为此需把Z平面再进行一次变换, 即: w z 1 (1)
令:
z
w w
1 1
,或令:
z
1 1
w w
z 1
将上述变换叫作双线性变换, 也叫Z--W变换, 即把Z平面变换 到W平面. Z和W均为复变量, 可表为:
z x jy (2), w u jv (3)
将式(2)代入式(1), 有: w u jv x 1 jy (x2 y2) 1 j 2y x 1 jy (x 1)2 y2 (x 1)2 y2
10(z 1)(z e10T )
10z2 15z 5
G1G2
F
(
z)
0.1G1G2
(
z)
0.02 10 z 2
z 0.015 15z 5
yr
(
z)
1
G1G2 (z) G1G2F (
z)
10z
2
0.2z 0.15 14.98z 5.015
6.4.3 离散系统数学模型的模式之二___离散动态方程
当 zi 1, 即只要有一个极点在单位圆周上,则系统是临界稳定的. 当 zi 1, 即只要有一个极点在单位圆外,则系统是不稳定的.
上述结论的正确性可说明如下:
设在S平面上,有s j (,)经Z变换后, 它在Z平
面上的映像为:
z eTs e( j )T eT e jT
z eT , z T
由上式可得: 当 0 时, s在S平面的左半平面上, 而 z 1 z在Z平面上的单位圆内. 当 0时,s在S平面的虚轴上,而 z 1 z在Z平面上的单位圆周上. 当 0时, s在S平面的右半平面上,
而 z 1, z在Z平面上的单位圆外.
2. 劳斯稳定判据在离散控制系统中的应用 劳斯稳定判据只能根据代数方程的系数, 判别代数方程的 根在根平面的左半平面上还是在根平面的右半平面上, 而无法 判别代数方程的根的模是大于1还是小于1, 或是等于1.
et e2t
2e2t
et
令t=T, 则:
2eT e2T eT e2T
(T ) 2e2T 2eT
2e2T
eT
而:
G(T )
T
0
(
)
Bd
T
0
11( ) 21( )
12 ( 22 (
) )
0 1
d
T
0
12 22
( (
) )
d
T 0 T 0
(e (2e2
e2 )d e )d
B. 闭环系统的脉冲传递函数
由于采样开关在闭环系统中可以有多种配置可能性, 因此
闭环系统的结构图较连续系统的结构图来的复杂. 下图是一种
常见的离散闭环系统的结构图形式:
e(t) S e*(t)
r (t )
G0 (s)
y (t ) y(t)
b(t )
F (s)
由上图经推导可得: e(t) r(t) b(t) e(t) r(t) b(t) E(z) R(z) B(z)
G1(s)
Gp (s) s
则: G(s) (1 eTs ) Gp (s) Gp (s) Gp (s) eTs
s
s
s
由Z变换的滞后定理可得:
G(z) ZG(s) Z
Gp (s) s
Z
G
p( s
s)
eTs
Z
Gp (s) s
z
Z 1
Gp (s) s
(1
z
1 ) Z
Gp (s) s
y (t)
r (t )
e(t) e (t) 1 eTs s
10 s(s 10)
y (t )
0.1
解:T 0.07s e10T e0.7 0.5
G1G2 (z)
Z
1
eTs s
10
s(s
10)
(1
z
1
)Z
s
2
10 (s
10)
(10T 1 e10T )z (1 e10T 10Te10T ) 0.2z 0.15
因为Y (z) G0(z)E(z), 所以
Y (z) R(z)
yr
(z)
G0 (z) 1 G0F (z)
上式中1 G0F (z)叫闭环系统的特征多项式,G0F (z) 叫闭环系统
的开环Z传递函数. 在有些情况下, 无法得到闭环系统的Z传递
函数, 而只能得到闭环系统输出的Z变换表达式, 见下图:
e12TeeT2T
1 2
e2T
当T=1时, 可得:
(T
)
0.4651 0.4651
0.2325 0.0972
G(T
)
0.1998 0.2325
系统离散化状态方程为:
