高速公路竖曲线计算方法
【摘要】本文从竖曲线的严密计算公式入手，推导竖曲线上点的设计高程和里程的精确计算方法。
分析和比较了近似公式和严密公式的差别及对设计高
程和里程的影响。
在道路勘测设计中用本方法可取得精确、方便、迅速的效果，
建议取代传统的近似方法。
一、引言
在传统的道路纵断面设计中，竖曲线元素及对应桩号里程和设计高程均采用
近似公式计算，在低等级道路及计算工具很落后的时代曾起到过很大的作用。
但是随着高级道路的快速发展，道路竖曲线半径的不断加大，设计和施工的精度要求越来越高，因此，对勘测设计工作提出了很高的要求。
采用近似的方法进
行勘测设计已难以满足高精度、高效灵活的要求。
为此本文给出了实用、精确的竖曲线计算公式，以解决实际工作中存在的问题。
二、计算原理
1. 近似计算公式
如图1所示，设道路纵坡的变坡点为I，其设计高程为H I,里程为D I，两侧的纵坡度分别为i1、i2，竖曲线设计半径为R，竖曲线各元素的近似计算公式如下：
图 1
2. 精确计算公式
如图2所示，在图中建立以水平距离为横坐标轴d,铅垂线为纵坐标轴H′的dOH′直角坐标系，A点的坐标为(d A，0)，Z点的坐标为(0，H Z′)，竖曲线各元素的精确计算公式如下：
α1＝arctani 1 (1)
α2＝arctani 2 (2)
ω＝α1-α2(3)
T＝Rtan(4)
E＝R(sec-1) (5)
d I＝Tcosα1 (6)
d A＝Rsinα1 (7)
H Z′＝Rcosα1 (8)
竖曲线在直角坐标系中的方程为：
(d-d A)2+H′２＝R2 (9)
由式(9)可推算出竖曲线上任一与Z点的里程差为d的点的纵坐标值H′，则
0≤d≤ｄY
(10)
并可立即推算点的设计高程和里程：
H＝H′-ΔH (11)
D＝D Z+d (D Z＝D I-d I) (12)
式中，α1，α2分别为纵坡线与水平线的夹角；ω为变坡角；Τ为切线长；Ε为外矢距；d I为纵坡变坡点I与Z点的里程差；d A为竖圆曲线圆心A与Z点的里程差；H′为竖圆曲线上任一点的纵坐标值；d为竖圆曲线上任一点与Z点的里程差；H为竖圆曲线上任一点的设计高程；ΔH＝H′Ｚ-H Z为Z点纵坐标值与Z 点设计高程之差(H Z＝H I-d I.i1)；D为竖曲线上任一点的里程。
由式(10)可知，当d=d A时，则里程D N＝D Z+d A的N点为竖圆曲线的变坡点，
其高程H N＝H N′-ΔH＝R-ΔH＝max，N点在现场施工中具有很重要的指导意义。
三、计算实例
某山岭重丘的二级公路的纵坡变坡点I，其设计高程H I＝68.410 m，里程D I
＝6+710.280，两侧纵坡分别为7%和-5%，凸形竖曲线的设计半径R ＝3 500 m ，
其计算结果见表1。
表1
桩号(点名)
里程差/m 近似高程H/m 精确高程H/m
误差Δ/mm
辅助计算
6+5.0028(Z ′）-0.534 53.51
α2=-2°51′45″ω＝6°52′00″α1＝
4°00′15″T ＝209.979 E ＝6.239 d N =d A =244.402 H Z ′＝3491.456 ΔH ＝3437.709
(Z ′、Y ′、Q ′为用近似公式计算的直圆点和圆直点、曲中点)
6+500.814(Z)
0 53.747 6+540 39.186 56.265 56.270 5 6+580 79.186 58.383 58.389 6 6+620 119.186 60.043 60.050 7 6+660 159.186 61.246 61.253 7 6+700 199.186 61.992 61.999 7
6+710.28(Q)
209.466
62.117
6+710.342(Q ′） 209.528
62.110 6+740 239.186 62.281 62.287 6
6+745.216(N)
244.402 62.291 6+780 279.186 62.113 62.118 5 6+820 319.186 61.487 61.492 5 6+860 359.186 60.405 60.408 3 6+900 399.186 58.865 58.867 2 6+919.997(Y)
419.183
57.924
6+920.28(Y ′）419.466
57.91
四、结论
采用传统的近似计算公式推算竖圆曲线上点的设计高程和里程，存在着一定的误差，并且随着道路纵坡的增大而增大。
特别对于大纵坡又有超高横坡的外边线的竖曲线(有超高的外边线纵坡比中线纵坡更大)以及风景区和校区、别墅区等的竖曲线(纵坡常在10%左右)，若用近似方法计算，误差更大，而且没有勘测设计竖圆曲线的变坡点N ，直接影响路面施工精度和质量。
而采用本文介绍的方法计算，计算公式精确严密，不受坡度和半径大小的影响，方便迅速，又可计算和测设具有重要作用的竖曲线变坡点N 。
采用本方法具有较高的应用价值和施工实际指导意义。