互相要隔开，只能从如下图箭头所示的5个位置中任取3个位置进行排列，共有6034535=⨯⨯=A 种不同的排法；共有：72003555=⋅A A 种不同排法）小结：当某几个元素要求不相邻（即有条件限制）时，可以先排没有条件限制的元素，再将不能相邻的元素按要求插入已排好元素的空隙之中，这种方法叫插入法。

(16) 10件产品中有3件次品，从中任取2件，至少有一件次品的取法共有 种； 解：共有24321231713=+=+⋅C C C 种不同的取法；（分析：取出的两件产品不需要排序，与顺序无关，是组合问题；至少有一件次品包含两种情况：恰有一件次品和恰有两件次品，两种情况之间要用加法原理：恰有一件次品（即：一件次品和一件正品）的不同取法共有21731713=⨯=⋅C C 种；恰有两件次品的不同取法共有3122323=⨯⨯=C 种；所以完成这件事情，共有24321231713=+=+⋅C C C 种不同的取法；）(17) 10件产品中有3件次品，从中任取2件，至多有一件次品的取法共有 种； 解：共有422121271713=+=+⋅C C C 种不同的取法；（分析：取出的两件产品不需要排序，与顺序无关，是组合问题；至多有一件次品包含两种情况：恰有一件次品和没有次品，两种情况之间要用加法原理：恰有一件次品（即一件次品，一件正品）的不同取法共有21731713=⨯=⋅C C 种；没有次品（即两件都是正品）的不同取法共有21126727=⨯⨯=C 种；所以完成这件事情，共有422121271713=+=+⋅C C C 种不同的取法）(18) 集合{}8,7,6,5,4,3,2,1，每次取五个元素，按由小到大顺序排列，共有 种不同的排列（取法）； 解：共有3112672757=⨯⨯==C C 种不同的排列；（分析：取出的五个数，由小到大的排列，只有一个，与顺序无关，是组合问题；可以考虑成从7个数中取出5个数的组合数，共有3112672757=⨯⨯==C C 种不同的排列） (19) 10位乒乓球选手举行单打单循环比赛，一共需要举行场比赛； 解：一共需要举行4512910210=⨯⨯=C 场比赛；（分析：单打单循环比赛，是指每两个人之间只比赛一场，与顺序无关，可以看成是组合问题，从10个人中抽出2个人的组合数，就是要举行的比赛场数，一共有4512910210=⨯⨯=C 场）(20) 学生要从六门课中选学两门：①如果有两门课时间冲突，不能同时学，有 种选法；②如果有两门特别的课，至少选学其中的一门，有 种选法； ①解法1：14126=-C （分析：先算总数，再减去不合要求的个数，“两门冲突的课同时选”这一种选法是不合要求的）；解法2：14141224=⋅+C C C （有冲突的两门课分别记为A 和B,有两种选课的方法，一是A 、B 两门课都不选，从剩下的没有冲突的四门课程里选两门，有24C 种选法；第二种情况是选学A 、B 中的一门，另一门课从另外的四门课里选一门，有1412C C ⋅种选法；这两种情况用加法原理计算）②解法一：9221412=+⋅C C C (分析：两门特别的课程分别记为G 和H ，至少选学其中的一门有两种情况，一是G 、H 两门课恰好选了一个，另一个门课是其它四门课程里的一个，有1412C C ⋅种选法；二是G 、H 两门课同时都选，有22C 种选法；用加法原理计算)；解法二：92426=-C C (分析：先算总数，再减去不合要求的个数，“两门特别的课程都没选，即：从另外四门一般的课程里选学两门课”这种情况是不合要求的，不合要求的选法共有24C 种)(21) 一个口袋内有6个小球，另一个口袋内有5个小球，所有这些小球的颜色互不相同，现从两个口袋各取出一个小球，有 种不同的取法； 解：共有30561516=⨯=⋅C C 种不同的取法；（分析：分两步完成：第一步有16C 种不同的取法；第二步有15C 种不同的取法；共有30561516=⨯=⋅C C 种不同的取法） §9.3 概率(22) Ω表示必然事件，()1=ΩP ；φ表示不可能事件，()=φP 0；(23) 一道选择题共有4个答案，其中只有一个是正确的，有位同学随意的选了一个答案，那么它选对的概率是：41 分析：共有4个答案，即：总频数n =4，选一个答案，即：频数m =1，概率=41=n m (24) 掷一颗骰子，第一次得到6点，那么他第二次掷这颗骰子得到6点的概率（ B ）A. 大于61B. 等于61C. 等于21D. 