x1 (k x2 (k
1) 1)
0.4651 0.4651
0.2325 0.0972
x1(k) x2 (k)
则上图的脉冲传递函数为:
Y (z) R(z)
G(z)
ZL1G1(s)G2 (s)
G1G2 (z)
需指出的是G1G2 (z) G1(z)G2 (z)
例1: 求下图所示开环系统的脉冲传递函数
r (t )
10
r (t) s
1 s 10
解:
G
(
z
)
G1G2
(
z
)
Z
G1
(
s)G2
(s)
Z
s(
10 s 10)
4(0.8)k (0.2)k
1
6.6 离散控制系统的性能分析
6.6.1 离散控制系统的稳定性
1. 稳定条件
在线性连续系统理论中已知, 其稳定的充要条件是系统的
所有极点均在S平面的左半平面上. S平面的虚轴是稳定区域的
边界. 在线性离散系统中, 如用拉氏变换, 则变换式中含有
enTs项, 从而系统的特征方程为超越方程, 其极点不好求. 但
10 z 2
z 1 z e10T (z 1)(z e10T )
例3: 求下图所示有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数
r (t )
1 eTs
r (t) s
10
1
s
s 10
y (t)
解: 令
G(s)
Gh (s)Gp (s)
1 eTs s
•
10 s(s 10)
(1
eTs
)
•
10 s2 (s 10)
0.1998 0.2325u(k
)
课外习题:P.414第6.9题(2)(3), 第6.10题(a)(b)(c)(d),第6.11题 第6.13题(1)(2)
下面讨论离散动态方程的求解方法.
设离散动态方程为:
X (k 1)T (T ) X (kT) G(T )U (kT)
A X (kT) BU (kT)
zX (z) zX (0) A X (z) BU (z)
zI A X (z) zX (0) BU (z) X ( z) zI A 1 zX (0) zI A 1 BU (z)
X (kT) Z 1 z zI A 1 X (0) Z 1 z zI A 1 BU (z)
y (t)
Z
1
s
(s
1 10)
z z 1
z z e10T
z(1 e10T ) (z 1)(z e10T )
例2: 求下图所示开环系统的脉冲传递函数
r (t )
10
r (t) s
1 s 10
y (t)
解:
G
(
z
)
Z
G1
(s)
•
Z
G2
(
s)
Z
10 s
•
Z
s
1 10
10z • z
B(z) ZG0(s)F(s)E(z) G0F(z)E(z) E(z) R(z) G0F(z)E(z)
E
(
z
)
1
1 G0 F
(
z
)
R(
z)
er
(
z
)
R(
z
),
er
(
z
)
1
1 G0 F
(
z)
er(z) 叫闭环系统的误差脉冲传递函数. 实际系统的输出一般是连
续信号, 故如上图所示, 在输出端虚设一采样开关, 才可得到闭 环系统输出对输入的脉冲传递函数.
(t0
)
t
t0
(t
)BU
(
)d
令 t0 kT, t (k 1)T, 代入上式得:
X
(k
1)T
(T
)
X
(kT)
(k
kT
1)T
(k
1)T
BU
(
)d
假设采用零阶保持器, 则当kT t (k 1)T 时有U (t) U (kT) ,上式为:
X
(k
1)T
(T
)X
(kT)
(k 1)T
kT
(k
1)T
Y (kT) CT X (kT) k 0,1,2,
1. 递推法. 令: k 0 X (T ) A X (0) BU (0)
k 1 X (2T ) A X (T ) BU (T )
k 2 X (3T ) A X (2T ) BU (2T )
X (kT) A X (k 1)T BU (k 1)T
Z
Gp (s) s
10
Z
s
2
(
s
10)
Z
1 s2
0.1 s
0.1 s 10
Tz 0.1z 0.1z (z 1)2 z 1 z e10T