2017年注册工程师考试-公共基础真题+详解1. 设直线的方程为 x − 1 y +1 z−2 −1 1（A）过点 (1, −1, 0) ，方向向量为 2i + j − k（B）过点 (1, −1, 0) ，方向向量为 2i − j + k（C）过点 (−1,1, 0) ，方向向量为−2i − j + k（D）过点 (−1,1, 0) ，方向向量为 2i + j − k解：选 A。

2. 设平面π的方程为 2 x − 2y + 3 = 0 ，以下选项中错误的是：（A）平面π的法向量为 i − j（B）平面π垂直于 z 轴（C）平面π平行于 z 轴y − 3（D）平面π与 xoy 面的交线为 x = 2 = z1 1 0解：选 B。

3. 下列方程中代表单叶双曲面的是:x2 y 2（A）+ − z 2 = 12 3x2 y 2（B）+ + z 2 = 12 3x2 y2（C）−− z 2 = 12 32 2+ + z2 3解：选 A。

4. 若有 lim f ( x)x →a x − a= 0 ，则当x → 0 时， f ( x) 是：（A）有极限的函数（B）有界函数（C）无穷小量（D）比 ( x − a) 高阶的无穷小解：选 D。

5. 函数 y = x 在 x 处的微分是：1 − x2（B） 2 1 − x2 dx（C） xdx （D） 1 dx1 − x2解：选 A。

2 −2 x1 − x − x( )1 − x2 − x( 1 − x2 ) ' 2 1 − x2 1 y ' = = =1 − x2 1 − x2 3(1 − x2 ) 2u u v − uv 1( x ) ' =点评：求导法则 ( ) ' = ' 'v v2 2 x6. 已知 xy = kz （ k 为正常数），则∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x（A）1 （B）−1（C） k （D） 1k解：选 B。

x = kz 1 ，则y∂x ∂ 1 1= (kz ) = −kz∂y ∂y y y 2（此时把z 看做常数，对 y 求偏导）；∂y ∂k k y∂z ∂y y同理，k ， = ( z) = ； z = x ， = ( x) = ；y z∂z ∂z x x k∂x ∂x k kx∂x ∂y ∂z 1y则kz 1=−××=−。

∂y ∂z ∂xy2 x k7. 函数 y = f ( x) 在点 x = x0 处取得极小值，则必有：（A） f '( x0 ) = 0（B） f ''( x0 ) > 0（C） f '( x0 ) = 0 且 f ''( x0 ) > 0（D） f '( x0 ) = 0 或导数不存在解：选 D。

取得极值，有可能是导数不存在，如函数 y = x 在 x = 0 时取得极小值，但在 x = 0 处导数不存在。

1 1= x −x3 ，下列各性态不正确的是：5 3（A）有 3 个极值点（B）有 3 个拐点（C）有 2 个极值点（D）对称原点解：选 A。

y ' = x4 − x2 = x2 ( x2 − 1) = 0 ，得 x = −1, 0,1 。

验证这 3 个点是否都是极值点，x = 0−和 x = 0+ 时， y ' 均小于 0，即符号相同，则点 (0, 0) 不是极值点；x = −1 和 x = −1 时， y ' 符号不同，则点 (−1 2 ) 为极值点；15同理，点 (1, − 2 ) 为极值点15即有 2 个极值点，所以选项（A）错误。

画图如下，可看出有 2 个极值点。

y '' = ( x4 − x2 ) ' = 4 x3 − 2x = 2 x(2 x2 − 1) = 0 ，得 x =− 2 2 证后, 0,,和上面一样进行验2 2知这三个均为拐点。

因为 y 是奇函数，所以对称原点。

点评：导数为 0 并不一定就是极值点，必须进行验证。

9. 若∫ f ( x)dx = x3 + c ，则∫ f (cos x) sin xdx 等于：（式中 c 为任意常数）（A）− cos3 x + c （B） sin3 x + c（C） cos3 x + c解：选 A。

（D） 1 cos3 x + c3∫ f (cos x) sin xdx = −∫ f (cos x)d (cos x) = − cos3 x + c 。

10.3∫ x 9 − x2 dx 等于：−3（A）0 （B） 9π（C） 3π（D） 9 π2解：选 A。

3 3 3 3∫ xx 9 −= 2 dx 1 2 d (9 − x2 ) = 1 ⎡ 22 ⎤−3 −3⎣⎦−3点评：xdx2 3x 2 c= +311.解：选 C。

+∞+∞+∞+∞+∞−2 x 1 −2 x ⎡ 1 −2 x ⎤ 1 −2 x ⎡ 1 −2 x ⎤ 1 ∫ xe dx = ∫ x(− e ) ' dx = ⎢− xe⎥+ ∫ edx = 0 + ⎢− e ⎥= 。

0 0 2 ⎣ 2 ⎦0 0 2 ⎣ 4 ⎦0 4其中 lim xe−2 xlim xlim 1 = 0 。

12.x→+∞= =x →+∞ e2 x x→+∞ 2e2 x解：选 C。

⎧−1 ≢ x ≢ 1积分区域 D 表示为：⎨，则⎩x2 ≢ y ≢ 11 1 1∫∫ 2 xdxdy = ∫ 2 xdx ∫ dy = ∫ 2 x(1 − x2 )dx = 0 。