等于361 分析：一颗骰子掷一次，会出现的可能性只有六种（即：一点至六点），每一种情况会出现的概率是61，本题只考虑他第二次掷骰子得到6点的概率，与第一次掷骰子没有关系； (25) 甲掷两次骰子，每次掷一颗骰子，两次都得到6点的概率为（ D ） A. 大于61 B. 等于61 C. 等于21 D. 等于361 分析：设第一次掷骰子得到6点的事件为A ，第二次掷骰子得到6点的事件为B ，则事件A 与B 相互独立，两次都到到6点的事件即为：B A (也可写为AB )，所以两次都得到6点的概率为：()()()()3616161=⋅=⋅==B P A P AB P B A P (26) 在10件产品中有2件次品，从中任取2件都是合格品的概率是解：所求概率为：()452821028==C C A P ；（分析：从10件产品中任取2件，总共有210C 种不同的取法；10件产品中有8件合格品，取出的2件产品均为合格品的取法有28C 种取法，∴所求概率为：()452821028==C C A P ） (27) 有一批蚕豆种子，如果每一粒种子发芽的概率均为8.0，那么播下3粒种子恰好3粒种子都发芽的概率是 （ ）A. 8.08.08.0++B.38.0C. 8.0D. 5.0分析：设播下一粒种子发芽的事件为A ，则()8.0=A P ；每一粒种子之间是否发芽是互不影响的，即：每一粒种子发芽的事件是相互独立的，所以播下3粒种子恰好都发芽的概率为：()()()()38.08.08.08.0=⨯⨯=⋅⋅=A P A P A P A A A P(28) 抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A 为“出现1点”，事件B 为“出现2点”,已知()()61==B P A P ，则事件“出现1点或2点”的概率为 分析：抛掷一次骰子，事件A 与B 不可能同时发生，是互斥事件，所以事件“出现1点或2点”的概率为：()()()316161=+=+=B P A P B A P ； (29) 做某个随机试验，所有的基本事件构成的集合可用{}8,7,6,5,4,3,2,1=Ω表示，设事件{}5,3,1=A ，事件{}7,6,5,4=B ，则()=A P ，()=B P ，()=B A P ，()=A P ，()=ΩP ，()=B A P 分析：由{}8,7,6,5,4,3,2,1=Ω可知全部基本事件个数8=()83==全部基本事件个数素）个数中的基本事件（即：元A A P ， ()2184==B P {}7,6,5,4,3,1=B A ，有六个元素，所以()4386==B A P {}8,7,6,4,2=A ，有五个元素，所以()85=A P {}8,7,6,5,4,3,2,1=Ω中有八个元素，所以()188==ΩP {}5=B A ，有一个元素，所以()81=B A P 注：由上题可以看出()()()()B A P B P A P B A P -+=(30) 有一个问题，在半小时内，甲能解决它的概率是21，乙能解决它的概率是31，如果两人试图独立在半小时内解决它，①两人都未解决的概率是； ②问题得到解决的概率是分析：甲、乙解题之间互不影响，相互独立；设甲能解决问题的事件为A ，则()21=A P ，则甲不能解决问题的事件为A ，且()()211=-=A P P ；设乙能解决问题的事件为B ，则()31=B P ，则乙不能解决问题的事件为，且()()321=-=B P B P ； 易知事件A 与事件B 相互独立；①“两人都未解决”的事件为B A ,其概率为：()()()313221=⨯=⋅=P P P ；②“问题得到解决”的事件为B A ,有三种情况，即:B A (甲能解决且乙不能解决)、B A (甲不能解决且乙能解决)、B A (甲能解决且乙能解决), 这三种情况两两互斥，所以B A 的概率为：(31) 甲、乙、丙三人在相同条件下射击，他们击中靶心的概率分别是：甲为5.0，乙为7.0，丙为6.0，求三人同时各射击一次，没人击中靶心的概率是多少？