∵x＋π6∈[－π6，π2]时，f(x)的值域为[－12，1]， ∴由函数的图象知π2≤a＋π6≤76π，∴π3≤a≤π.
思维升华
(1)三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函 数线或三角函数图象来求解. (2)三角函数值域的不同求法 ①利用sin x和cos x的值域直接求； ②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域.
6
答案 解析
由 2x＋π6≠π2＋kπ，k∈Z，得 x≠k2π＋π6，k∈Z，
所以 f(x)的定义域为{x|x≠k2π＋π6，k∈Z}.
(2)(2017·郑州月考)已知函数 f(x)＝sin(x＋π6)，其中 x∈[－π3，a]，若 f(x)的 值域是[－12，1]，则实数 a 的取值范围是__[π3_，__π_]__. 答案 解析 ∵x∈[－π3，a]，∴x＋π6∈[－π6，a＋π6]，
跟踪训练1 (1)函数y＝lg(sin x)＋ cos x－21 的定义域为 答案 解析 __x_|2_k_π_＜__x_≤__π3_＋__2_k_π_，__k∈__Z___.
sin(2x－π6)∈[－12，1]，
故 3sin(2x－π6)∈[－32，3]，
即 f(x)的值域为[－32，3].
3.函数y＝tan 2x的定义域是 答案 解析
A.xx≠kπ＋π4，k∈Z
B.xx≠k2π＋π8，k∈Z
C.xx≠kπ＋π8，k∈Z
D.xx≠k2π＋π4，k∈Z
由 2x≠kπ＋π2，k∈Z，得 x≠k2π＋π4，k∈Z，
心
__
____
____
对称轴 _x_＝_π2_＋__kπ_(k_∈__Z)_ __x_＝_k_π_(k_∈_Z_)__
方程
_____
__周期2π2ππ知识拓展
1.对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14 个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( × )
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( × )
(5)y＝sin |x|是偶函数.( √ )
(6)若sin x>
22，则x>
π .( 4
×
)
考点自测
1.函数f(x)＝cos(2x－π)的最小正周期是 答案 解析 6
A.
单调 递增；
______上递增；
性 在x＝－π2＋2kπ(k∈Z) 在 π＋2kπ(k∈Z) __
__________
____________ ____________ _上递增
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中
___________
(kπ，0)(k∈Z)
_(π2_＋_k_π_，_0_) (_k_∈_Z_) __(k2_π，__0_)(_k∈__Z_) _
π 2
B.π
C.2π
D.4π
最小正周期为 T＝2ωπ＝22π＝π.故选 B.
2.(教材改编)函数 f(x)＝3sin(2x－π6)在区间[0，π2]上的值域为 答案
A.[－32，32]
B.[－32，3]
解析
C.[－3
2 3，3
2
3 ]
D.[－3 2 3，3]
当 x∈[0，π2]时，2x－π6∈[－π6，56π]，
x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(
π 2
，0)，
(π，－1) ，(3π，0)，(2π，1). 2
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x
y＝tan x
图象
定义 域
值域
__R__
[－1,1]
__R__
[－1,1]
π
_{x_|x_∈_R_且__x≠__2_＋_k_π，
∴y＝tan 2x 的定义域为xx≠k2π＋π4，k∈Z
.
4.(2016·开封模拟)已知函数f(x)＝4sin( π －2x)，x∈[－π，0]，则f(x)的单 3
调递减区间是 答案 解析
A.[－172π，－1π2]
B.[－π，－π2]
C.[－π，－172π]，[－1π2，0]
D.[－π，－152π]，[－1π2，0]
5.y＝sin(x－π4)的图象的对称中心是_(k_π_＋__π4_，__0_)_，__k_∈__Z_. 答案 解析
令 x－π4＝kπ(k∈Z)， ∴x＝kπ＋π4 (k∈Z)， ∴y＝sin(x－π4)的图象的对称中心是(kπ＋π4，0)，k∈Z.
题型分类 深度剖析
题型一 三角函数的定义域和值域 例1 (1)函数f(x)＝－2tan(2x＋π)的定义域是_{_x|_x_≠__k2π__＋_π_6_，_k_∈__Z__}.
§4.3 三角函数的图象与性 质
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
知识梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，( ，π 1)，
(π，0)， (32π，－1)，(2π，0).
2
余弦函数y＝cos
f(x)＝4sin(π3－2x)＝－4sin(2x－π3).
由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－1π2＋kπ≤x≤152π＋kπ(k∈Z).
所以函数 f(x)的递减区间是[－1π2＋kπ，152π＋kπ](k∈Z). 因为 x∈[－π，0]，所以函数 f(x)的递减区间是[－π，－172π]，[－1π2，0].
2.奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π ＋kπ(k∈Z)；
2 (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数.( × )
(2)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期.( √ )
k∈Z}
___________
R
在[－π2＋2kπ，π2＋ _2k_π_[]π2(_＋k∈_2_Zk_π)，__32π_＋__
[－π＋2kπ，2kπ]
在(k∈Z)
[2kπ，π＋2kπ]
(－π2＋kπ，π2 ＋kπ)(k∈Z)
_2k_π](k∈Z)
_(k_∈_Z_)________ 在
__x_＝_π2_＋_2_k_π(_k上∈Z) __ 2kπ(k∈Z) __________