2008年振动力学期末考试试题第一题（20分）1、在图示振动系统中，已知：重物C 的质量m 1，匀质杆AB 的质量m 2，长为L ，匀质轮O 的质量m 3，弹簧的刚度系数k 。

当AB 杆处于水平时为系统的静平衡位置。

试采用能量法求系统微振时的固有频率。

解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C 的位移y 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 y ＝0，此时系统的势能为零。

AB 转角：L y /=ϕ 系统动能：m 1动能：21121y m T =m 2动能：222222222222)31(21))(31(21)31(2121y m L y L m L m J T ====ϕω m 3动能：232232333)21(21))(21(2121ym R y R m J T ===ω 系统势能：221)21(21)21(y k y g m gy m V ++-=在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：E y k gy m gy m ym m m V T =++-++=+2212321)21(2121)2131(21 上式求导，得系统的微分方程为：E y m m m ky'=+++)2131(4321固有频率和周期为：)2131(43210m m m k++=ω2、质量为m 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A 连在质量为m 2的物块B 上；轮心C 与刚度系数为k 的水平弹簧相连；不计滑轮A ，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。

试采用能量法求系统的固有频率。

解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B 的位移x 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 x ＝0，此时系统的势能为零。

物体B 动能：22121x m T =轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为x v c 21=，角速度为x R21=ω，转过的角度为x R21=θ。

轮子动能： )83(21)41)(21(21)41(212121212221212212x m x RR m xm J v m T c =+=+=ω 系统势能：22228)21(21)(2121x kxR R k R k kx V c ====θ 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：E x kxm m V T =++=+22218)83(21上式求导得系统的运动微分方程：083221=++x m m kx固有频率为：210832m m k+=ω第二题（20分）1、在图示振动系统中，重物质量为m ，外壳质量为2m ，每个弹簧的刚度系数均为k 。

设外壳只能沿铅垂方向运动。

采用影响系数方法：（1）以x 1和x 2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。

解：系统为二自由度系统。

当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k ，k21＝－2k 当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k ，k12＝－2k 因此系统刚度矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--k k k k 4222 系统质量矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡m m 200 系统动力学方程为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡0042222002121x x k k k k xx m m频率方程为：024222)(Δ22=----=ωωωm k kkm k 解出系统2个固有频率：m k )22(21-=ω，mk )22(22+=ω2、在图示振动系统中，物体A 、B 的质量均为m ，弹簧的刚度系数均为k ，刚杆AD 的质量忽略不计，杆水平时为系统的平衡位置。

采用影响系数方法，试求：（1）以x 1和x 2为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；（2）系统的固有频率方程。

解：系统可以简化为二自由度振动系统，以物体A 和B 在铅垂方向的位移x 1和x 2为系统的广义坐标。

当x1＝1，x2＝0时，AD 转角为L 3/1=θ，两个弹簧处的弹性力分别为L k θ和L k θ2。

对D 点取力矩平衡，有：kL k 91411=；另外有kL k -=21。

同理，当x2＝1，x2＝1时，可求得：kL k =22，kL k -=12 因此，系统刚度矩阵为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--kL kL kL kL 914 系统质量矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡m m 00 系统动力学方程为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡00914002121x x kL kL kL kL x x m m频率方程为：091422=----ωωm kL kLkL m kL即：0523922242=+-L k kmL m ωω第三题（20分）在图示振动系统中，已知：物体的质量m 1、m 2及弹簧的刚度系数为k 1、k 2、k 3、k 4。

（1）采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）若k 1= k 3=k 4= k 0，又k 2=2 k 0，求系统固有频率；（3）取k 0 =1，m 1=8/9，m 2 =1，系统初始位移条件为x 1(0)=9和x 2(0)=0，初始速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。

解：（1）系统可以简化为二自由度振动系统。

当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝k1+k2+k4，k21＝－k2x x当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝k2+k3，k12＝－k2。