解：设甲、乙、丙三人在相同条件下射击，击中靶心的事件分别为A 、B 、C ，这三个事件两两独立，且()5.0=A P ,()7.0=B P ，()6.0=C P ；∴“没人击中靶心”的概率为：()()()()()()()06.06.017.015.01=-⋅-⋅-=⋅⋅=C P B P A P C B A P(32) 某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，则这个射手在一次射击中射中10环或7环的概率是： 解：设在一次射击中射中10环、7环的事件分别为A 、B ，则事件A 与B 不可能同时发生，是互斥事件且()()28.0,21.0==B P A P ； ∴在一次射击中射中10环或7环的概率为：()()()49.028.021.0=+=+=B P A P B A P§9.4 总体、样本与抽样方法(33) 在统计中，所研究对象的全体叫做 总体 ，组成总体的每个对象叫做个体 ，被抽取出来的个体的集合叫做 样本 ，样本所含个体的数目叫做样本容量(34) 为了了解所购买的一批商品的质量，抽测了其中225个商品，在这个问题中，225个商品的质量是（ C ） A.个体 B.总体 C.样本 D.样本容量(35) 要了解某种电子产品的质量，从中抽取450个产品进行检验，在这个问题中，450叫做（ D ） A.个体 B.总体 C.样本 D.样本容量()()()()()()()()()()32312132213121=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=++=B P A P B P A P B P A P B A P B A P B A P B A P(36) 为了了解全年级523名同学的视力情况，从中抽取90名同学进行测量，在这个问题中，总体是 指全年级523名同学的视力，个体是指 全年级每一个同学的视力 ，样本是指 抽取的90名同学的视力 ；样本容量是 90(37) 要完成以下两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学高三年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况；应采用的抽样方法是：CA. ①用随机抽样法，②用系统抽样法B. ①用系统抽样法，②用分层抽样法C. ①用分层抽样法，②用随机抽样法D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法(38) 简单随机抽样或者系统抽样，在抽样过程中每个个体被抽取的概率（机会）相等；(39) 抽签法、随机数法都是 简单随机 抽样；(40) 当总体的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每个部分抽取一定数目的样本，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样(41) 当总体由差异明显的几个部分组成时，一般采用 分层 抽样；(42) 某校高一、高二、高三三个年级的学生数分别为1500人、1200人和1300人，现采用按年级分层的抽样方法了解学生的视力状况，已知在高一年级抽查了75人，则这次调查中，高二年级共抽查了 人，三个年级全部抽查了 人； 解：分层抽样按每一层人数占总人数的比例来进行抽样，高一年级的人数占总人数的8340001500=，高二年级的人数占总人数的10340001200=，设全部抽查了n 个人，则8375=n ，200=∴n ，即：三个年级全部抽查了200人；∴高二年级共抽查了60103200=⨯人； §9.5 用样本估计总体(43) 数据90、87、91、92、90的平均值是 90 ，方差是514 ，标准差是570 解：平均值：()90909291879051=++++=x 方差：()()()()()[]514909291879051222222=-+-+-+-+-=S 标准差：5705142===S S (44) 在频率分布直方图中，小矩形的面积表示频率 分析：矩形的底是组距，高是组距频率，∴矩形面积=底⨯高=组距频率组距⨯=频率 (45) 画频率分布直方图，根据频率分布表，在直角坐标系中横坐标表示数据的取值，纵坐标表示组距频率 （也可以写成：组距频率÷） (46) 对n 个数据进行整理的频率分布表中，各组的频数之和与频率之和分别等于（ B ）A. n ，nB. n ，1C. n ，100D. 1 ，1(47) 甲、乙两个总体各抽取一个样本，测得甲样本的数据为：10、9、5、8、7、15，乙样本的数据为：9，7，8，12，14，4，计算甲、乙样本的均值和样本方差，说明哪一个样本的数据波动更小一些。