右两边b的幂次方的差异．
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三、练习
1.已知数列{an}中,a1=１,an+1=an－3,则{an}的通 项为_______．
3n 6
3 23
an
1 3n 2
n 3n1.
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例5.已知数列an , a1 3, an 4an1 5 3n , 求an.
解法1：两边同除以3n得：
an 3n
4 3
an1 3n1
5.
令 an 3n
An ,则得An
4 3
An1 5.(以下用例3的方法解)
又令An k
2．等比数列的概念： an q; an1
3．an=(an－an-1)+( an-1－an-2)+…+( a2－a1)+a1；
4.an
an an1
•
an1 an2
••
a2 a1
•a1;
5．换元法，待定系数法．
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二、例析
例1.已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+3,则{an}的通 项为_______．
解法2:由an1
4an
3得
:
an1
1
4(an
1),
an1 1 an 1
4,故
an
1
an 1 • an1 1
an1 an2
1 •• 1
a2 a1
1 1
•
(a11)
3 4n1
因202此1/1/1a0n+1=3×4n-1,即an=-1+3×4n-1
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小结：待定系数法在变形转化中的作用
用观察的方法将an+1=4an+3变形成 an+1＋１=4(an+1), 是 一大难点，这个变形可以运用待定系数法来完成．
4 3
( An1
k),则An
4 3
An1
1 3
k.
1 3
k
5, k
15.从而得:
An
15
4 3
( An1
15).
而{An
15}是首项为A1
15
a1 3
15
16,公比为4 3
的20等21/1/比10 数列.
11
An
15
16 ( 4)n1, 3
An
15 16 ( 4)n1 3
an
3n
An
••
a2 a1
•a1
2 3n1
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例３.已知数列{an}中,a1=2, an+1=4an+3,则{an}的 通项为_______．
解法１：由an+1=4an+3得, an+1＋１=4(an+1),故
数列｛an＋１｝是首项为a1+1=3，公比为4的等比数列，
因此an+1=3×4n-1,即an=-1+3×4n-1
解法１：由an+1=an+3得an+1－an＝3，故数列｛an｝ 是首项为２，公差为３的等差数列，因此，由通项 公式得：an=2+(n-1)×３＝3n-1．
解法２：由an+1=an+3得an+1－an＝3，故 an=(an－an-1)+( an-1－an-2)+…+( a2－a1)+a1 ＝3(n-1)+2=3n-1．
这2样021/就1/10可以运用解法1和解法2的方法了（下解略）．7
解法３：由 an+1=4an+3
an+２=4an+1+3
②
①得
②-①得：an+2-an+1=4(an+1-an)．则数列｛an+1-an｝是 首项为a２ -a１ ＝(４ a１＋３)-a１＝ ３ a１+3=9，公比 为４的等比数列．
所以， an-an-1＝9×4n-2
所以，an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ …+(a2-a1)＋a1
＝9×4n-2＋ 9×4n-３ ＋…＋ 9×40＋２
9 1 4n1 2 1 3 4n1
1 4
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解法４：同解法３得：an+2-an+1=4(an+1-an)．则
3n (15 16 ( 4)n1) 3
15 3n 3 4n1
解法2：令an k 3n 4(an1 k 3n1), 则
an
4an1
k 3
3n ,从而得 k 3
5, k
15.
an 15 3n 4(an1 15 3n1), 则
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而{an 153n}是首项为a1 153 48,公比为4
的等比数列.
an 15 3n 48 4n1 3 4n1
an 15 3n 3 4n1
说明2：解法１是在两边同除了bn后，再通过换元将 an=can-1+dbn化成了An=mAn-1+r的形式．此时就可以用 例３的各种解法求解了．
解法２，通过直接利用待定系数法将an=can-1+dbn 的形式化成了an＋kbn=c(an-1+kbn-1)形式的等比数 列．然后再进行求解．特别要注意“所要待定等式”左
＝202－1/1/110+3×4n-1．
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例4.已知数列an, a1
1 2 , an
3an1
3n1, 求an.
解：两边同除以3n得：
an 3n
an1 3n1
1 3
,即
:
an 3n
an1 3n1
1. 3
an 3n
是以
a1 3
1 为首项，
6
公差为
1 的等差数列 . 3
an 1 (n 1)( 1) 1 1 n.即
an2 an1 4, 故
an1 a n
an
an1
an an1 an1 an2
•
an1 an2 an2 an3
••
a3 a2
a2 a1
• (a2
a1)
9 4n2,
所以，an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ …+(a2-a1)＋a1 ＝9×4n-2＋ 9×4n-３ ＋…＋ 9×40＋２
an1 man f (n)
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考试背景
递推列： an1 man f ()
在０６－０８年的高考中，历年都有涉及， 如（不完全统计）： ０６年：全国理Ⅰ，福建； ０７年：全国理Ⅰ，理Ⅱ； ０８年：全国理Ⅱ．
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一、基础知识
1．等差数列的概念：an+1-an=d
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例２.已知数列{an}中,a1=2,an+1=3an,则{an}的通 项为_______．
解法1:由an1
3an得:
an1 an
3,故
数列｛an｝是首项为２，公比为３的等比数列，
因此an=2×3n-1
解法2 :由an1
3an得
:
an1 an
3,故
an
an an1
•
an1 an2
引伸：已知数列{an}的首项是a1, an+1=man+r (m1，r ≠0),则{an}的通项为_______．
解：设 an+1＋k=m(an+K),则 an+1=man+(m-1)K,
因此,(m-1)k=r,故 k r m 1
由此将an1
man
r变形成了an1
r m 1
m(an
r ), m 1