因此，系统刚度矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++3222421k k k k k k k系统质量矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100m m 系统动力学方程为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡00002132224212121x x k k k k k k k x xm m（2）当0431k k k k ===，022k k =时，运动微分方程用矩阵表示为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡003224002100002121x x k k k k x xm m 频率方程为：04)3)(4(20220210=---k m k m k ωω 08)43(202021421=++-k k m m m m ωω求得：)168943(22221212121021m m m m m m m m k +--+⋅=ω)168943(22221212121022m m m m m m m m k +-++⋅=ω（3）当k 0=1，m 1=8/9，m 2 =1时，系统质量阵：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=10098M 系统刚度阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3224K固有频率为：2321=ω，622=ω 主模态矩阵为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=112343Φ 主质量阵：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==30023M ΦΦM Tp主刚度阵：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==180049K ΦΦK Tp 模态空间初始条件：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-44)0()0()0()0(21121x x q q Φ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-00)0()0()0()0(21121xx q q Φ 模态响应：01211=+q q ω ，02222=+q q ω即：t t q 11cos 4)(ω=，t t q 22cos 4)(ω-=因此有：⎩⎨⎧-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t t q t q t x t x 21212121cos 4cos 4cos 6cos 3)()()()(ωωωωΦ第四题（20分）一匀质杆质量为m ，长度为L ，两端用弹簧支承，弹簧的刚度系数为k 1和k 2。

杆质心C 上沿x 方向作用有简谐外部激励t ωsin 。

图示水平位置为静平衡位置。

（1）以x 和θ为广义坐标，采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）取参数值为m=12，L =1，k 1 =1，k 2 =3，求出系统固有频率；（2）系统参数仍取前值，试问当外部激励的频率ω为多少时，能够使得杆件只有θ方向的角振动，而无x 方向的振动？ 解：（1）系统可以简化为二自由度振动系统，选x 、θ为广义坐标，x 为质心的纵向位移，θ 为刚杆的角位移，如图示。

当1=x 、0=θ时：2111k k k +=，2)(1221L k k k -= 当0=x 、1=θ时：2)(1211L k k k -=，4)(22122L k k k +=因此，刚度矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+=4)(2)(2)(221121221L k k Lk k L k k k k K 质量矩阵为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=212100mL m M 系统动力学方程：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡0sin 4)(2)(2)(121002*********t x L k k L k k L k k k k x mL m ωθθ（2）当m=12，L =，k 1 =1，k 2 =3时，系统动力学方程为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡0sin 111410012t x x ωθθ频率方程为：0111124202=--ωω即：0316122040=+-ωω求得：67420±=ω （3）令t x x ωθθsin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡，代入上述动力学方程，有：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--0111112422θωωx 由第二行方程，解得21ωθ--=x，代入第一行的方程，有：21k ⋅⋅θ 1=1)124(122---=ωωx ，]1)124[(2---=ωθ 要使得杆件只有θ方向的角振动，而无x 方向的振动，则需0=x ，因此1=ω。

第五题（20分）如图所示等截面悬臂梁，梁长度为L ，弹性模量为E ，横截面对中性轴的惯性矩为I ，梁材料密度为ρ。

在梁的a 位置作用有集中载荷)(t F 。

已知梁的初始条件为：)()0,(1x f x y =，)()0,(2x f x y = 。

（1）推导梁的正交性条件；（2）写出求解梁的响应),(t x y 的详细过程。

（假定已知第i 阶固有频率为i ω，相应的模态函数为)(x i φ，∞=~1i ）提示：梁的动力学方程为：),(]),([222222t x f ty S x t x y EI x =∂∂+∂∂∂∂ρ，其中)()(),(a x t F t x f -=δ，δ为δ函数。

解：（1）梁的弯曲振动的动力学方程为：0),(]),([222222=∂∂+∂∂∂∂tt x y S x t x y EI x ρ ),(t x y 可写为：)sin()()()(),(θωφφ+==t a x t q x t x y代入梁的动力学方程，有：φρωφS EI 2)(=''''设与i ω、j ω对应有i φ、j φ，有： i i i S EI φρωφ2)(=''''（1）j j j S EI φρωφ2)(=''''（2）式（1）两边乘以j φ并沿梁长对x 积分，有：⎰⎰=''''lj i i li j dx S dx EI 020)(φφρωφφ （3）利用分部积分，上式左边可写为：⎰⎰''''+'''-'''=''''l lj i l i j l i j i j dx EI EI EI dx EI 000)()()(φφφφφφφφ （4）由于在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零，所以，上式右边第一、第二项等于零，成为：⎰⎰''''=''''l lj i i j dx EI dx EI 0)(φφφφ 将上式代入（3）中，有：⎰⎰=''''llj i i j i dx S dx EI 02φφρωφφ（5）式（2）乘i φ并沿梁长对x 积分，同样可得到：⎰⎰=''''llji jji dx S dx EI 02φφρωφφ （6）由式(5)、(6)得：⎰=-lj i ji dx S 0220)(φφρωω（7）如果j i ≠时，j i ωω≠，则有：⎰=lji dx S 00φφρ 当j i ≠（8）上式即梁的主振型关于质量的正交性。