D13.−1 x2 −1解：选 A。

H R R H 3 π R2 H体积V = ∫ π () y 2 dy = π ( )2 = 。

14.0 H H 3 3解：选 A。

选项（B），（D）为交错级数，由莱布尼茨判别法，收敛。

选项（C），由正项级数的比值审敛法， un + 2n +1n + 1n = n ，32lim u n +1lim 3 2lim1 n +2 1= = i = < ，则收敛。

n→+∞n→+∞ n + 11n→+∞ 1unn3215.3 n + 3解：选 A。

∞由= ∑ (−1)n xn 得到启发，1 + xn =0∞n ∞n1 1 1 1 1n x − 2 n ( x − 2)= = = i = =∑ − = = ∑−。

x 2 + x − 2 2 x − 2( 1) ( ) ( 1)2n +11 +2 n =0 2 n =0216. 微分方程 cos ydx + (1 + e− x ) sin ydy = 0 满足初始条件 y | x =0π的特解是：3（A） cos1(1ex )（B） cos y = (1 + ex )y = +4（C） cos y = 4(1 + ex )解：选 A。

（D） cos2 y = (1 + ex )此为可分离变量的方程，将变量分离得 1 dx =− tan ydy ，即1 + e− xexex + 1dx =− tan ydy ，两边积分，ex∫ ex + 1dx = −∫ tan ydy ，ln(1 + e x ) = ln(cos y) + c ，1 + ex= ec1 = c ，将 x = 0, y = π代入，得 c = 4 。

cos y 317.解：选 B。

这类方程可以直接积分，积分得= 1− os x + c ，再次积分得1x3sin x + c x + c 。

y ' x c 12= − 1 2618.解：选 B。

先求对应的齐次方程的通解，特征方程为 r 2 − 4 = 0 ，特征根 r = ±2 ，则齐次方程的通解为 c e−2 x + c e2 x ；又特解为−1；则方程的通解为 c e−2 x + c e2 x − 1 。

点评：非齐次方程的通解由对应的齐次方程的通解和特解组成。

19.解：选 A。

由 P( A) = PA( B) + P( AB) 知， P( AB) = 0.6 ，又P( A ∪ B) = P( AB) = 1 − P( AB) = 1 − 0.6 = 0.4 。

点评：得摩根法则 A + B = AB AB = A + B20.解：选 D。

因为概率总非负，所以 cλ k ≣ 0 ，所以c ≣ 0 ，但是如果 c = 0 ，则P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2) + ... = 0 ≠ 1 ，显然不对，因此c ≠ 0 ，得 c > 0。

P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2) + ... = c(1 + λ + λ 2 + ...) = c lim1 −λ = 1 ，n→+∞ 1 −λ则 0 < λ < 1，上式变为 c 1 = 1 ，得 c = 1 −λ。

所以选项（B）、（C）正确，（D）错误。

1 −λ点评：∑ pk = 1k21.解：选 B。

X 的数学期望+∞1 1 ⎡ xθ +2 ⎤+E ( X ) = xf ( x)dx = x(θ + 1) xθ dx =(θ + 1) xθ +1dx = (θ + 1)θ 1= X ，∫ ∫∫⎢⎥ =⎣θ + ⎦ϑ +−∞得θ = 2 X −10 0 2 0 222.1 − X解：选 A。

此题有技巧，把第 3 列换成 1，0，4，1，则2 1 1 41 0 0 0A13 + 4 A33 + A43 = = −2 。

1 5 4 2−1 1 1 2点评：类似例题如下。

23.解：选 B。

⎡ 23 a −−a −1⎤⎡ 1 a − 2 −a − 3⎤AB = ⎢+ + ⎥，−= ⎢ 2 2a + 2 a ⎥，⎢⎣−2 −a + 1 a + 1 ⎥⎦⎢⎣−1 −a + 2 a + 3 ⎥⎦1 a −2 −a − 3由 2 2a + 2 a = 0 ，某个二阶子式−1 −a + 2 a + 31 a − 2= 6 ≠ 0 ，因此 r ( AB − A) = 2 。

2 2a + 224.解：选 C。

由β1 ，β2 是线性方程组 Ax = b 的解，则 Aβ1 = b ，Aβ2 = b ，得 A也是线性方程组 Ax = b 的解。

β1 + β2= b ，所以2β1 + β22由α1 ，α2 是线性方程组 Ax = 0 的解，则 Aα1 = 0 ， Aα2 = 0 ，得 A(α1 −α2 ) = 0 ，因此α1 −α2 是 Ax = 0 的解。

线性方程组 Ax = 0 的通解为 k1α1 + k2 (α1 −α 2 ) 。

25.解：选 B。

分子平均平动动能 E = 3 kT ，只与温度有关。

因为温度不变，所以分子平均平动动能相同。