（5）
两者比较：状态反馈效果较好；
输出反馈实现较方便。
5.3 状态反馈系统的极点配置
5.3.1 状态反馈系统的能控性和能观性
Ax Bu 线性定常系统方程为 x y Cx
引入状态反馈 则有
u V Kx
（6） （7） （8）
( A BK)x BV x y Cx
定理5-1 线性定常系统（6）引入状态反馈后，成为系统（8），不 改变系统的能控性。 证明 对任意的K 矩阵，均有
I 0 λI ( A BK ) B λI A B K I I 0 因为 满秩，所以对任意常值矩阵K 和 λ ，均有 K I rankλI ( A BK ) B rankλI A B
βn-1s n 1 βn- 2 s n 2 β1s β0 ( s ) n n 1 s an-1s a1s a0 (s)
（14）
引入状态反馈 令
பைடு நூலகம்
u V Kx V KP 1 x V Kx
K KP 1 k0
（19）
而状态反馈矩阵
K KP k0
k1 kn1
方法二： 首先，判断系统为能控。
假设状态反馈矩阵为K——K的各个元素为待定。
k det[sI-(A-BK)]=sn fn1 K sn1 f1 K s f0 K
其中， f0 , f1 ,
（10） （11） （12）
u V Kx
( A bK)x bV x y Cx
因为A 和 b 一定，确定K 的就可以配置系统的极点。
方法一：
1 经过线性变换 x P x ，可以使系统具有能控标准形。
0 0 x 0 a0

状态反馈系统特征多项式为
Δ K ( s) det[sI ( A b K )] s n (an 1 kn 1 ) s n 1 (a1 k1 ) s (a0 k0 )
（17）
设状态反馈系统希望的极点为 s1 , s2 , , sn 其特征多项式为
第5 章
1. 2. 3. 4.
线性定常系统的综合
本章内容为:
引言 状态反馈和输出反馈 状态反馈系统的能控性和能观测性 状态反馈极点配置
5. 输出反馈极点配置 6. 镇定问题 7. 状态重构和状态观测器 8. 降阶观测器 9. 带状态观测器的状态反馈系统 10. 渐近跟踪和干扰抑制问题 11. 12. 解耦问题 MATLAB的应用
n * n 1 * * Δ* a1 s a0 K ( s ) ( s si ) s an 1s i 1 n
（18）
比较（17）式和（18）式，选择 k i 使同次幂系数相同。有
* K a0 a0

* * a1 a1 an 1 an1

i 1
kn-1 等的乘积 注：在求解上面的过程中，如果出现 k0 k1 项，只要系统为能控的，则在计算过程中一定能够消去。
K k0 k1
kn-1
, f n1 为K的各分量元素的线性组合。
设状态反馈系统希望的极点为 s1 , s2 , , sn 其特征多项式为
* n 1 * * Δ ( s) ( s si ) s n an s a s a 1 1 0 * K n
由各幂次系数分别对应相等，并且解n元一次方程组，即可确定状 态反馈矩阵。
1 0 0 a1
0 0 1 0 x u 0 0 1 1 an 1 0
（13）
y β0
β1 βn1 x
系统传递函数：g ( s ) C [ sI A]1 b C [ sI A ]1 b
则有
Ax B(V Kx ) ( A BK ) x BV x y (C DK ) x DV

（3）
5.2.2 采用
输出反馈
u V Hy
（4）
H 为 r m常数矩阵
Ax B(V Hy) [ A BH ( I DH )1 C ] x [ B BH ( I DH )1 D]V x y ( I DH )1Cx ( I DH )1 DV
（9）
（9）式说明，引入状态反馈不改变系统的能控性。但是，状态 反馈可以改变系统的能观测性，见例5-1。
5.3.2
极点配置
定理 线性定常系统可以通过状态反馈进行极点配置的充分必要条 件是：系统状态完全能控。 线性定常系统 状态反馈 状态反馈系统方程
Ax Bu x y Cx

k1 kn1


（15）
（16）
其中 k0 , k1 , , kn1 为待定常数
1 0 0 0 k k k A bK 0 1 n 1 0 1 0 a a a 1 n 1 1 0 0 1 0 0 1 ( a k ) ( a k ) ( a k ) 0 0 1 1 n 1 n 1
5.1 引言
线性定常系统综合：给定被控对象，通过设计控制器的结构和参数， 使系统满足性能指标要求。
5.2 状态反馈和输出反馈
5.2.1 状态反馈 线性定常系统方程为：
Ax Bu x y Cx Du
u V Kx
（1）
假定有n 个传感器，使全部状态变量均可以用于反馈。 （2） 其中，K 为 r n 反馈增益矩阵；V 为r 维输入向量。