在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。
如图：已知 PA、PO
P
分别是平面的垂线、斜
线，AO是PO在平面上
的射影。a ，a⊥AO。
Oa
求证： a⊥PO A
怎么找？ 思
考
三垂线定理解题的关键：找三垂！
一找直线和平面垂直
P
二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×）
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
影，则 a⊥b
（ ×）
⑶若a是平面α的斜线，直线b α
且b垂直于a在另一平面β内的射
影则a⊥b
（
×）
⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影，
一条直线与一个平面相交,但不和这个平面垂直,
这条直线叫做这个平面的斜线 斜线与平面交点叫做斜足
斜
斜
P
线 段
线
斜
斜线上一点与斜足间的线段叫做 足
这个点到平面的斜线段
αQ
P1
过斜足和垂足的直线叫做斜在
射影
这个平面上的正投影(简称射影)
平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所 成的锐角,叫做这条直线与这个平面所成的角∠ＰＱＰ１.
α
A
Oa
注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件
三垂线定理包含的垂直关系
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P
P
P
A Oa
A Oa
A Oa
α
α
α
直线 和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
思 三垂线定理是平面 的一条斜线与平面内的 P
例1 如图, ∠BAC在平 面α内，点 P∈α∠PAB﹦ ∠PAC 求证：点P在平面α上的 射影在∠BAC的平分线 上．
P
A
α
EB
O FC
分析：要证明P在平面α上的射影在∠BAC的平分
线上，首先应作出点P在平面上的射影O，再证 ∠BAO﹦∠CAO即可．要证∠BAO﹦∠CAO ，只 需证明含这两个角的三角形全等．
直线与平面的位置关系
(3)
一 线面成角相关概念
D1
C1
观察如图所示的长方体 ＡＢＣＤ－A1B1C1D1
A1 D
B1 C
A
B
直线AA1和平面ABCD是什么关系?
直线A1B.A1D.A1C和平面ABCD的位置关系?
直线A1B.A1D.A1C与点B.C.D它们又如何命名呢？
1.抽象出它们的位置关系如图
注意
当一条直线和一个平面垂 直 时,称这 条直线和这个平面成900的角, 当一条直线和一个平面平行时, 称这条直线和这个平面成00的角.
想 一 想 1.平面的斜线和平面所成的 ？ 角的范围是什么?直线和平
面所成的角的范围呢?
2.若平面α的斜线l和平面所成的角为 θ 1,平面α的斜线l和平面内任一直线所 成的角为θ 2,试比较θ 1和θ 2的大小关 系,并给以证明.
（B ）
A.只有一条
B.有无数条
C.是平面内的所有直线
D.不存在
课堂小结：
１．直线和平面所成角的概念 ２．三垂线定理的内容和运用
作业：
课本３９页习题１．２（２）第１３题
则 a⊥b
（）
1．如图，∠BAC＝900,PC⊥平面ABC，则在△ABC ,
△PAC的边所在的直线中:
P
（１）与PC垂直的直线 AC,AB,BC
（２）与PA垂直的直线
AB
C
A
B
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1与 平面ABCD所成的角是? 450
３.若直线与平面不垂直，那么在平面内与直线垂直的直线
例２ 求证如果平面内的一条直线与这个平
面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这个平 面内的射影垂直．
证明空间两条直线垂直的方法有哪些？ （１）定义法：若直线a和直线b所成的角为９００ 则a⊥b
（２）根据线面垂直的性质定理：由“线面垂直 推得线线垂直”． （３）“线线垂直＝＞线面垂直＝＞线线垂 直“
二．三垂线定理
考 直线垂直的判定定理， 这两条直线ຫໍສະໝຸດ 以是：①相交直线 ②异面直线
dc
αA
Ob a
注意：如果将定理中 例如：当 b⊥ 时，
“在平面内”的条件
b⊥OA
思 去掉，结论仍然成立 吗？
考
但 b不垂直于OP
P
b
直线a 在一定要在
平面内，如果 a
不在平面内，定理 就不一定成立。
Oa
αA
练习：
1判断下列命题是否正确：