山东大学《数学分析III 》期末复习参考题
一、选择题（共 5 小题，20 分）
1、若曲线x t y t z t ===cos ,sin ,22在对应于t =π
2
点处的一个切向量与oz 轴正方向成钝角，则此向量与yz 平面夹角的正弦值为（ ）
（A ）
112
+π
（B ）-
+112
π
（C ）
ππ
12
+
（D ）-
+ππ
12
2、设L 是圆周 x 2+y 2=a 2 (a >0)负向，则
( )
3、设u y x =arctan ，则∂∂∂∂2222
u x u
y +＝（
）
(A)
4222
xy
x y ()+
(B)
-+4222
xy
x y () (C) 0
(D)
2222
xy
x y ()+
4、曲面x y z xyz x z 2
2
2
2426-+--+=在点(,,)012处的切平面方程为（ ） （A ）31223110()()x y z -+--+= （B ）3234x y z +-= （C ）
x y z 312230+-+--= （D ）x y z 31223
=-=-- 5、设u f r =(),而r x y z =
++222，f r ()具有二阶连续导数，则
∂∂∂∂∂∂222222
u x u y u
z ++
=（ ） (A)f r r f r "
'()()+
1 (B)f r r f r "'()()+
2 (C) 112r f r r f r "'()()+ (D) 122r
f r r f r "'
()()+
二、填空题（共 10 小题，40 分）
1、函数f x y e x y x (,)sin()=+-2在点（0，π
4
）处沿y 轴负向的方向导数是 。
2、曲面xe y e
z e e
y
z
x ++=
+2
2332
1在点(,,)210-处的法线方程为 。
3、设u x y =2，则∂∂∂2u
x y
= 。
4、设f (x ,y )在
具有连续的二阶偏导数，L 是椭圆周
的顺时针方
向，则
的值等于 ________________.
5、设u x y z
=⎛⎝ ⎫
⎭
⎪
1/，则
∂∂u z
(,,)
111= 。
6、曲面arctan
y xz 14
+=π
在点(,,)-210处的切平面方程是 。
7、设L 为xoy 面上有质量的曲线，在曲线L 上的点(x ,y )处的质量线密度为ρ(x ,y )。
则这条曲线L 的质量的计算表达式为_______________.
8、设
是M (1，3)沿圆(x －2)2+(y －2)2=2到点N (3，1)的半圆，则积
分 .
9、设
是由A (－2，3)沿y =x 2－1到点M (1，0)，再沿y =2(x －1)到B (2，2)的路
径，则
________.
10、设
，根据二重积分的几何意义，
三、计算题（共 3 小题，30 分）
1、设y y x =()由方程arctan()xy y -=20所确定，求d d y x。
2、计算曲线积分
其中r 是从点O (0，0，0)
到A (1，2，3)的直线段。
3、求函数u x y z =
++22223在点（1,1,4）处沿曲线⎪⎩
⎪
⎨⎧+===1332t z t y t x 在该点切线方向的
方向导数。
四、证明题（10 分）
设z x
y
=arctan
，其中x u v y u v =+=-,，求证 ∂∂∂∂z u z v u v u v +=-+22.
《数学分析III 》期末试卷01答案与评分标准
一、选择题（共 5 小题，20 分）
AACAB
二、填空题（共 10 小题，40 分）
1、0
2、e
z
e y x 22212=-+=-
3、-
23
y
4、6π
5、0
6、y z +=21
7、
8、0 9、10 10、
π
三、计算题（共 6 小题，30 分）
1、解：
y xy xy y +'
+-'=1202
()
（8分）
d d y x y
x y x =+-2222
（10分）
2、解：1032:≤≤⎪⎩
⎪
⎨⎧===t t z t
y t x r （3分）
原式＝()()()dt t t dt t t dt t t -+-+-⎰233210
（7分）
＝
2
3
310
=
⎰
tdt （10分） 3、{}
{}t t
t =±=±=1291292
1
,,,,
cos cos cos αβγ=±
=±
=±
186
286
986
（4分）
()()
51
1
324,1,12
224,1,1=
++=
z y x x
x u ∂∂
()()
51
2
3224,1,12224,1,1=
++=
z y x y
y u ∂∂ ()()
51
12
3234,1,12
224,1,1=
++=z y x z
z u ∂∂ （7分） ()
∂∂u a =±⋅++=±⋅15118614108113
5186
（10分） 四、证明题（10 分）
证明：
∂∂z u y x y x
x y =++
-+2222
（4分）
∂∂z v y x y x
x y
=+++2222
（8分）
故
∂∂∂∂z u z v y x y u v u v u v u v
u v
+=+=-++-=-+22222222
()()() （10分）。