nx
2
=1-- 六3 -.I,-
41记10=70 1
(—1y+1 n2
cos
nx,
0� 正女．
令x = O,有
2
穴
,=(-l)n+l
f(O) = l--3 +4n�= l n 2
,
又f(O)=l, 所以 (20)证 (I) r(A)=r(a矿+PJJT)
I:=(-l)n -1
ne=l
n"
2
=— 1穴2"
a2 2a l
矿 2a,,,
以下用数学归纳法证明D n =Cn+Da气
当n = l时 ， D 1 = 2a, 结论成立．
2a 当n = 2时 ， 几=
a
1 = 3a2 ，结论成立．
2a
假设结论对小于n的情况成立．将D n 按第1行展开 ， 得 矿1
0 2a 1
D ,, = 2aD n_l -
矿 2a 1
尸 2-2z 2= 0,
2x+3z = 5,
解得
(� — x= — 5,
1
x= l,
5, 或{y�],
之 = 5,
之 = 1.
根据几何意义，曲线 C 上存在距离 xOy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为( — 5' — 5,5)
和(1,1,1).
08) CI) 证
对任意的x, 由于J是连续函数，所以
所以所求微分方程为
y/f/ -y"+4y'-4y=O.
(4) B
解 若{xn }单调，则由f(x)在(— =, 十=)内单调有界知，订(xn )}单调有界，因此
订(xn )}收敛．
(5) C 解
(E - A)(E+A+A2 )= E-A3= E,
(E+A)(E-A+A2 )= E+A3= E,
所以E— A,E+A均可逆．
— =(EX 一)2+DX —-
1 n
ES2
2
2
=µ 2+ (-1 -一(1
nn
< II)解
＝矿，所以T是矿的无偏估计蜇．
当
= µ
O,a
=
l
时，有
DT =D(又2 _ln_52 ) (注意文与52独立）
产 =DX 2 + 1 52
+-. l
—
=2DC石X)
2
n
1 忙
1 (n-1) 2
D[(n
—
1)S勹
尸 I。 I。 I G(x+2)-G(x) =2
f(t)dt-(x+2)
f(t)dt-2
f(t)«t+x
f(t)dt
o
I 。: I勹 +2
= 2[I: 八tYclt+ J: J<t)dt — f(t)cit —
(t)dt
u: I: �z
f(u+Z)du — f(t)d,]
。]
「 = 2 [f(t+2)-f<t)] dt
I: 所以n =Oan (x — 3)n 的收敛域为(1,5].
(12) 4rc
解『xydy dz+xdzdx+x2 dxdy
f 』 之，
=
xy dy dz+xdzdx+x2 dxdy +
x2 dxdy
$+D
D上
=『 y dxdy dz+§x2 dxdy
Q
D上
�o+½! (x三 y 'Jdxdy
『: =½I:亢 d0 r2 rdr
2 a
1
a2 2 a ， “八
2 a
1
a2
2 a
1
矿2a 1
= D n -l =na n -l'
矿2a I n-1
所以
x1=
Dn-1
Dn
=— n n( +ua·
(ill)解 当a =O时，方程组为
01 01
。I I X1
i
Xz
I 0 1 lxn — 1
O丿Ix＂
I 。。： . '
此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n —1,所以方程组有无穷多解，其通解为
x
1+2 y
-x
xz +y
2
'
得 凡(O,l) = O.
所以grad八O,l)=lXi+OXj =i.
(3) D 解
由y =
C
i
e工
+C 2
cos2x+C3sin2x可知其特征根为入1 =
1,从
= ，3
土2i.
故对应的特征方程为 即入 3— 矿+4入— 4= 0,
（入— 1)(入+2i)(入 — 2i)= (入 一 1)(入2 +4)'
= lim
x-0
3x 2
1-cos(sin x)
。 =lim x-+
3x2
—1 si•n2 x
= lim 工-o
2 3x2
=--6
(16)解法- f sin 2xdx+2(x2 -l)ydy
L
。 = J"[sin 2x+2(x2 -l)sin x• cosx]dx
＝『卢in 2xdx
"0
2
六
。 。 ＝ － 王cos 2x 穴+f xcos 2xdx 2
x = (O,l,O, … ，O) T+k(l,O,O,…,O) T,
其中k为任意常数
c 弓- 叫 — (22)解 ll P\z
X =O,Z�
x�o)�
2)
叫 气｝ X =O,Y
P{X =O}
｀霆 －甘 = +.
(]I)F 2
(z)=P{Z� 乏} =P{X+Y�z} =P{X+Y�z,X = — l}+P{X+Y� 之, X =O}+P{X+Y� 之, X =l} =P{Y� 之+1,X = — l} + P{Y::(女,X =O}+P{Y�乏 — 1,X =l} =P{Y�z+l}P{X =—1}+P{Y�z}P{X =O}+P{Y�z-l}P{X =1}
—一1
k=-- F 工 =- y cos(xy )+- y -x -1
Fy
+ ,rcos(0'1)处，k = l,所以切线方程为y-l = x, 即 y = x+l.
(11) (1,5]
解 由题意知n�= Oan (x+2)" 的收敛域为( — 4,0], 则 n�= Oan x" 的收敛域为(-2,2].
=
丁了 — 亢2
X.
sm
2x
1(—l歹丿
亢 sin
2xdx
解法二
穴2
2.
取L 1 为 x 轴上从点 (1r,O) 到点 (0,0)的一段，D 是由L与L 1 围成的区域．
— f sin 2xdx+2(x2 l)ydy
�L f
sin Zr<lx+2(x' — I) ydy- f
=-』 I 亢 L+L, 4xyd.:i·cly — sin 2xdx
=—[P{Y� 乏+1}+P{Y�z}+P {Y� 乏 — l}]
=--[F认之十D+F z( )+Fy 位— l)J,
儿(z)= 时 (z)
(23) < I)证
＝
— 1 3
[fy
(z+l)十八(z)十八(z-1)]
尸= 3 ' -1玉z<2,
lo, 其他．
因为
） ET =E 国－长 n
— =EX2- 1 ES2 n
=�re.
(13) 1
02
解A[a1心 J =[Aa1 ,Aa 2 ] = [O ,2a三] =[a1心］［］．
01
记P =[a 1 ,a 心 P可逆，故
P-1AP=
O [
2 ] =B.
01
A有B相同的特征值
入-2
队E-BI=
=入（入 一 1)'
0入-1
入i .2 = 0,1,
所以非零的特征值为1.
价于求函数 H 气在条件 x 2 +y 2 -2 乏 2= ()与x+y+3乏= 5 下的最大值点和最小值点． 令 L(x,y,之，入，µ)= z 2 十入 C.r z 气－归）＋卢+y+3 厂 5),
由
』�: 十二。厂'
l�; 厂厂o , 之：：：—=; x+y+3 乏 = 5,
得 x= y,从而
矿 2a l 矿 2a r n --1
=2aD n -l -a 2 D n -· 2 =2ana n -l _矿(n-l) a n -2
= n( +Da",
故 IA I = (n+Da气
C II)解 当ac:/=-0时，方程组系数行列式D n #0, 故方程组有唯 一解．由克莱姆法则，将D 冗
的第1列换成b'得行列式为 11 O 2a l 矿2a l
=— n12 .
2+n— 12 •
1 (n-1)2
•
2(n
-1)
弓• 勹 (1 + n
2 n(n-1)·
(6) B