若∠Ｂ＝∠D，则∠D=_____＿__＿_。
（二）若∠D=４5°，则∠B=____＿_＿_；若∠D＝８0°，则∠B=_＿________；
若∠D与∠B互余，则∠B是否存在？
（三）若∠Ｂ=120°,试按要求在备用图上完成图形,写出∠Ｄ的度数。
4.如图6,AF,BF分别是△ＡＢＣ的外角平分线交于F,AＨ，ＢG分别是△ＡBＣ的内角平分线，交于Ｉ点。①试写出∠F，∠ＡIG分别与∠C的关系式。
（二）方法二：如图４,分别∠ABC,∠AＣB的平分线BＧ,ＣM，相较于点Ｇ,
因为BG，BH分别是∠AＢＣ，∠FBC的角平分线,所以∠GBH=∠GＢC+∠HBC= (∠ＡBC＋∠ＦＢＣ)= ×1８0°=90°。同理,∠ＧCH=90°。在四边形ＧBHC中,∠H+∠BＧC+∠GBC+∠GＣH＝360°,所以,∠H+∠BGC=180°,而又上述结论可知，
（一）接写出∠Ｅ与∠ABC-∠C的关系式;
（二）若∠ABC＝∠C+4５°,则∠E=____;若∠Ｅ=1５°,则∠ＡＢC－∠C＝___＿___＿_；
（三）指出∠ABC与∠Ｃ的大小关系。
(二)两条外角平分线
2.如图3，ＢＨ，ＣH分别是△ＡBC的外角平分线,相较于Ｈ点,说明∠A与∠E的关系。
（一）方法一：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=1８0°-∠A，又外角∠FBＣ,∠GCB分别是
2试写出∠F与∠BIH的关系式;
4写出∠FＡI与∠ＦBI的关系式；
5写出∠F与∠AIB的关系式；
三．外角平分线与内角平分线。
１．如图1BE，CE分别是△ＡＢＣ的内角，外角平分线,相交于点E。
,因为∠ＡCD是△AＢC的外角，所以∠A=∠AＣD-∠ＡBＣ；
2∠ＢＦG＝30°,则∠ACB=_____＿＿__.
4.如图4,①若ＥH⊥EF,垂足为点E，交BD于Ｈ,∠EHF＝４５°,则∠ＢＡC=___＿＿＿＿__;
3若FM⊥BC，垂足为点M，试说明∠CFM与∠BFG的大小关系。
二.有关外角平分线。
(一)一条外角平分线
1.如图1,ＣE是△ABC的外角平分线，交BA于点E。
∠BGC=90°+ ∠Ａ。所以∠H=180°-∠BGC=１80°-（9０+－ ∠A)=90°- ∠A。
即∠Ｈ=90°- ∠A．
另外可得∠H=∠BGM.
3.如图５，ＡD，CＤ分别是△ABC的外角平分线，相交于点D。
（一）若∠B=30°,则∠D=_____＿＿_；若∠Ｂ=80°，则∠Ｄ=＿____＿_______;
4由三角形的外角性质可知，∠ＤCE=∠Ｂ+∠BEＣ,∠ACE=∠BAC－∠AEC，
又∠DCE=∠ＡＣＥ；所以，∠B＋∠BEＣ=∠BAC-∠ＡＥＣ,
变形得:∠AEC= （∠BAC-∠Ｂ).
5若∠ＢＡC=80°，∠B=30°，则∠AEC=_________.
6试说明∠BAＣ＞∠B.
２.如图2，AＥ是△ＡBC的外角平分线，交CB于点Ｅ.
∠ＡBＣ，∠ACB的邻补角,所以∠ＦBC+∠ＧCＢ＝３6０°－（∠ABC+∠AＣＢ）=360°-（１80°-∠A）＝1８0°+∠Ａ。又∠HBC= ∠FBC,∠HCB= ∠GＣB.所以∠HＢC+∠GCB＝ (∠FBC＋∠GCＢ)= (180°+∠A)=90°＋ ∠A。在△HBC中∠H=18０°-（∠ＨＢC+∠HＣB）=180°－（90°+ ∠A)=９０°- ∠Ａ。即∠H=90°- ∠A.
３．在备用图1上,画出一个与∠ACF相等的角∠FDH．
４.在备用图２上，画出一个与∠CBF相等的角∠FHG
小练习：
1.如图1，BD是△ABC的角平分线.
1若∠A＝1０0°,∠C=30°，则∠ADB=____＿_;∠CDＢ=＿__＿_＿__＿_；
ﻩ
3.如图3,①若∠AＢC=30°，则∠ＡFE=____＿__＿__.
可见大角∠ADＣ比∠B与∠Ｃ的差的一半大9０°；小角∠ＡDB是∠B与∠C的差的一半的余角。
2.直接写出图2中∠BEC、∠BEA分别与∠A-∠Ｃ的关系式。
3.直接写出图3中∠BFＣ、∠AFC分别与∠A-∠B的关系式。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
引伸题:AD是△ＡBＣ的角平分线。
1．如图4,点E在AD上,EF⊥BC于F,试写出∠DEＦ与∠C-∠B的关系式:
2.如图2，△ABＣ的三条角平分线AG,BD，CE相交于点Ｆ,试写出∠AFB,∠ＢFＧ分别与∠ACB的关系式；
试写出∠AFC,∠ＣFG分别与∠ABＣ的关系式。
引伸题：BD,ＣE是△ＡBC的角平分线。
1.如图3，ＥＧ⊥BＤ，垂足为G,试说明∠GEF与∠Ａ的关系式。
2.如图４，DH⊥BＤ，垂足为D，试说明∠DHF与∠A的关系式。
1根据“三角形的内角和等于1８0°”，得到∠Ｂ＋∠ＡＤB=∠ＡDC+∠C。
2由上式变形得∠ADC-∠ＡDB=∠B－∠Ｃ。
3因为∠ADC+∠ＡDB=１80°，所以2∠ＡDＣ=180°+（∠Ｂ－∠C）
即∠ADC=9０°＋ (∠B-∠C）
或2∠ＡDB＝１80°－(∠B-∠C）即∠ＡDB=9０°- （∠B－∠Ｃ）
（1）根据“三角形的内角和等于180°”,得到∠ＡBC+∠AＣB=180°－∠A,
所以 (∠AＢＣ+∠ＡＣB）＝９0°- ∠Ａ，又∠ＢＦＣ＝1８0°- （∠ABＣ＋∠ACB)，
所以∠BFC＝1８0°-(９0°－ ∠A)
即∠BFC＝9０°＋ ∠Ａ或∠BFＥ＝9０°－ ∠A
可见三角形的两条角平分线的夹角比第三个角的一半大90°，或是第三个角一半的余角。
2.如图5,点E在AD上,EＦ⊥AD于Ｅ，交BC于点F,试写出∠DFＥ与∠ACB－∠B的关系式：
３．试画图,当点Ｅ在直线AＤ上,EF⊥BC于F,试写出∠DEＦ与∠C－∠B的关系式：
4.试画图,当点Ｅ在直线ＡD上,EF⊥AD于F，交BC于点F,试写出∠DFE与∠Ｃ-∠Ｂ的关系式:
(二)多条角平分线
1.如图1，BＤ，CE分别是△ＡＢC的角平分线，相交于点Ｆ。
三角形内角和与外角和的专题训练
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三角形内角和与外角和的专题训练
一．有关角平分线
（一）一条角平分线
1.如图１，ＡD是△AＢＣ的角平分线，则∠B+∠AD B与∠ADC＋∠C的大小关系如何？为什么？